ΑΛΗΘΕΙΣ και ΨΕΥΔΕΙΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ



Α-Α-Α, Ψ-Ψ-Α!!!

Κατ’ εξαίρεση και κατόπιν της πρότασης του συναδέλφου ΜΧ, γράφω ένα μικρό μέρος από το μάθημα που έκανα σήμερα σε ένα τμήμα της Α’ Λυκείου, όπου ξεκινώντας το καινούριο βιβλίο, βρέθηκα, όπως πολλοί εξ ημών, να εξηγώ προτασιακούς τύπους, αναζητώντας τον καλύτερο δυνατό τρόπο… Δεν θα το πιάσω  από την αρχή της διδακτικής ώρας,  όπου φαντάζομαι πως  λίγο πολύ είναι  για όλους μας κοινή, με την αποσαφήνιση του όρου «λογική πρόταση» και τα σχετικά παραδείγματα και αντιπαραδείγματα, αλλά θα αρκεστώ μόνο σε εκείνο το σημείο που προκάλεσε τόσο σε μένα όσο και στα παιδιά- για διαφορετικούς λόγους- τη μεγαλύτερη έκπληξη. Φτάνω λοιπόν κάπου να λέω ότι:


«…Ξεκινώντας από έναν ψευδή ισχυρισμό, και ακολουθώντας εννόμες και συνεπείς διαδικασίες καταλήγουμε σε ένα ψευδές συμπέρασμα!

Δείτε το με ένα μαθηματικό παράδειγμα:

Έστω ότι είναι 4<3 (ψευδής υπόθεση).

Αν στην παραπάνω ψευδή υπόθεση εφαρμόσουμε τον γνωστό μας γενικό κανόνα:

Αν α < β, τότε α + γ < β + γ 

Θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα: 4 + 5 < 3 +5 δηλαδή 9 < 8 (ψευδές συμπέρασμα)

Λοιπόν, πώς σας φαίνεται όλο αυτό; Τι πιστεύετε ότι είναι; Ψευδές ή Αληθές; »

Τα περισσοτέρα χέρια σηκώθηκαν. Η απάντηση κρινόταν στο 50-50 και εκεί διακυμάνθηκε, ώσπου ακολούθησε από την πλευρά μου το «γιατί;», που ακολουθεί πάντα, σε παρόμοιες περιπτώσεις. Εδώ ακούστηκαν διάφορα, από φαιδρά ή αδιάφορα έως και «σοφιστικέ», επηρεασμένα κατά πάσα πιθανότητα από το δικό μου επιτηδευμένα σοβαρό ύφος. Η πιο ενδιαφέρουσα απάντηση ήταν μιας μαθήτριας που με πυγμή ισχυρίστηκε ότι:

«Η πρόταση είναι ψευδής, επειδή το συμπέρασμα είναι ψευδές.»

Η συγκεκριμένη απάντηση μαρτυρά ότι δεν εκλαμβάνεται το πακέτο «Υπόθεση-Συμπέρασμα» ως ενιαίο σύνολο και πως η αλήθεια της πρότασης τελικά συνάγεται από την αλήθεια του συμπεράσματος και μόνο.

Μου δόθηκε έτσι η ευκαιρία να «βγω» από τα Μαθηματικά και τους κανόνες τους και να αναφερθώ σε θέματα που αφορούσαν μάλλον στην ηθική. Είπα αρχικά πως η παραπάνω λογική πρόταση είναι μια αναμφισβήτητη αλήθεια κι αφού έδωσα λίγο χρόνο για να το σκεφτούν επιχείρησα μιαν άλλη – μη μαθηματική αυτή τη φορά – προσέγγιση.

«Λοιπόν, ξεκινήσαμε από μια ψευδή υπόθεση, εφαρμόσαμε έναν κανόνα που ισχύει και καταλήξαμε σε ένα ψευδές συμπέρασμα. Όλο αυτό που κάναμε μοιάζει –και είναι – απόλυτα αληθινό. Θα προτιμούσατε ένα ψέμα μέσα από μια έννομη διαδικασία να μεταμορφώνεται σε αλήθεια; Για να σκεφτούμε λίγο πόσο δίκαιο και πόσο ηθικό θα ήταν κάτι τέτοιο; Πόσο ηθική μπορεί να είναι μια διαδικασία η οποία ξεκινάει από ένα ψέμα και εφαρμόζοντας πάνω του κάποιον αποδεδειγμένα γενικό κανόνα, έναν ας πούμε συνταγματικό νόμο,  καταλήγει σε αλήθεια;»

Φάνηκαν να προβληματίζονται και να καταλαβαίνουν πολύ καλά πως αφενός αντιμετωπίζαμε το θέμα όχι τμηματικά, «υπόθεση», «συμπέρασμα», αλλά ολιστικά «υπόθεση-συμπέρασμα» και αφετέρου πως η αλήθεια του όλου εξαρτιόνταν άμεσα από τον κανόνα που εφαρμόστηκε στη μετάβαση από την υπόθεση  στο συμπέρασμα.
Η κατανόηση από την πλευρά τους διαπιστώθηκε επί πλέον όταν ζήτησα να απαντήσουν στο επόμενο μαθηματικό παράδειγμα.

Υπόθεση: -4 < -3 (Α) /Πολλαπλασιασμός κατά μέλη με το (-1)/Συμπέρασμα: 4 < 3 (Ψ).

Απάντησαν σχεδόν ομόφωνα πως η πρόταση είναι ψευδής, επειδή ο κανόνας μετάβασης, δηλαδή ο πολλαπλασιασμός κατά μέλη μιας ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, δεν εφαρμόστηκε σωστά.

Όσο δε για το P↔ Q, πιστεύω πως όταν  έχει κατανοηθεί επαρκώς το «αν P, τότε Q», αρκούν ένα ή δυο μαθηματικά παραδείγματα, συνοδευόμενα ίσως και από μια δυο αμφίδρομες χημικές αντιδράσεις, όπως: Η2+1/2 Ο2 ↔ Η2Ο!!

Ελπίζω πως μετά από όλα αυτά , θα έμαθαν το μάθημά τους….νεράκι!! Θα φανεί τη Δευτέρα :)

Το βέβαιο είναι πως η Λογική πρέπει να διδάσκεται περισσότερο, γιατί πέρα από το ότι δείχνει τι κάνουμε και γιατί το κάνουμε όταν ασχολούμαστε με τα Μαθηματικά, επιπλέον η κουβέντα  που ανοίγει γύρω από  διάφορα θέματα δίνει σ' αυτό το στυγνό, τυπικό και συχνά τρομακτικό μάθημα των Μαθηματικών μια πολύ ανθρώπινη διάσταση.