"ΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΕΙΣ!"

Σήμερα, 14 Μαΐου 2011, ημέρα Σάββατο,  ένιωσα να κλονίζονται, σχεδόν, τα θεμέλια πάνω στα οποία στηρίζεται το αξιωματικό-μαθηματικό μου σύστημα!:) Το ένα από τα τέσσερα μαθήματα επιλογής στο οποίο εξετάζονταν πανελλαδικά οι μαθητές της Γ' Λυκείου ήταν τα Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής. Ως μαθηματικός όφειλα να αντιπαραβάλω τα θέματα, να τα διαβάσω δηλαδή από τις  σελίδες που μόλις είχαν τυπωθεί, ενώ η συνάδελφος, επίσης μαθηματικός, θα έλεγχε αν αυτά που διαβάζω εγώ είναι ακριβώς ίδια με αυτά που βλέπει στην οθόνη του VBI!  Με το που αρχίσαμε  την αντιπαραβολή, αρχίσαμε και τα μεταξύ μας σχόλια. "Το θέμα Α4γ είναι σωστό και λάθος ταυτόχρονα", είπε η συνάδελφος. Το ξανακοίταξα  και συμφώνησα μαζί της. Δεν εξασφάλιζε τις προϋποθέσεις για την παραγωγισιμότητα των συναρτήσεων f και g. Ούτε είχε τη λέξη "πάντα", που, όταν εμφανίζεται, αφήνει υπόνοιες πως η πρόταση είναι λάθος, αφού για να είναι σωστή  απαιτούνται κάποιες προϋποθέσεις που εδώ δεν δίνονταν, άρα...
Άρα, έτσι όπως διατυπώθηκε το θέμα βιαστικά κι αδιευκρίνιστα, εκθέτει εμένα και τον καθένα, που  ισχυρίζεται ότι στα Μαθηματικά η αυστηρή διατύπωση είναι τέτοιου επιπέδου, που δεν αφήνει περιθώρια πολλών  ερμηνειών και κατά συνέπεια τυχόν παρερμηνειών..
Σχεδόν αμέσως μετά, κι ενώ  συνέχιζα να διάβω δυνατά τα θέματα, διαπίστωσα πως στο θέμα Γ1 για τους δύο αγνώστους που ζητούσε να υπολογιστούν (yΔ και yE) έδινε τρεις εξισώσεις! Δύο ως άμεσα δεδομένα της άσκησης και ένα τρίτο συνδηλούμενο, αφού είναι γνωστό ότι το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό είναι πάντα ίσο με εκατό. Πόσες φορές το έχω πει αυτό στους μαθητές: μου "Αυτή είναι μια βασική σχέση που  θα πρέπει να τη γράφετε πρώτη και καλύτερη, όταν σας ζητούν να βρείτε σχετικές συχνότητες δίνοντάς σας κάποια ακόμη δεδομένα"!   Συμπληρώνοντας μάλιστα πως  αν ποτέ  τύχει να τους περισσέψει δεδομένο, τότε ή  έχουν κάνει λάθος οι ίδιοι ή δεν είναι καλά δομημένη η άσκηση! Αλλά επειδή το δεύτερο δεν είναι τόσο σύνηθες, τους εφιστούσα την προσοχή- σε περίπτωση που τους περισσέψει ένα δεδομένο- να  ξαναδούν προσεκτικότερα τη λύση τους..
Τόσο σίγουρα πράγματα. Συμμαζεμένα και βέβαια, με τη βεβαιότητα του "1+1=2". Στα Μαθηματικά δεν υπάρχει τίποτε περιττό κι αυτό είναι μια βεβαιότητα που αγγίζει τα όρια ενός δόγματος. Μάλιστα! Όπως λέει και ο  CsLaKoNaS: "Το πρόβλημα των μαθηματικών είναι πως στο πλαίσιο του Λυκείου και των Πανελλαδικών αντιμετωπίζονται δογματικά ". Δεν έχει άδικο. Έτσι ακριβώς αντιμετωπίζονται στο συγκεκριμένο πλαίσιο, κάτω δηλαδή από την πίεση του εξεταστικοκεντρικού μας συστήματος.
Συζητάμε για τα Μαθηματικά με την ίδια κατηγορηματική και απόλυτη εκφορά που διατυπώνονται οι "δέκα εντολές"! Ή  οι άλλες "εντολές", σαν κι αυτές που δίνω εγώ στο μάθημα, όπως το  "Ου παραγωγίσεις", που  λέω στους μαθητές μου, όταν παραγωγίζουν μια συνάρτηση f της οποίας δεν γνωρίζουν τον τύπο, και ούτε έχουν κάποια πληροφορία σχετική με τη συμπεριφορά της σε κάποιο διάστημα. Με μόνη γνώση πως η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, οι μαθητές συχνά εφαρμόζουν κανόνες παραγώγισης κάνοντας ένα πολύ μεγάλο λάθος!
Πώς αντιμετωπίζεται μια τέτοια λαθεμένη στάση στα στενά όρια της προετοιμασίας για τις πανελλαδικές; Μόνο με εντολές! :) Δογματικά, φίλε CsLaKoNaS, ακριβώς όπως το είπες.
Και ιδού ως παράδειγμα, η άσκηση που έγινε αφορμή μέσα από την τάξη να ξεπηδήσει η παραπάνω, ενδέκατη εντολή: Ου παραγωγίσεις!!

