Κυριακή, 11 Νοεμβρίου 2018

Περί κριτηρίων ισότητας και ...ταξικής ανισότητας!

Σήμερα που η τεχνολογία καταλύει τα χωροχρονικά εμπόδια, έχουμε τη  δυνατότητα να συζητάμε το x διδακτικό πρόβλημα, εν τη γενέσει του ακόμη, με e-φίλους, που έχουν ανάλογες ή σχετικές εμπειρίες και απόψεις και να συμφωνούμε, να διαφωνούμε, να αλληλεπιδρούμε και μέσω αυτής της διαδικασίας να αναθεωρούμε ή να ενισχύουμε τις μεθόδους και τις πρακτικές μας. Πολύ δε περισσότερο όταν οι e-φίλοι προέρχονται είτε από άλλον εκπαιδευτικό χώρο, όπως π.χ. το φροντιστήριο, είτε από άλλη εκπαιδευτική βαθμίδα, όπως π.χ. το Δημοτικό, οπότε η αλληλεπίδραση βοηθάει στη διαμόρφωση μιας γενικότερης εικόνας, που με τη σειρά της βοηθάει, αν όχι στην επίλυση του προβλήματος, τουλάχιστον στην καλύτερη κατανόησή του.
Το πρόβλημα που αντιμετωπίζω αυτές τις μέρες έχει να κάνει με τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων, τα οποία πρέπει να διδάξω σε δύο τμήματα της Γ' Γυμνασίου. Το συγκεκριμένο κεφάλαιο είναι ένα πανέμορφο κεφάλαιο, επειδή συνδυάζει τη διαίσθηση της εικόνας με τη γλωσσική/συμβολική έκφραση και απαιτεί συλλογιστικές διεργασίες του τύπου "Αν P, τότε Q", με τις οποίες δεν είναι εξοικειωμένοι ακόμη οι μαθητές.
Και εδώ τίθεται το ερώτημα: με τι είναι εξοικειωμένοι οι μαθητές;
Ή, για να το κάνω ακόμη πιο ... προκλητικό, μήπως πρέπει να δουλεύουμε στην τάξη μόνο με όσα είναι εξοικειωμένοι οι μαθητές; Να περιοριζόμαστε αποκλειστικά και μόνο σε αυτό που ήδη γνωρίζουν ή σε αυτό που μπορούν, λόγω οικείωσης, να διαχειριστούν;
Ή, για να το κάνω ακόμη, πιο ... επιθετικό, μήπως πρέπει να κατεβάζουμε συνεχώς το επίπεδο στις (υπάρχουσες) δυνατότητες των παιδιών και να μη ζητάμε κάτι περισσότερο από αυτό που μπορούν;
Η εξέλιξη - συλλογική και ατομική - η επινόηση, η πρόοδος, η αλλαγή μπορούν να επιτελεστούν δίχως κάποιας μορφής "πίεση", είτε εσωτερική  είτε εξωτερική;
Ο R. Wilder, στο βιβλίο του "Η εξέλιξη των μαθηματικών εννοιών", αναφέρεται συχνά στην εκάστοτε "πολιτισμική πίεση" που ώθησε στην επινόηση νέων μαθηματικών εργαλείων. Αναφέρεται όμως και στην "πολιτισμική υστέρηση", αυτήν την έμφυτη αδράνεια της μάζας σε κάθε αλλαγή.
Κι εγώ ξαναρωτώ: πώς να διαχειριστώ την αδυναμία των μαθητών μου να "ενεργοποιηθούν" απέναντι σε ένα τόσο όμορφο και χρήσιμο για την εκμάθηση συλλογιστικών διαδικασιών κεφάλαιο όπως τα κριτήρια ισότητας τριγώνων;
Οι δυσκολίες που πρέπει να ξεπεραστούν είναι πολλές με κυρίαρχη για μια ακόμη φορά τη γλωσσική ένδεια, που δεν είναι φαινόμενο σημερινό.
Η γλώσσα απαιτεί πολλά χρόνια εκμάθησης και σίγουρα θέληση και προσπάθεια. Οι δύσκολες λέξεις που χρησιμοποιούνται στην Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν περιλαμβάνονται στο λεξιλόγιο των παιδιών και τους δυσκολεύουν στην κατανόηση και απομνημόνευση των εννοιών... Συμφωνώ. Αλλά τι πρέπει να κάνω; Να σταθώ σ' αυτό; Να συμφωνήσω με όσα μου λέει ο   e-φίλος, Γιάννης, που διδάσκει σε Δημοτικό και με τον οποίον συζητάω το θέμα τον τελευταίο καιρό; Σέβομαι την άποψή του και σίγουρα εκτιμώ πολύ τη δουλειά του, αλλά στο συγκεκριμένο θέμα δεν μπορώ να συμφωνήσω στο εκατό τοις εκατό.  Βεβαίως, συμφωνώ με τον Γιάννη, που λέει πως:
       
        "Είναι δύσκολα τα ελληνικά των μαθηματικών. Προέρχονται από λόγιες λέξεις 
        που δεν τις χρησιμοποιούν τα παιδιά και οι έφηβοι",

αλλά δεν συμφωνώ με την άποψη πως αυτή η εγγενής δυσκολία, πρέπει να αλλάξει εξ ολοκλήρου τη διδακτική διαδικασία. Άλλωστε δεν είναι η πρώτη φορά που συναντούν τη συγκεκριμένη ορολογία. Επειδή τους δίδαξα και στις δύο προηγούμενες τάξεις, γνωρίζω καλά πόσες φορές τις έχουν συναντήσει και σε ποια έκταση τις έχω στο παρελθόν εξηγήσει. Τα ίδια τα παιδιά θυμούνται τις "εργασίες" που έκαναν με θέμα τα πρωτεύοντα και δευτερεύοντα στοιχεία των τριγώνων.
"Μας τα βάλατε και πέρυσι αυτά!", "Τα έχουμε κάνει, κυρία!" ακούστηκαν αρκετοί στο πρώτο (εισαγωγικό) μάθημα στα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. Εγώ, φυσικά, θυμόμουν καλά πόσες φορές, από την Α' Γυμνασίου μέχρι τούδε, τους έχω αναθέσει σχετικές εργασίες. Μέχρι και "πορτρέτα" για την τάξη φτιάξαμε με θέμα τα τρίγωνα και τα στοιχεία τους. Με τη βεβαιότητα όμως πως απαιτείται υπενθύμιση, πριν ξεκινήσω το κεφάλαιο, και αφού εξήγησα ότι "κριτήριο" είναι ένα εργαλείο ελέγχου μιας συνθήκης, υπενθύμισα όλα όσα απαιτούνται...

Έδωσα ιδιαίτερη έμφαση στις έννοιες της περιεχόμενης και της προσκείμενης γωνίας, καθώς και στο τοπικό "απέναντι", που τόσο λάθος χρησιμοποιείται, εν γένει...
Για να βεβαιωθώ πως οι μικροί μου μαθητές θα ασχοληθούν επαρκώς και θα ετοιμαστούν καταλλήλως για τα κριτήρια ισότητας, τους είπα πως στο επόμενο μάθημα θα εξαταστούν σε αυτές τις βασικές γνώσεις. Για το σκοπό αυτό ετοίμασα το παρακάτω, ας το πούμε, "τεστ".


