Ο ΑΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ

Η "διακρίνουσα" είναι, ως γνωστόν, μετοχή ενεστώτα του ρήματος διακρίνω. 

Διακρίνων-διακρίνουσα-διακρίνον! Και το ρήμα διακρίνω, που σημαίνει βλέπω, αντιλαμβάνομαι, ξεχωρίζω κλπ, είναι, ως γνωστόν, σύνθετο από την πρόθεση "δια" και το ρήμα "κρίνω", που σημαίνει νομίζω, αξιολογώ, εκτιμώ, ασκώ κριτική κλπ.

Επίσης, σχεδόν όλοι γνωρίζουν πως η Διακρίνουσα (Δ) στα Μαθηματικά είναι ένας πραγματικός αριθμός στενά συνυφασμένος με τη δευτεροβάθμια πολυωνυμική εξίσωση, καθώς το πρόσημό της  μας βοηθά να διακρίνουμε, με όλες τις προαναφερθείσες σημασίες του ρήματος "διακρίνω", το πλήθος και το είδος των ριζών που έχει μια δευτεροβάθμια εξίσωση. 

Οι μαθητές διδάσκονται για πρώτη φορά τη δευτεροβάθμια εξίσωση, όταν φοιτούν στην τρίτη τάξη του Γυμνασίου και για δεύτερη φορά, όταν φοιτούν στην πρώτη τάξη του Λυκείου. Φτάνοντας μάλιστα στο Λύκειο πολλοί από αυτούς έχουν στο βαλιτσάκι της γνώσης που κουβαλούν μαζί τους το "βόδια στο τετράγωνο πλην τέσσερις αγελάδες", το οποίο μερικοί καθηγητές των Μαθηματικών  συνηθίζουν να χρησιμοποιούν, για να βοηθήσουν τους μαθητές τους  να απομνημονεύσουν τον τύπο που δίνει την αριθμητική τιμή της διακρίνουσας. Και φαίνεται πως η χρήση αυτού του εργαλείου  επιφέρει καλό αποτέλεσμα, αλλά σε επίπεδο απομνημόνευσης  και μόνο! Σχεδόν όλοι οι μαθητές θυμούνται τον τύπο της διακρίνουσας.
Αλλά  αυτό είναι  το ζητούμενο από τη διδασκαλία των Μαθηματικών; Η απομνημόνευση των τύπων; 

Όχι πως προσωπικά είμαι κατά της απομνημόνευσης των μαθηματικών τύπων, ούτε των ρηματικών τύπων, ούτε ... των τύπων και των υπογραμμών, εν γένει, και δεν είμαι επειδή πιστεύω ότι όταν κάποιος αναγκάζεται από νεαρή ηλικία να ασκηθεί στην απομνημόνευση αναπτύσσει τις δικές του τεχνικές, που τον βοηθούν στην οργάνωση και  διευθέτηση θεμάτων, στην κοινωνικοποίηση, στην πνευματική ανέλιξη κ.ά., ωστόσο στο θέμα των "βοδιών στο τετράγωνο ελαττωμένων κατά τέσσερις αγελάδες" έχω αναμφιβόλως τις αντιρρήσεις μου. Και ο λόγος που έχω τις αντιρρήσεις μου στη χρήση του συγκεκριμένου  απομνημονευτικού κανόνα είναι ο τρόπος που αυτός εντυπώνεται στο κεφάλι των παιδιών! Μου φαίνεται πως το βάρος των βοδιών, και μάλιστα στο τετράγωνο(!), καίτοι ελαφρωμένο κατά το βάρος των τεσσάρων αγελάδων, δημιουργεί μια πολύ βαθιά χαρακιά στους ευαίσθητους εγκεφαλικούς νευρώνες των νεαρών μαθητών που δεν επουλώνεται ποτέ, με αποτέλεσμα όταν στη συνέχεια, καθώς το "τριώνυμο" και η δευτεροβάθμια εξίσωση δεν αποτελούν πλέον αυτοσκοπό, αλλά ένα χρήσιμο εργαλείο επίλυσης ποικίλων άλλων μαθηματικών προβλημάτων, να ξεπηδούν τα βόδια στο προσκήνιο και να ...οργώνουν εκεί που δεν τα σπέρνουν.:) Με αποτέλεσμα οι μαθητές να κάνουν χρήση του απομνηνονευτικού αυτού κανόνα και να υπολογίζουν αδιακρίτως μια Διακρίνουσα , όπου και όποτε συναντήσουν κάποια παράσταση που είτε είναι είτε θυμίζει τριώνυμο δεύτερου βαθμού.
Σίγουρα δεν είμαι η μόνη που  έχω προσέξει αυτό το φαινόμενο. Και δεν το πρόσεξα τώρα. Όμως με αφορμή μια συζήτηση που είχα με τον καλό μου συνάδελφο τον Φώτη, καθώς την Παρασκευή οδεύαμε από Θεσσαλονίκη προς Καρδίτσα για να πάρουμε μέρος στο 30ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, αποφάσισα, επιστρέφοντας στο σχολείο, να καταγράψω μέσα από το μάθημα μερικά παραδείγματα "αντίδρασης" μαθητών στη θέα ενός τριωνύμου.

