ΕΙΔΗ ΑΠΕΙΡΟΥ...

Η ανθρωπότητα ταλαντεύεται ανάμεσα στο φόβο ενός περιφραγμένου χώρου και στο φόβο της πτώσης σε ένα ατέλειωτο κενό. Το πως αντιδρά το κάθε άτομο στην έννοια του απείρου εξαρτάται περισσότερο από την ψυχολογία του, παρά από κάποιο χαρακτηριστικό του απείρου. (σελ.195)
Μια από τις μεγαλύτερες προσπάθειες στην ιστορία των Μαθηματικών ήταν η οικοδόμηση μιας λογικής που θα πραγματευόταν ικανοποιητικά το άπειρο.
(σελ. 197)

Άπειρο μέγεθος

Οι Έλληνες είναι οι πρώτοι που άφησαν πίσω τους ένα αξιόλογο έργο για την έννοια του απείρου.
Ο Πλάτωνας, πρέσβευε το "πανδεχές", κατά το οποίο ο χώρος συνενώνεται με κάποιον τρόπο με τα είδη ή τις ιδέες για να δημιουργηθεί ο αισθητός κόσμος. Οι ιδέες είναι αυτόνομες και αδιαίρετες, ενώ η υποδοχή, δηλαδή ο χώρος που τις δέχεται είναι απείρως διαιρετός.

Ο Αριστοτέλης άσκησε κριτική τόσο στον Πλάτωνα, όσο και στον Πυθαγόρα, επειδή πίστευαν ότι το άπειρο ήταν μια αυθύπαρκτη ουσία και όχι μια ιδιότητα κάποιου άλλου πράγματος. Απόρριπτε την ύπαρξη άπειρου πλήθους αριθμών. Αρνήθηκε επομένως την πλήρη ύπαρξη του απείρου, ενώ ταυτόχρονα προσπαθούσε να κρατήσει ζωντανή κάποια έννοια του απείρου, το εν δυνάμει άπειρο.

Αποσπασματικά παρέθεσα κάποιες παραγράφους απο το 8ο κεφάλαιο του βιβλίου του C.C. Clawson, "ο ταξιδευτής των μαθηματικών". Ο τίτλος του κεφαλαίου είναι: "Αντιμετωπίζοντας το άπειρο" και ξεκινάει, νομίζω από τον Αναξίμανδρο τον Μιλήσιο, «Αρχήν και στοιχείον το άπειρον… Τα μεν μέρη μεταβάλλειν, το δε παν αμετάβλητον είναι» και φτάνει μέχρι την ανακάλυψη των ορίων στον 18ο αιώνα, για να συνεχίσει την εξερεύνηση της εντυπωσιακής ιστορίας των αριθμών στα επόμενα κεφάλαια, προσπαθώντας να δώσει ιστορικά τεκμηριωμένες απαντήσεις στην αντίδραση των ανθρώπων μπροστά σε ερωτήματα όπως
"Είναι δυνατόν να έχουμε άθροισμα με άπειρους προσθετέους και να πάρουμε ως αποτέλεσμα έναν πεπερασμένο πραγματικό αριθμό;" (η απάντηση είναι: ναι, μέσω των ορίων )
Κλείνει το 8ο κεφάλαιο λέγοντας:
"Τα σύγχρονα μαθηματικά κι οι επιστήμες δε θα μπορούσαν ποτέ να αναπτυχθούν αν δεν είχαμε ανακαλύψει τα όρια.
Η ιδέα ενός ορίου είναι πράγματι μια εκλεπτυσμένη και όμορφη έννοια, γιατί μπορούμε να πάρουμε ένα άπειρο πλήθος όρων και να τους συσχετίσουμε στο όριο με κάτι πεπερασμένο. Χρησιμοποιώντας αυτή την τεχνική, μπορούμε να ερευνήσουμε ακόμα βαθύτερα τα μυστήρια του συστήματος των αριθμών μας, για να αποκαλύψουμε εντυπωσιακούς και παράξενους νέους αριθμούς."

Κι αν αυτό, έτσι αποκομμένο, δεν είναι και τόσο κατανοητό σε ένα μη ειδικό, τα όσα έχουν προηγηθεί στην εξιστόρηση του Clawson για το πως φτάσαμε στα όρια, πιστεύω πως θα δώσουν μια σαφή και μάλλον όμορφη εικόνα της διαδικασίας που προηγήθηκε, της λεγόμενης μεθόδου της εξάντλησης.
Η μέθοδος της εξάντλησης που εφάρμοζαν οι αρχαίοι έλληνες για να υπολογίσουν εμβαδά επιφανειών που οριοθετούνταν από καμπύλες περιγράφεται πλήρως στο βιβλίο XIII του Ευκλείδη, σύμφωνα με τον οποίον: αν από ένα μέγεθος αφαιρεθεί ένα τμήμα όχι μικρότερο από το μισό του, κι αν από το υπόλοιπο αφαιρέσουμε πάλι όχι λιγότερο από το μισό του, κι αν αυτή η διαδικασία της αφαίρεσης συνεχιστεί, τελικά θα απομείνει ένα μέγεθος μικρότερο από οποιοδήποτε προκαθορισμένο μέγεθος αυτού του είδους.
(αν το μέγεθος αυτό είναι το «σφάλμα», τότε με τη μέθοδο της εξάντλησης πετυχαίνουμε να κάνουμε το σφάλμα οριακά μηδέν, άρα να πετύχουμε μια άριστη προσέγγιση)

Και όπως προκύπτει από όλα τα παραπάνω δεν μπορούμε να ξεφύγουμε από το "περιφραγμένο της ανθρώπινης ιδιότητάς" μας, το οποίο μας επιτρέπει μόνο προσεγγίσεις να κάνουμε, άντε και στην καλύτερη περίπτωση ίσως να πετυχαίνουμε ένα σφάλμα οριακά μηδέν, αλλά όπως και να' χει το σφάλμα είναι αναπόφευκτο!

Το βιβλίο του C.C. Clawson αξίζει να διαβαστεί για όλα τα κεφάλαια του, αλλά εγώ θα επανέλθω στο κεφάλαιο 8 και θα "αντιμετωπίσω" πάλι το άπειρο, επιδιώκοντας με τον τρόπο αυτό...την πτώση στο ατέλειωτο κενό, εμμένοντας στις δυο επιλογές που δίνει ο συγγραφέας βάζοντας την ανθρωπότητα συλλογικά να ταλαντεύεται ανάμεσα στους δυο φόβους, του...στενού μαρκαρίσματος και της αβυσσαλέας, χωρίς όρια, πτώσης...
Εκτός κι αν μέχρι την επόμενη ανάρτηση μεταξύ των δύο τούτων καταστάσεων βρεθεί κάποια που θα έχει απαλλαχτεί από το αίσθημα του φόβου, επιλέγοντας κάποιου είδους "λογικά όρια"! Αλλά αυτό έχει να κάνει με την ψυχολογία του κάθε ατόμου...