"Με αυτά που τους ζητώ οι πιο πολλοί  θα γράψουν μεγάλους βαθμούς...", σκέφτηκα.
"Ας γράψουν! Θα εμψυχωθούν και θα ... αγαπήσουν τη Γεωμετρία!", είπα στον εαυτό μου και σχεδόν χάρηκα από τις προσδοκίες μου.
Πόσο αφελείς σκέψεις μπορεί να κάνει μια δασκάλα, που επιμένει να ελπίζει ...
Πράγματι, ελπίζω. Πάντα ελπίζω και προσδοκώ. Αλλά τις περισσότερες φορές - τα τελευταία χρόνια -  τα αποτελέσματα δεν επιβεβαιώνουν τις (μεγάλες;) προσδοκίες μου.
Χθες το πρωί, η πρώτη μου δουλειά ήταν να διορθώσω τα γραπτά. Οι λέξεις "περιεχόμενη" και "προσκείμενη", που έπρεπε να γραφτούν, εμφανίστηκαν ελάχιστες φορές. Αντ' αυτών διάβασα "παραπληρωματική", "κορυφή" ή και λέξεις που έφτιαξαν τα παιδιά για να γεμίσουν τα κενά. Μεταξύ αυτών και "επικείμενη","προηστάμενη", "περιλαμβανόμενη", "εμποδιασμένη"! Υπήρξε βέβαια και 20 και 19, αλλά ο μέσος όρος ήταν απελπιστικά χαμηλός.
Δεν έχει άδικο ο Γιάννης, ο οποίος στο τέλος της συζήτησής μας, με αφορμή το συγκεκριμένο τεστ μου είπε, χθες, πως:

         "Έννοιες όπως διχοτόμος, διάμετρος κ.ά. τις μαθαίνεις μέσα από τις ασκήσεις, 
          στις  οποίες απαιτείς να χρησιμοποιούν τους σωστούς όρους. Σιγά σιγά με  
          υπομονή θα δεις βελτίωση. Εσύ από ό,τι έχω καταλάβει απαιτείς να τους 
          μάθουν και μετά να λύσουν ασκήσεις. Δεν νομίζω ότι είναι αποτελεσματικό."

Δεν διαφωνώ πως οι έννοιες αυτές είναι δύσκολες! Είναι όμως δυνατόν να μάθουμε μόνο τα εύκολα; Και πόσο σιγά σιγά να τα μάθουμε αυτά; Τα ξεκινήσαμε στην Α' Γυμνασίου και προχωράμε χρόνο με το χρόνο, ξανά και ξανά. Σε λιγότερο από δώδεκα μήνες, αυτά τα παιδιά θα φοιτούν, στην Α' Λυκείου. Δηλαδή, τα περισσότερα από αυτά. Κι εκεί τα πράγματα θα είναι ακόμη πιο απαιτητικά. Τα κριτήρια ισότητας τριγώνων θα διδαχτούν, υποτίθεται, εν τάχει, επειδή θεωρούνται, όπως λένε  οι οδηγίες από το Υπουργείο, γνωστά. (Να γελάσω ή να το αφήσω για μετά;) Και τότε θα αναδείξουν, σε αυτήν την κρίσιμη πρώτη τάξη του Λυκείου, πως τα κριτήρια, εν τέλει, ήταν, είναι και θα είναι ταξικά!

------------------------------------------------------------------
Προσωπικά αδυνατώ να δεχτώ πως παιδιά που είναι σε θέση να αποδώσουν νόημα σε αρτικόλεξα ή σε μυστήριες αγγλικές λέξεις και να τις χρησιμοποιήσουν λειτουργικά, δεν μπορούν να κατανοήσουν έννοιες όπως "περιεχόμενη", "προσκείμενη" κι άλλα τέτοια δύσκολα που συναντούν στα Μαθηματικά.
Βρίσκω πολύ εύκολη τη λύση να περιοριζόμαστε απλά σε όσα μπορούν και σε όσα κατανοούν τα παιδιά. Άλλωστε, πιστεύω ακόμη στη "ζώνη επικείμενης ανάπτυξης" και σε διάφορα τέτοια -παλαιού τύπου- παιδαγωγικά.
Χωρίς, βέβαια, να αμφιβάλλω καθόλου για το ό,τι η εποχή μας απαιτεί αναθεώρηση και σίγουρα καινούρια μέτρα και σταθμά...

Πέμπτη, 8 Νοεμβρίου 2018

Η τέχνη της σκέψης ή η κουλτούρα της απερισκεψίας....

Κάθε βιβλίο που διαβάζω, όταν παρουσιάζει ενδιαφέρον, επηρεάζει ως ένα βαθμό την καθημερινότητά μου, επειδή γεννά καινούριες σκέψεις στο μυαλό μου ή ανασύρει και ενισχύει άλλες παλιότερες ή, ενίοτε, με βάζει στον πειρασμό να πειραματιστώ, για να επαληθεύσω ή να απορρίψω κάτι που γράφει. Πολύ δε περισσότερο όταν είναι ένα βιβλίο όπως αυτό του Ελβετού φιλοσόφου-συγγραφέα Ρολφ Ντομπέλλι, με τίτλο "η τέχνη της πρακτικής σκέψης. 52 λάθος δρόμοι που θα ήταν καλύτερα να αποφύγετε...".
Επειδή η σκέψη, και ως τέχνη και ως τεχνική, βρίσκεται στον πυρήνα των Μαθηματικών,  για να επιστήσω την προσοχή των παιδιών σε κάποια διαδικασία που εξηγώ, λέω πολύ συχνά: "Ακούστε προσεκτικά! Τα Μαθηματικά είναι η τέχνη των συλλογισμών. Μας διδάσκουν πώς να σκεφτόμαστε, πώς να συνδυάζουμε τα δεδομένα, για να καταλήξουμε στο ζητούμενο. Και οι σωστοί συλλογισμοί δεν δίνουν λύσεις μόνο στα προβλήματα των Μαθηματικών, δίνουν λύσεις και στα προβλήματα της ζωής κι αυτό είναι το πιο σημαντικό...".
Υποθέτω πως έχουν βαρεθεί να με ακούν να το επαναλαμβάνω, αλλά το λέω ξανά και ξανά, επειδή δεν βλέπω να το παίρνουν πολύ στα σοβαρά. Και όμως, σπάνια διατυπώνεται από τους μαθητές μου με σαφήνεια και ορθότητα μια ολοκληρωμένη σκέψη. Κι αυτό είναι ένα μεγάλο και ανυπέρβλητο(;) πρόβλημα στην κατασκευή της μαθηματικής γνώσης.

Τι είναι όμως η "σκέψη"; Σύμφωνα με τον Μπαμπινιώτη η σκέψη ορίζεται ως "η διαδικασία κατά την οποία επεξεργαζόμαστε στο μυαλό μας ορισμένα δεδομένα για να καταλήξουμε σε αποτέλεσμα/συμπέρασμα".  
Ούτε λίγο ούτε πολύ η "σκέψη" είναι η διαδικασία που μας διδάσκουν τα Μαθηματικά μέσω της αφαίρεσης ή της μοντελοποίησης ή και των δύο.
Το ερώτημα που γεννιέται είναι: τι απαιτείται για να επιτελεστεί αυτή η τόσο σημαντική διαδικασία; Αναμφιβόλως, οι προϋποθέσεις είναι πολλές. Καταγράφω τις πρώτες που μου έρχονται στο μυαλό.
1. Στοιχειώδεις γνώσεις των βασικών εννοιών και των μεταξύ τους σχέσεων.
2. Ενδιαφέρον.
3. Επιθυμία για εμπλοκή στη διαδικασία.
4. Ικανότητα αυτοσυγκέντρωσης, αυτοπειθαρχίας και προσήλωσης.
5. Θάρρος.
6. Υπομονή και επιμονή.
7. Εμπειρία.
8. Κίνητρα.
9. Όλα τα προηγούμενα.