Σήμερα μου δόθηκε η ευκαιρία να το κάνω σε τρία διαφορετικά τμήματα και σε δυο διαφορετικές τάξεις. Στην Α' Λυκείου, στο μάθημα της Άλγεβρας και στη Β' Λυκείου, στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης.

Αντί για λόγια παραθέτω κάποιες από τις εικόνες που συνέλεξα.

Να σημειώσω πως δεν πρόκειται για τεστ, αλλά για φύλλο  επανάληψης που το απάντησαν οι μαθητές συνεργαζόμενοι ανά δύο. Παρόμοια με την απάντηση της προηγούμενης εικόνας υπήρχε σε πολλά γραπτά. Για να συζητήσουμε το θέμα διεξοδικά,  σήκωσα μια μαθήτρια στον πίνακα να γράψει τη δική της εκδοχή, η οποία φαίνεται στην επόμενη εικόνα:

(με πράσινο είναι οι υποδείξεις που έκανα εγώ, προσπαθώντας να βοηθήσω τη μαθήτρια)

Με αφορμή τη συζήτηση που ακολούθησε και τις διορθώσεις που έγιναν, κατασκεύασα επί τόπου μια πρόχειρη άσκηση, για να δω πώς θα αντιδράσουν οι μαθητές. Ζήτησα να προτείνουν λύσεις και κατέγραψα στον πίνακα τις τρεις προτάσεις (ή έστω τις δυο παρατηρήσεις και τη μια πρόταση) που ακούστηκαν:

Από τις δύο πρώτες (αυθόρμητες) παρατηρήσεις γίνεται προφανές πως το "τριώνυμο" είναι αυτό που "κλέβει την παράσταση" και αφήνει όλα τα υπόλοιπα στο παρασκήνιο.
Στην Α' Λυκείου δε το σημερινό μάθημα εξυπηρετούσε σε μεγάλο βαθμό τον πειραματισμό γύρω από το ερώτημα: "πώς αντιδρούν οι μαθητές στη θέα του τριωνύμου;". 

Αφού έκανα μια σύντομη, πλην περιεκτική παράδοση, με αρκετές ερωταποκρίσεις και ο πίνακας μας είχε περίπου αυτήν τη μορφή:

 ζήτησα από τους μαθητές να προσπαθήσουν να λύσουν την ακόλουθη άσκηση:

 

Περνώντας από τα θρανία, επιβεβαίωσα την πρόβλεψή μου! Η πλειοψηφία των μαθητών - και έχει πολύ καλούς, έξυπνους και μελετηρούς, μαθητές το συγκεκριμένο τμήμα της Α' - αντέδρασαν υπό την επήρεια του "βόδια στο τετράγωνο μείον τέσσερις αγελάδες"!

Με την άδειά τους φωτογράφησα μερικά τετράδια. Παραθέτω δυο χαρακτηριστικά ευρήματα:

Νομίζω πως τα ντοκουμέντα που παρέθεσα είναι αρκετά, για να επαληθεύσουν τον ισχυρισμό μου, ότι τελικά "τα βόδια στο τετράγωνο..." οργώνουν βαθιά τη σκέψη των μικρών μαθητών και τους καλλιεργούν μια αντανακλαστική αντίδραση όμοια με εκείνη του σκύλου στα πειράματα του Παυλόφ!

Και μπαίνει το ερώτημα: είναι τελικά σωστό χρησιμοποιώντας τόσο υπερμεγέθεις και ... υπέρβαρες εικόνες, όπως τα βόδια στο τετράγωνο και οι τέσσερις αγελάδες, να δημιουργούμε μια προκάτ αντίδραση στα παιδιά; 

Μήπως αυτό περιορίζει την ικανότητά τους να "κρίνουν" και να διακρίνουν πού και πότε είναι χρήσιμο και απαραίτητο να υπολογίζουν τη Διακρίνουσα;

Θα με ενδιέφερε πολύ να έχω σχόλια, απόψεις, κρίσεις και  απαντήσεις.  :)

--------------------------------------------------------------------------------

Θέλω να ευχαριστήσω όλους τους μαθητές μου, οι οποίοι έχοντας κατανοήσει την προσπάθεια που καταβάλω  για να βρω τρόπους και πρακτικές που θα βελτιώσουν όσο το δυνατόν περισσότερο τη μαθηματική τους παιδεία, μου δείχνουν εμπιστοσύνη και μου επιτρέπουν να διαχειρίζομε ελεύθερα το υλικό που προκύπτει από τα μαθήματά μας στην τάξη του σχολείου.
Ελπίζω και εύχομαι με το τέλος της χρονιάς να έχουμε ξεκαθαρίσει το τοπίο και να έχουμε αποκτήσει επαρκή κρίση όλοι μας!