 Έδωσα την άσκηση στην τάξη και αφού περίμενα λίγο να την μελετήσουν κάλεσα στον πίνακα τον μαθητή που σήκωσε πρώτος το χέρι... Παραθέτω τη λύση του Γ.Μ., όπως μας την έγραψε, αστραπιαία, στον πίνακα. [ο Γ.Μ. είναι ο καλύτερος μαθητής που διέθετε το τμήμα της Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.]

Πολύ κομψή, πολύ σύντομη και πολύ όμορφη λύση του ΓΜ!  Αλλά και πολύ ΛΑΘΟΣ!!! 

Πώς να εφαρμόσουμε κανόνες παραγώγισης σε μια συνάρτηση, για τις "καμπύλες" της οποίες δεν έχουμε την παραμικρή ιδέα; Μπορεί να είναι..αιχμηρή, μπορεί να είναι ασυνεχής, μπορεί να είναι μια πλανεύτρα, ξελογιάστρα...Πώς να την αντιμετωπίσουμε αν δεν γνωρίζουμε τίποτε γι'αυτήν; Μόνο στο σημείο α ξέρουμε πώς συμπεριφέρεται και μόνο σε αυτό το σημείο μπορούμε με σιγουριά να τη διαχειριστούμε..Με τις συναρτήσεις οφείλουμε να είμαστε επιφυλακτικοί, όπως και με τους ανθρώπους, όταν δεν τους γνωρίζουμε καλά... Οφείλουμε να είμαστε ευγενικοί μεν, επιφυλακτικοί δε.. Μέχρι να τους γνωρίσουμε καλύτερα.. :)

Ο μαθητής μου, παρόλες τις αιτιολογήσεις μου και τις επεξηγήσεις μου δεν δεχόταν πως η  μέθοδος που είχε εφαρμόσει ήταν λάθος..Ήταν πεπεισμένος πως τα είχε κάνει όλα μια χαρά και δεν καταλάβαινε γιατί εγώ δεν  δεχόμουν τη λύση του. Τότε, έχοντας εξαντλήσει τα επιχειρήματα και τον χρόνο, αφού είχε χτυπήσει ήδη το κουδούνι του είπα: 

"Δεν τη δέχομαι τη λύση σου, επειδή υπάρχει μια εντολή που λέει "ου παραγωγίσεις", όταν δεν δίνεται πως η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα ή αν εσύ δεν βλέπεις, ιδίοις όμασι, τον τύπο της ώστε να  καταλαβαίνεις, από τις γνώσεις που ήδη έχεις για τις βασικές συναρτήσεις, πως πρόκειται για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση... :)"

Κάπως έτσι γεννιούνται οι εντολές που κάνουν τα Μαθηματικά στο Λύκειο δογματικά.. 

Αλλά στο τέλος της χρονιάς έρχεται μια "άνετη" και "χαλαρή"  Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων (ΚΕΕ) και ακυρώνει πολλά από αυτά που "δογματικά" διδάσκουν στους μαθητές όσοι τους προετοιμάζουν για τις πανελλαδικές εξετάσεις!

----------------------------------------------------------------------------------------------

Η άσκηση υπάρχει στο σχολικό εγχρειρίδιο, σελ 240, και άλλη συναφής άσκηση υπάρχει στη σελ 221.

Επίσης παρόμοια με αυτές έχουν βάλει στις Πανελλαδικές του 2008, όπου όμως η συνάρτηση g δινόταν δυο φορές παραγωγίσιμη στο R. Για το συγκεκριμένο θέμα έχει κάνει μια εξαιρετική ανάλυση, εξετάζοντας  τους τρόπους με τους οποίους το αντιμετώπισαν οι μαθητές στις εξετάσεις, ο σχολικός σύμβουλος Γιάννης Θωμαΐδης, στο βιβλίο του "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ", ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ. Στις σελ. 72-79 αναλύει όλες τις λαθεμένες εκδοχές που αναπτύχθηκαν στα γραπτά και μέσα από αυτές προσεγγίζει τα  προβλήματα στην κατανόηση βασικών μαθηματικών εννοιών, καταλήγοντας σε  πολύ χρήσιμα συμπεράσματα για τους διδάσκοντες τα Μαθηματικά της Γ΄ ΚΑΤ, αλλά σ' αυτό το θέμα θα επανέλθω με κάποια άλλη ανάρτηση...

Προς το παρόν θέλω να ευχηθώ στα παιδιά να γράψουν  τη Δευτέρα καλά στα Μαθηματικά και επίσης θα ήθελα να παρακαλέσω την ΚΕΕ να δει τα θέματα πιο προσεκτικά..

------------------------------------------------------------------------------------------------