Πιθανόν, όλα τα προηγούμενα και άλλα τόσα.
Όμως αυτό που διάβασα, πριν φύγω για το σχολείο σήμερα το πρωί, στο βιβλίο του Ντομπέλλι, με έκανε να στρέψω την προσοχή μου όχι τόσο στη διαδικασία και στις προϋποθέσεις, όσο στην "ποιότητα" της σκέψης. Αυτό με ώθησε να πειραματιστώ, στο τέλος της 7ης ώρας σε ένα τμήμα της Β' Γυμνασίου.
Πριν περιγράψω το δικό μου πείραμα, όμως, θα  πω εν συντομία κάτι που αναφέρεται στο κεφάλαιο με τον πομπώδη τίτλο: ΜΗΝ ΠΙΣΤΕΥΕΤΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΑΝΟΗΣΙΕΣ ΠΟΥ ΣΑΣ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΥΘΟΡΜΗΤΑ ΣΤΟΝ ΝΟΥ. Η ψευδαίσθηση του "είναι λογικό!", το οποίο με ώθησε στον πειραματισμό και σε έντονο προβληματισμό.
Στο κεφάλαιο αυτό αναφέρεται το "Τεστ γνωστικής ανάκλασης" (Cognitive Reflection Test, CRT), το οποίο σχεδιάσε ο Σέιν Φρέντερικ και το έδωσε σε ένα μεγάλο αριθμό φοιτητών στο MIT, στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον και στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν. Το πείραμα επαναλήφθηκε επί σειρά ετών, κάτι που καθιστά έγκυρα τα συμπεράσματα. Πριν γράψω τις τρεις απλές ερωτήσεις του τεστ, και για να προϊδεάσω τους αναγνώστες, θα αναφέρω συνοπτικά τα συμπεράσματα του πειράματος του Φρέντερικ.
Το μεγαλύτερο μέρος των φοιτητών που απάντησαν γρήγορα μεν εσφαλμένα δε στις τρεις ερωτήσεις του τεστ, όταν στη συνέχεια ρωτήθηκαν αν θα προτιμούσαν να πάρουν τώρα αμέσως 3.400 δολάρια ή σε ένα μήνα 3.800 δολάρια, προτίμησαν το "κάλιο πέντε και στο χέρι", όπως γράφει ο Ντομπέλλι. Συγκεκριμένα γράφει το εξής:

"Τα άτομα που κατέγραψαν τα χειρότερα αποτελέσματα στο τεστ έχουν την τάση να δέχονται αμέσως τα 3.400 δολάρια. Δυσκολεύονται πολύ να δείξουν υπομονή και επιμονή. Είναι πιο παρορμητικά. [...]. Αντιθέτως τα άτομα που είχαν επιτυχία στο τεστ προτιμούν να περιμένουν ένα μήνα. Χρησιμοποιούν τη δύναμη της θέλησής τους, για να παραιτηθούν από την άμεση ικανοποίηση και αποζημιώνονται γι' αυτό αργότερα." (σελ. 93)

Εσείς, αλήθεια, τι θα προτιμούσατε. 3.400 ευρώ εδώ και τώρα ή 3.800 σε ένα μήνα;
Και πώς θα απαντούσατε στις τρεις ερωτήσεις του "Τεστ γνωστικής ανάκλασης", που είναι:

1.  Σε ένα κατάστημα η ρακέτα του πινγκ πονγκ μαζί με τη μπάλα του πινγκ πονγκ κοστίζουν 1.10 ευρώ. Αν η ρακέτα κοστίζει ένα ευρώ περισσότερο από τη μπάλα, πόσο κοστίζει η ρακέτα και πόσο η μπάλα;
2. Σε ένα εργοστάσιο υφαντουργίας πέντε μηχανές χρειάζονται πέντε λεπτά για να φτιάξουν πέντε πουκάμισα. Πόσα λεπτά χρειάζονται εκατό μηχανές για να φτιάξουν εκατό πουκάμισα;
3. Τα νούφαρα που φυτρώνουν σε μια λίμνη πολλαπλασιάζονται πολύ γρήγορα και κάθε μέρα η επιφάνεια της λίμνης που καλύπτουν διπλασιάζεται. Αν για να καλύψουν ολόκληρη τη λίμνη χρειάζονται 48 μέρες σε πόσες μέρες θα καλύπτουν τη μισή λίμνη;*

Πίσω στη σχολική τάξη και στην 7η ώρα, τώρα.
Σε ένα τμήμα της Β, λίγα λεπτά πριν τις 14.00, που χτυπάει το κουδούνι, είχα ολοκληρώσει το μάθημα και οι κουρασμένοι και πιθανόν πεινασμένοι μικροί μαθητές, έμοιαζαν να έχουν καταρρεύσει. Εγώ, που άντεχα ακόμη, προτίμησα αντί να εξαντλήσουμε το χρόνο με μια ακόμη άσκηση, να τους θέσω το πρώτο ερώτημα του τεστ.
Τους το είπα όχι με ρακέτα και μπάλα, όπως το αναφέρει ο Φρέντερικ, αλλά με μπουκάλι και φελό,  όπως το ξέρουμε εδώ.
Αστραπιαία απάντησαν όλοι! Και απάντησαν λάθος.
"Ένα ευρώ κάνει το μπουκάλι και δέκα λεπτά ο φελός"!
Έκανα δυο τρεις υποδείξεις. Ξαναπροσπάθησαν. Τα ίδια.
"Ενενήντα λεπτά το μπουκάλι και είκοσι λεπτά ο φελός"!
Κι άλλες υποδείξεις. Πάλι τίποτα.

Άρχισα να τους εξηγώ τι είχα διαβάσει το πρωί σχετικά με το συγκεκριμένο πρόβλημα, θέλοντας να διασυνδέσω τη διαδικαδία της (μαθηματικής) σκέψης με την εγκράτεια, την περισυλλογή και όλα τα συναφή. Άκουγαν οι περισσότεροι με προσοχή, αλλά δυο τρεις, μη μπορώντας να διαχειριστούν την αδημονία τους, μου ζητούσανν επίμονα τη σωστή απάντηση.
"Και πόσο κάνει το μπουκάλι, δηλαδή;"
"Άντε, γιατί δεν μας το λέτε;"
Ελάχιστα ενδιαφέρονταν για το τι σημαίνει "σκέψη" και για όσα τους έλεγα.
Η σφοδρή τους επιθυμία να βιώσουν άμεση ικανοποίηση αποδυνάμωνε την εγκαρτέρησή τους, αν υποθέσουμε πως διαθέτουν εγκαρτέρηση.
Έδωσα τη σωστή απάντηση, στην εκπνοή του χρόνου και με το ντριιιν εξαφανίστηκαν στη στιγμή. Αναρωτήθηκα αν κάποιος από αυτούς στο δρόμο για το σπίτι, ξανασκεφτεί όσα τους είχα πει...Μπορεί. Μπορεί όμως να μην τους κάηκε καρφί...



Αυτό που διαπιστώνω είναι πως χρόνο με το χρόνο, η απαίτηση της άμεσης ικανοποίησης των όποιων αναγκών, σε συνδυασμό πάντα και με τη θετική απόκριση του σχολείου μας στο μοντέλο αυτό, απομακρύνει εντελώς απερίσκεπτα - μικρούς και μεγάλους - από τις συνθήκες  που απαιτούνται για την τέχνη της σκέψης γενικά, και  κατά συνέπεια, για όλα εκείνα που προϋποθέτει η καλή επίδοση στα Μαθηματικά.
------------------------------------------------------------------------------------------------
*Την ερώτηση αυτή την έχω συμπεριλάβει στο βιβλίο "Ο Γιάννης που αγάπησα", στην ιστορία με τίτλο: Η γνώση που μας λείπει είναι "η επίγνωση των ορίων", γι' αυτό ζούμε την περιπέτεια των νούφαρων. σελ. 109


Τρίτη, 6 Νοεμβρίου 2018

Το αστυνομικό αφήγημα στην υπηρεσία της διδασκαλίας των Μαθηματικών

Στην εισήγηση με τίτλο «Εισαγωγή στη μελέτη του αστυνομικού αφηγήματος» στην ημερίδα «Έγκλημα και λογοτεχνία» τον Φεβρουάριο του 2013, ο καθηγητής Εγκληματολογίας Νέστορας Κουράκης μεταξύ άλλων αναφέρει ότι το «ορθόδοξο» αστυνομικό αφήγημα «έχει μια προδιαγεγραμμένη πορεία από το ανακαλυφθέν έγκλημα προς την εξιχνίασή του, η οποία μοιάζει με την επίλυση μαθηματικής εξίσωσης...»
Ως μάχιμη εκπαιδευτικός, διαβάζοντας την εισήγηση δεν μπορώ παρά να σκεφτώ ότι ισχύει και το αντίστροφο: η προδιαγεγραμμένη τυπική πορεία για την επίλυση μιας μαθηματικής εξίσωσης μπορεί να προσομοιάσει με αστυνομικό αφήγημα. Ίσως, μάλιστα, αν διευρύνουμε το πεδίο, περνώντας από την εξίσωση στο μαθηματικό πρόβλημα, η -αντεστραμμένη- αναλογία να είναι πιο αποτελεσματική.
Η αλήθεια είναι πως κατά την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος αναζητούμε την απάντηση εντός ενός συγκεκριμένου αναφορικού πλαισίου, διαμορφωμένου από μια κατάλληλη μαθηματική θεωρία, μέσω της οποίας νομιμοποιούνται οι επιλογές και οι πράξεις μας. Ο σκοπός μας είναι να διασυνδέσουμε μεταξύ τους τις μαθηματικές έννοιες που εμφανίζονται στο πρόβλημα, να διατυπώσουμε τυχόν περιορισμούς και να εκτελέσουμε τις πράξεις, εφαρμόζοντας τις ιδιότητές τους, να κάνουμε τις απλοποιήσεις, τους συλλογισμούς και τις κατάλληλες αποδεικτικές διαδικασίες, ακολουθώντας μια πορεία, με όχι πάντα βέβαια βήματα, καθώς αρχικά λειτουργούμε, εν πολλοίς, διαισθητικά και στηριζόμαστε σε υποθέσεις, σε εικασίες, που οφείλουμε να επαληθεύσουμε ή να διαψεύσουμε, μέχρι να καταλήξουμε σε μια καθόλα αδιαμφισβήτητη και «νόμιμη» απάντηση και να πούμε: το ζητούμενο του προβλήματος είναι αυτό, με την ίδια, ή ενδεχομένως μεγαλύτερη βεβαιότητα,  με την οποία ο αστυνομικός ενός αφηγήματος εξιχνιάζει, εν τέλει, το έγκλημα.
Εκτός από τις παραπάνω καταφανείς διαδικαστικές ομοιότητες μεταξύ της επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος και της διαλεύκανσης ενός εγκλήματος, υπάρχουν και άλλες, λιγότερο αναγνωρίσιμες, πλην θεμελιώδεις. Σχετίζονται με κάποια πρωταρχικά ερωτήματα που διατυπώνονται κατά την εκκίνηση της ιστορίας: «how done it?» και «why done it?». Ενδεχομένως να διαφέρουν στην εκφορά του χρόνου, επειδή κατά την επίλυση του μαθηματικού προβλήματος, τουλάχιστον του τυπικού μαθηματικού προβλήματος, αναφερόμαστε σε αυτό που θα κάνουμε, και όχι σε κάτι που ήδη έγινε και καλούμαστε να διαλευκάνουμε. Η διαφορετική χρονικότητα όμως μετασχηματίζεται σχετικά εύκολα και δεν αποτελεί πρόβλημα. Το πρόβλημα είναι πως η διδασκαλία των Μαθηματικών ανά την επικράτεια του Δυτικού Πολιτισμού παρουσιάζεται, αλλού λιγότερο και αλλού περισσότερο, αναποτελεσματική και εμείς, οι διδάσκοντες, καλούμαστε να επινοήσουμε και να εφαρμόσουμε ελκυστικές μεθόδους και ενδιαφέρουσες πρακτικές. Αυτή η πρόκληση μπορεί να αποτελέσει την απάντηση στο «γιατί να θέσουμε το αστυνομικό αφήγημα στην υπηρεσίας της διδασκαλίας των Μαθηματικών;».
Μένει προς διερεύνηση το ερώτημα «πώς θα αξιοποιήσουμε το αστυνομικό αφήγημα στη διδασκαλία των Μαθηματικών;». Θα μπορούσα να ισχυριστώ ότι έχω κάποιες απαντήσεις, αλλά ο περιορισμένος χώρος του άρθρου δεν μου επιτρέπει να τις παρουσιάσω και θα το έλεγα, αν δεν είχε ήδη διατυπωθεί αυτή η «δικαιολογία» από άλλον. Στην πραγματικότητα όμως δεν φέρει ευθύνη ο χωρικός περιορισμός. Αφήνω το ερώτημα ανοιχτό, ελπίζοντας πως θα αποτελέσει πρόκληση, ειδικά για τους διδάσκοντες των Μαθηματικών που αγαπούν την "αστυνομική λογοτεχνία". 
Πιθανόν ανάμεσά τους, κάποιοι να έχουν ήδη εμπράκτως αποδείξει ότι το αστυνομικό αφήγημα μπορεί να τεθεί στην υπηρεσία της Μαθηματικής Εκπαίδευσης, για να την υποστηρίξει...

Κυριακή, 4 Νοεμβρίου 2018

Το δικό μου "Ικιγκάι"

Μια απρόσμενη ακύρωση του -προ πολλών μηνών προγραμματισμένου- χθεσινού ταξιδιού μου άφησε χρονικό περιθώριο για ένα..."διάλειμμα ονειρεμένων προδιαγραφών"!
"Διάλειμμα ονειρεμένων προδιαγραφών" σημαίνει πως απέχω από το διαδίκτυο, πως δεν φοράω ρολόι και πως διαβάζω κάτι που από καιρό ήθελα να διαβάσω, αλλά δεν έβρισκα τον χρόνο για να το κάνω. Με την αλλαγή του προγράμματος ο απαραίτητος χρόνος βρέθηκε. Κι έτσι πήρα τα βιβλία μου και, αφού ο καιρός είναι ακόμη καλός, έτρεξα στη Χαλκιδική, που αυτήν την εποχή την χαίρονται οι ελάχιστοι μόνιμοι κάτοικοι, οι δεκαοκτούρες και τα διάφορα ενδημικά πτηνά, καθώς τα αποδημητικά έχουν αποχωρήσει. Και μαζί με τους ανθρώπους και τα πουλιά, τα δεκάδες αδέσποτα σκυλιά - δύο εξ αυτών σε μέγεθος μικρής αγελάδας - και τα πλείστα γατόπουλα που μπαινοβγαίνουν στους άδειους κάδους πεινασμένα και αδυνατισμένα... Αν παραβλέψουμε τα αδέσποτα, οι συνθήκες ήταν ιδανικές για να απολαύσει κανείς την -παγωμένη σαν κρύσταλλο- θάλασσα, το έντονο φως και το καθ' όλα ... ανοιξιάτικο πράσινο των δένδρων και των φυτών. 
Σε ένα τέτοιο περιβάλλον, που έσφυζε από ... υποσχέσεις, έκρινα ως κατάλληλο ανάγνωσμα το βιβλίο των Ε. Γκαρθία και Φ. Μιραλλιές, σε μετάφραση Α. Δημητρούκα, που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Πατάκη και έχει γίνει διεθνές best seller,  με τίτλο "Ικιγκάι" και υπότιτλο "τα μυστικά της Ιαπωνίας για μια μακρά και ευτυχισμένη ζωή". 
Προσωπικά εστίασα στο "μακρά ζωή", που είναι κάτι αντικειμενικό και μετρήσιμο, και όχι στο "ευτυχισμένη", που είναι υπόθεση του καθενός.  
 Ναι, για προφανείς λόγους, με ενδιαφέρει να μάθω τα μυστικά της μακροζωίας, για να προλάβω να υλοποιήσω ένα τουλάχιστον μέρος από τα ... πολλά και μεγαλεπήβολα σχέδιά μου. Από την άλλη με ενδιαφέρουν τα μυστικά της Ιαπωνίας, επειδή ως παιδί διάβασα αρκετά μυθιστορήματα με γκέισες, που με γοήτευσαν, και ως ενήλικη είδα πολλές γιαπωνέζικες ταινίες που με σημάδεψαν...
Λόγω των συγκεκριμένων εμπειριών μου, ήθελα εδώ και τέσσερις μήνες να μελετήσω προσεκτικά το "Ικιγκάι", πόσο μάλλον που στο οπισθόφυλλό του, τα βένια διαγράμματα είχαν αγγίξει βαθιά τη μαθηματική μου ιδιοσυγκρασία. Έτσι ήταν το πρώτο βιβλίο που έβαλα στην τσάντα μου, χθες το πρωί πριν ξεκινήσω για την Χαλκιδική. 
Διάβασα τις πρώτες εκατό σελίδες! Κατάλαβα τι είναι το Ικιγκάι, δηλαδή όσο μπορεί να το καταλάβει κάποιος που δεν είναι Ιάπωνας. Στη συνέχεια, διάβασα τα "μυστικά" των διαφόρων υπεραιωνόβιων, που δεν ήταν όλοι τους Ιάπωνες. Ο καθένας, ούτε λίγο ούτε πολύ, είχε το δικό του μυστικό... 
Ήμουν έτοιμη να καταλήξω στο συμπέρασμα πως η μακροζωία είναι κι αυτή μια εντελώς προσωπική υπόθεση, όπως ακριβώς κι η ευτυχία, οπότε  δεν έχω να μάθω τίποτα παραπάνω... Όσο για το δικό μου Ικιγκάι, γνωρίζω καλά πως το έχω ήδη βρει...
Πάνω που ήμουν έτοιμη να αφήσω στην άκρη το συγκεκριμένο βιβλίο και να πάω στο επόμενο, διάβασα το εξής:

"Τα βιντεοπαιχνίδια-χωρίς να κάνουμε κατάχρηση-, τα επιτραπέζια παιχνίδια και τα αθλήματα είναι δραστηριότητες ιδανικές για να μπαίνουμε σε ροή, γιατί ο στόχος είναι συνήθως ξεκάθαρος: να ξεπεράσεις τον εαυτό σου ή τον αντίπαλό σου, ακολουθώντας μια σειρά από κανόνες που ορίζονται με σαφήνεια." (σελ. 104)

Δεδομένου ότι τα βιντεοπαιχνίδια, δηλαδή οι επιπτώσεις που έχει η κατάχρησή τους στους περισσότερους μαθητές μου, είναι ένα από τα μεγαλύτερα εμπόδια στην επίτευξη των εκπαιδευτικών μου στόχων, που - γιατί να το κρύψω άλλωστε; - είναι στην καρδιά του δικού μου Ικιγκάι, το ενδιαφέρον μου για το ανάγνωσμα αναζωπυρώθηκε, οπότε συνέχισα. Μερικές σελίδες παρακάτω, εκεί που έγραφε για την "πολυδιεργασία",  δηλαδή για την εκτέλεση δύο ή περισσότερων εργασιών ταυτόχρονα (multitasking), διάβασα κάτι που ένιωσα να με δικαιώνει...

"Το Google και το Ίντερνετ πήραν τον έλεγχο του μυαλού σου... [...]
Σε μια μελέτη που διεξήγαγε το Πανεπιστήμιο Στάνφορντ, περιγράφουν τη γενιά μας λέγοντας ότι υφιστάμεθα επιδημία πολυδιεργασίας. Για να αποδειχθούν οι νοσηρές επιδράσεις της επιδημίας αυτής, αναλύθηκε η συμπεριφορά εκατοντάδων φοιτητών την ώρα που μελετούσαν, ώστε μετά να τους μοιράσουν σε ομάδες ανάλογα με το πλήθος των πραγμάτων που συνίθηζαν να κάνουν ταυτόχρονα.
Οι φοιτητές με τον μεγαλύτερο εθισμό στην πολυδιεργασία συνηθίζουν να κάνουν πάνω από τέσσερα πράγματα ταυτόχρονα. Για παράδειγμα: να κρατάνε σημειώσεις διαβάζοντας ένα σύγγραμμα, να ακούνε ένα podcast, να απαντούν σε μηνύματα στο smartphone κάθε τόσο και να κοιτάνε το timeline του Twitter.
Αφού τους χώρισαν σε διάφορες ομάδες, τους έβαλαν όλους μπροστά σε οθόνες με διάφορα βελάκια κόκκινα και γαλάζια. Στόχος της άσκησης ήταν να μετρήσουν τα κόκκινα βελάκια.
Στην αρχή όλοι ευστόχησαν γρήγορα και χωρίς δυσκολία, αλλά καθώς αυξανόταν ο αριθμός των γαλάζιων βελών (χωρίς να προστίθενται κόκκινα βέλη, απλώς άλλαζαν θέση), οι φοιτητές  οι συνηθισμένοι στην πολυδιεργασία είχαν σοβαρή δυσκολία να μετρήσουν τα κόκκινα βέλη στον απαιτούμενο χρόνο. Δεν μπορούσαν να τα μετρήσουν το ίδιο γρήγορα με τους φοιτητές που δεν έκαναν πολυδιεργασία, συνήθως για έναν πολύ απλό λόγο: 
Αφαιρούνταν κοιτάζοντας τα γαλάζια βέλη!
Ο εγκέφαλός τους ήταν εκπαιδευμένος να δίνει σημασία σε κάθε τύπου ερέθισμα, ακόμα και  ασήμαντο, ενώ ο εγκέφαλος των άλλων ήταν εκπαιδευμένος να συγκεντρώνεται σε μία και μοναδική ασχολία, στην περίπτωση αυτή να μετρήσει τα κόκκινα βέλη, αγνοώντας τα γαλάζια." (Σελ. 110)

"Και τι έγινε, που αργούσαν λίγο να μετρήσουν τα κόκκινα βέλη, αφού ταυτόχρονα "έπιαναν" κι άλλα ερεθίσματα;", θα μπορούσε να ρωτήσει κανείς και θα είχε δίκαιο, αν στην αμέσως επόμενη σελίδα του βιβλίου, δεν γινόταν αναφορά στα συμπεράσματα και άλλων σχετικών μελετών. Πιο συγκεκριμένα:

"Άλλες μελέτες δείχνουν ότι το να δουλεύουμε σε διαφορετικά πράγματα ταυτόχρονα μειώνει την παραγωγικότητά μας τουλάχιστον κατά 60% κι ότι ο δείκτης νοημοσύνης μας μειώνεται παραπάνω από 10 βαθμούς" (Σελ. 111)

Η υπογράμμιση είναι δική μου. Δεν γίνεται σαφές αν η κατά 10 βαθμούς μείωση του δείκτη νοημοσύνης (με ό,τι, τέλος πάντων, "δείκτης νοημοσύνης" σημαίνει) είναι απόλυτη, δηλαδή είναι ανεξάρτητη του δείκτη νοημοσύνης του υποκειμένου, κι αν είναι πρόσκαιρη, δηλαδή αν μειώνεται την ώρα της ταυτόχρονης ενασχόλησης με περισσότερες από μια εργασίες και στη συνέχεια επανέρχεται στην κανονική του τιμή, ή αν είναι μόνιμη...
Με προβλημάτισε το θέμα, επειδή μέχρι τώρα, ενώ έχω διαβάσει κάποιες έρευνες γύρω από τις κακές επιπτώσεις του multitasking (πολυδιεργασίας!? -μα πού τη βρήκαν αυτή τη λέξη;;;) στην επίδοση των μαθητών, δεν είχα δει "ποσοτικοποιημένα" αποτελέσματα. 
Δεν ξέρω κατά πόσο είναι έγκυρα τα στοιχεία που αναφέρονται στις σελίδες 110 και 111, αφού δεν υπάρχει κάποια παραπομπή για να επικυρώνει την ορθότητά τους, αλλά για μένα είναι πολύ "χρήσιμα", επειδή συχνά αναφέρω στα παιδιά, κατά την ώρα του μαθήματος, πόσο επιβλαβές είναι που ενώ κάνουν τις ασκήσεις των Μαθηματικών, είναι συνδεμένοι σε δυο τρία κοινωνικά δίκτυα, για να συνομιλούν με φίλους και συμμαθητές! 
Δεν ξέρω αν, διαβάζοντας "τα μυστικά της Ιαπωνίας για μια μακρά και ευτυχισμένη ζωή", βρήκα τι πρέπει να κάνω για να ... ξεπεράσω τα 100 χρόνια βίου, σίγουρα όμως βρήκα κάποια επιπλέον επιχειρήματα, για να πείσω τους μαθητές και τις μαθήτριές μου, να δείχνουν την απαιτούμενη προσήλωση όταν μελετούν τα Μαθηματικά στο σπίτι τους, όπως και  όταν είναι στην τάξη και προσπαθώ, με κάθε δυνατό τρόπο, να τους δείξω τι σημαίνει "σκέφτομαι μαθηματικά!"
-----------------------------------------------------------------------------------
Δυστυχώς, αυτό δεν γίνεται κατανοητό από μια πολύ μικρή μειοψηφία παιδιών, που, αν και λίγοι, έχουν τον τρόπο να με προσβάλουν και να μην επιτρέπουν -στο βαθμό που θέλω εγώ- να απολαύσω το μάθημά μου και να το χαρώ...
----------------------------------------------------------------------------------
Πίστευα πως, με την ευκαιρία που μου έδωσε η ακύρωση του ταξιδιού, καταφεύγοντας στο ησυχαστήριό μου και βουτώντας στο παγωμένο νερό, θα καταφέρω να αποδράσω, να αφήσω πίσω για λίγο το σχολείο, που τον τελευταίο καιρό με πληγώνει, να ξεχάσω και να ξεχαστώ... Και τελικά, βρέθηκα πάλι να προβληματίζομαι για το πώς θα γίνει το μάθημά μου πιο ... ελκυστικό!
Κι έτσι καταλήγω στο συμπέρασμα πως στο δικό μου "Ικιγκάι" η ζωή μου στο σχολείο παίζει ρόλο πολύ πολύ καθοριστικό.

Τρίτη, 23 Οκτωβρίου 2018

Προβληματισμοί γύρω από τα προβλήματα...

Μετά τη βροχή εμφανίζονται οι γυμνοσάλιαγκες και οι άλλοι, εκείνοι που κουβαλούν ένα σπίτι στην πλάτη. Κι όλοι τους σέρνονται αργά, νωχελικά, σαν να ρουφούν ηδονικά την υγρασία κάτω από την χοντρή τους την κοιλιά... Κι εγώ κάθομαι και τους χαζεύω, επειδή μου θυμίζουν μια αγάπη μου παλιά κι επειδή τις τελευταίες μέρες, έτσι σαν γυμνοσάλιαγκες, ξετρύπωσαν στη δουλειά μου προβλήματα πολλά. Το ένα μετά το άλλο έσκαγαν και με έκαναν να θέλω άλλοτε να κλαίω κι άλλοτε να γελάω. Μα ούτε γέλασα ούτε έκλαψα (πολύ). Κράτησα ως εκκρεμότητα τον κλαυσίγελο που με κατέκλυσε. Τον κράτησα για ένα πιθανό μελλοντικό μυθιστόρημα, αφού κάποιες αλήθειες σαν ψέματα μοναχά μπορούν να ειπωθούν. Κάνεις πως αφηγείσαι μια ιστορία που φαντάστηκες, ενώ ό,τι λες είναι αληθινά γεγονότα και πράγματα που έχουν συμβεί και σε έχουν σημαδέψει.
Συμπτωματικά, όσο έσκαγαν τα προβλήματα σαν οβίδες γύρω μου και μέσα μου, έτυχε να διδάσκω στη Β' Γυμνασίου την παράγραφο 1.4 Επίλυση προβλημάτων με τη λύση εξισώσεων, που μου αρέσει πολύ, αλλά για τη διδασκαλία της προτείνεται να αφιερώσουμε μόνο τέσσερις ώρες, δυστυχώς. 
Εγώ λέω πως στα προβλήματα,  στη διαχείρισή τους, στην επίλυσή τους, στη διερεύνησή τους, θα έπρεπε να διατείθεται πολύς χρόνος. Θα έπρεπε να γίνονται περισσότερες ασκήσεις, περισσότερα σενάρια, πιο ρεαλιστικές καταστάσεις, συζητήσεις και πειραματισμοί, ομαδοσυνεργατική διδασκαλία και STEM κι επίλυση τύπων -που είναι εκτός ύλης- ενσωματωμένων όμως σε ρεαλιστικά προβλήματα και ό,τι άλλο, τέλος πάντων, η σύγχρονη εκπαίδευση (θα έπρεπε να) απαιτεί, για να μεγαλώσει σωστά ένα παιδί. 
Δυστυχώς όμως, ξαναλέω, περιοριζόμαστε για μια ακόμη φορά σε μια στείρα τυπικο-διαδικαστική διδασκαλία με ... οδηγίες προς ναυτιλλομένους που λένε κάτι σαν: 
θέτουμε x το ζητούμενο  και ...μπλα μπλα μπλα, βήμα προς βήμα...
Σήμερα έκανα το τελευταίο μάθημα σε αυτήν την αγαπημένη παράγραφο. Σήμερα, επίσης, επήλθε -όπως φάνηκε τουλάχιστον- και η άρση των όποιων προβλημάτων αντιμετώπισα τον τελευταίο καιρό, κι έτσι μπήκα με κέφι και ολίγη από ... παιγνιώδη διάθεση στην τάξη. 
"Είχατε τις ασκήσεις 7 και 8 σωστά;"
"Ναι, ναι..."
"Τις κάνατε; Πώς σας φάνηκαν;"
Για την 7 συμφώνησαν όλοι πως ήταν εύκολη. Την 8 κάποιοι δεν την κατάλαβαν. Ο Σάκης και ο Πέτρος τους μπέρδεψαν.

 "Εντάξει, θα την εξηγήσω αναλυτικά, για να τελειώνουμε με τα προβλήματα...",  είπα κι έκανα μια γρήγορη ανακεφαλαίωση των βημάτων. Λέγοντας όμως το τελευταίο βήμα, αυτό που λέει: "Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος", σκέφτηκα πως σε όσα προβλήματα είχαμε μέχρι τώρα λύσει δεν μας δόθηκε η ευκαιρία να δούμε τι σημαίνει αυτό το  "η λύση δεν ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος"!
Ήταν και κάπως σκωπτική η διάθεσή μου, όπως ήδη είπα, οπότε σκέφτηκα να κάνω ένα αστειάκι στους μαθητές και στις μαθήτριές μου, για να δω πώς θα αντιδράσουν.
Ξεκίνησα, με υποδείξεις των παιδιών που απαντούσαν στις ερωτήσεις μου, να γράφω στον πίνακα.

"Έστω ότι το ωρομίσθιο του Σάκη είναι x,  τότε το ωρομίσθιο του Πέτρου είναι x+2"

 Αυτό είναι το εύκολο μέρος, αλλά είναι η αρχή και αν γίνει η αρχή, τότε έχει ολοκληρωθεί το ...ήμισυ του παντός, όπως λέγαμε μια φορά κι έναν καιρό.
Μετά, βήμα βήμα, έφτιαξα την εξίσωση. Αλλά έγραψα:   5x-26 = 7(x+2) 
Δυο τρεις καλοί (και καλές, να τα λέμε κι αυτά) προσπάθησαν να με διορθώσουν.  Τους έγνευσα να μη μιλήσουν μέχρι να ολοκληρώσω.
Ύστερα, ρωτώντας και γράφοντας, έλυσα την εξίσωση με τη βοήθεια του κοινού. Επιμεριστική ιδιότητα, χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, κάνουμε αναγωγή κλπ κλπ. Και με τις οδηγίες και τις υποδείξεις των παιδιών κατέληξα πως το x ισούται με -20!
"Α! Ο Σάκης παίρνει -20 ευρώ την ώρα!!! Τι σημαίνει αυτό;", ρώτησα.
"Δεν μπορεί να είναι η λύση αυτή", είπαν αρκετοί.
"Ακριβώς:", απάντησα. "Βλέπετε, η λύση που βρήκαμε δεν ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Αυτό σημαίνει ότι δεν "έφτιαξα" σωστά την εξίσωση. Διαβάστε ξανά πιο προσεκτικά το πρόβλημα", είπα. Το διάβασαν, διορθώσαμε το λάθος και καταλάβαμε τι σημαίνει το τελευταίο βήμα στις οδηγίες για ναυτιλλομένους.

Στο άλλο τμήμα, έβδομη ώρα πια, κουρασμένη εγώ, κουρασμένα και τα παιδιά, επανέλαβα το ίδιο μάθημα. Βρήκαμε και πάλι πως το ωρομίσθιο του Σάκη είναι -20 ευρώ.
"Τι σημαίνει αυτό;", ρώτησα εγώ. 
Πάλι δυο καλές μαθήτριες θέλησαν να διορθώσουν το λάθος μου.
Πάλι εγώ δεν το επέτρεψα.
Μέσα μου ο Παπακωνσταντίνου τραγουδούσε το "Άσε με να κάνω λάθος...".
Ρώτησα ξανά την τάξη. Δεν ήταν ικανοποιητικές οι απαντήσεις που ακούστηκαν.
"Σημαίνει πως για κάθε ώρα που εργάζεται πληρώνει 20 ευρώ!", τους είπα τελικά.
Μπορεί να πεινούσαν, δύο παρά ή ώρα, δεν είχαν καμια αντίδραση. Επέμενα λίγο ακόμη. 
"Σκάβει μια ολόκληρη ώρα. Σταματάει, πληρώνει 20 ευρώ. Κι ύστερα ξανά, σκάβει μια ώρα...πληρώνει άλλα 20 ευρώ! Πώς σας φαίνεται;"
"Γίνεται αυτό;". "Τι δουλειά είναι αυτή;" Παραξενεύτηκαν όλοι.
"Ε, άμα είναι να δουλέψεις μπορεί και να πληρώνεις...", είπε ένας συνοφρυομένος.
Τον κοίταξα με απορία, αλλά δεν θέλησα να συνεχίσω τη συζήτηση. Είχα να κάνω μια άσκηση ακόμη.
Ωστόσο, τρόμαξα στη σκέψη πως ίσως κάποια από τα δεκατριάχρονα παιδιά πιστεύουν πως όταν δουλεύεις ... πληρώνεις... 

Η αλήθεια είναι ότι τα τελευταία χρόνια βιώνουμε όλοι μας πολλά και ποικίλα προβλήματα.
Πιθανόν -όπως λένε- να βρισκόμαστε μπροστά στην "τέταρτη βιομηχανική επανάσταση"! 
Μπορεί κανείς να προβλέψει  τα προβλήματα που θα αντιμετωπίσουμε σε τούτη την νέα κατάσταση;





Τετάρτη, 17 Οκτωβρίου 2018

"Teacher, I want a book"

"Teacher, I want a book!"
Σήκωσα το κεφάλι και είδα το διεισδυτικό και επίμονο βλέμμα της καινούριας μου μαθήτριας, που στεκόταν σε απόσταση αναπνοής από πάνω μου.
"Teacher, I want a book!",  επανέλαβε με μια ιδιαίτερα μπάσα για την ηλικία της φωνή.  
"If you want a book, come with me to give you one!",  της είπα κι έκλεισα το βιβλίο ύλης που είχα ανοιχτό μπροστά μου, πάνω στην έδρα. 
Η αίθουσα, που είχε αδειάσει μόλις δυο λεπτά πριν, διατηρούσε έντονη τη χαρακτηριστική μυρωδιά της σχολικής τάξης, ενώ στα αυτιά μου βούιζε ακόμη ο ήχος του κουδουνιού ανάκατος με τις λεπτές φωνές των δεκατριάχρονων μαθητών μου, που είχαν ήδη ροβολήσει σαν πουλάρια αλαφιασμένα στην αυλή.
Μάζεψα γρήγορα τα βιβλία μου κι άνοιξα τα παράθυρα. Η μικρή στεκόταν στη θέση της και με παρακολουθούσε. Ήθελε ένα βιβλίο! Το ήθελε  με το βλέμμα της, το ήθελε με το σώμα της, που στεκόταν άκαμπτο στην αρχική του θέση, όπως άκαμπτη ήταν και η επιθυμία της.
Της έγνευσα να με ακολουθήσει και βγήκαμε από την αίθουσα. Κλείδωσα, ως είθισται, και κατέβηκα στον όροφο που φυλάσσονται τα σχολικά εγχειρίδια. Το κορίτσι με ακολουθούσε κατά πόδας. Πήρα ένα βιβλίο Μαθηματικών και της το έδωσα. 
"Φχαριστώ", είπε και τα μάτια της άστραψαν. 
Ήταν η δεύτερη μέρα που ερχόταν στο σχολείο μας, μαζί με ένα μικρό αριθμό προσφυγόπουλων. Ένα δύο παιδιά σε κάθε τμήμα. Παιδιά που δεν μιλούν ελληνικά. Παιδιά όλων των δυνατοτήτων και όλων των προδιαγραφών. Παιδιά που μπορούν και παιδιά που αδυνατούν. Παιδιά που προσπαθούν και παιδιά που αποστρέφονται τη σχολική κανονικότητα. Η επικοινωνία μου με τα περισσότερα από αυτά είναι περίπου αδύνατη. 
Στις τρεις εβδομάδες που είναι στο σχολείο μας, μια φορά μονάχα συνάντησα έναν διερμηνέα από Μ.Κ.Ο. κι αυτό επειδή έτυχε την ώρα που ήρθε να έχω κενό. Με είδε ο Διευθυντής που ήμουν στο γραφείο και με φώναξε. 
"Κυρία Καλφοπούλου, αν έχετε να πείτε κάτι στα προσφυγόπουλα, ελάτε στην αίθουσα προβολών".
"Αν έχω να πω κάτι στα προσφυγόπουλα; Μόνο "κάτι" έχω να πω;", σκέφτηκα κι έτρεξα. Όταν έφτασα η συνάντηση είχε σχεδόν ολοκληρωθεί. Ζήτησα από το νεαρό διερμηνέα να μου δώσει λίγο χρόνο.Ήταν μερικά από τα παιδιά που λίγες μέρες πριν άρχισαν να φοιτούν στο σχολείο. Ήταν τα εφτά που μιλούν την ίδια διάλεκτο.
"Έχω να κάνω μια δυο ειδικές ερωτήσεις και κάποια γενικά σχόλια", του είπα.
Ρώτησα τι συμβολίζουν με "x" στη δική τους "μαθηματική γλώσσα", αν και είχα ήδη καταλάβει ότι το χι, κάποιοι από τους καινούριούς μου μαθητές, το εκλαμβάνουν ως σημείο  πολλαπλασιασμού. Ο διερμηνέας το επιβεβαίωσε. Στο γράμμα "x" τραβούν κάτι μικρές καμπύλες, σαν τις παλιές δικές μας περισπωμένες, στα άκρα των διασταυρούμενων γραμμών. Αυτή η διευκρίνιση δεν είναι παρά ένα έλάχιστο ... τίποτε μπροστά στα υπαρκτά προβλήματα της μεταξύ μας επικοινωνίας. 
Και, για να τα πω τα πράγματα ως έχουν, θα πρέπει να διευκρινίσω πως δεν θέλω να επικοινωνήσω μαζί τους, για να τους μάθω τις εξισώσεις που διδάσκω στα παιδιά της τάξης τους. Όχι! Ο λόγος που θέλω να επικοινωνήσω μαζί τους είναι πως θέλω να διατηρηθεί στο βλέμμα τους η ελπίδα και η σπιρτίδα που είχε το βλέμμα της Τ., τη δεύτερη μέρα που ήταν στο σχολείο. Τότε που μόλις χτύπησε το κουδούνι για διάλειμμα ήρθε για να μου πει: "Teacher, I want a book!".
Εκείνη τη μέρα είχα διδάξει αλγεβρικές παραστάσεις. Στη διάρκεια του μαθήματος ξέκλεβα χρόνο για να πάω στο θρανίο της Τ. και να γράψω μια δυο απλούστερες μορφές αλγεβρικών παραστάσεων στο τετράδιό της, όχι μόνο για να έχει κάτι να ασχολείται, αλλά και για να δω τι γνωρίζει και τι καταλαβαίνει.
Καταλάβαινε αμέσως και ανταποκρινόταν με χαρά. Μόλις τελείωνε σήκωνε το κεφάλι και με κοίταζε με προσμονή...
Ήταν η μέρα που στα άλλα παιδιά εξηγούσα πως τρία αυγά και δύο αυγά κάνουν πέντε αυγά και όχι "πέντε", όπως απαντούν συνήθως. (Σχετικά με το μάθημα εκείνο έχω γράψει εδώ). Για να κρατώ και την Τ στο κλίμα έγραφα κάτι αντίστοιχο στο τετράδιό της. Και διαπίστωσα με χαρά πως αμέσως κατάλαβε ότι τρεις καρδιές και δυο καρδιές δίνουν πέντε καρδιές... Το ίδιο και με τα "ω". Δεν νομίζω να υπάρχει διαφορά για την Τ μεταξύ του συμβόλου της καρδιάς και του γράμματος ω ή του γράμματος α. Τα αντιμετώπιζε όλα το ίδιο, ως "αντικείμενα", και τα πρόσθετε σωστά. 
Μέχρι που έγραψα 3x+2x. Με κοίταζε με απορία. Κατάλαβα πως ενώ όλα τα άλλα σύμβολα δεν είχαν γι' αυτήν κάποια σημασία, στο "x" απέδιδε συγκεκριμένο νόημα.


Από τότε πέρασαν μέρες. Το βλέμμα της Τ έχει αρχίσει να χάνει τη λάμψη του. Το ενδιαφέρον ή η ελπίδα του παιδιού χάνεται. Και πώς να μη χαθεί; Αφού δεν καταλαβαίνει.
Και όταν εγώ αναγκάζομαι να εξηγώ ξανά και ξανά στα υπόλοιπα παιδιά τα στοιχειώδη Μαθηματικά, ο χρόνος δεν φτάνει... 

Πώς υπολογίζουμε έναν άγνωστο; Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα; 
Πώς διαβάζουμε τα "δεδομένα" και τα "κρυφοδεδομένα" ενός προβλήματος;
Σήμερα ρώτησα ποια είναι τα δεδομένα στην άσκηση 11.



Πήρα απαντήσεις που ξεπερνούν κάθε προσδοκία! Μια μαθήτρια -με πολύ καλή επίδοση- είπε ως πρώτο και κύριο δεδομένο: "το ω παριστάνει μοίρες".  Ένας μετά από ώρα είπε πως το δεδομένο είναι ότι το σχήμα είναι ορθογώνιο.
Τι συμπέρασμα να βγάλει κανείς; Πως τα παιδιά που μιλούν ελληνικά δεν μπορούν να διασυνδέσουν εννοιολογικά τις λέξεις "Δίνεται", που υπάρχει στην αρχή της άσκησης, με τη λέξη "δεδομένα",  που χρησιμοποιώ εγώ.  
Για να προλάβω τυχόν προτάσεις για χρήση απλούστερων λέξεων, πρέπει να εξηγήσω ότι  είπα -όπως λέω κάθε φορά- στα παιδιά τι μέρος του λόγου είναι η λέξη "δεδομένα", μετοχή του δίδωμι που σημαίνει δίνω κλπ, μέχρι που ανέφερα και το "δος ημίν σήμερον...", (έλεος, τι άλλο θα πω για να καταλάβουν τα Μαθηματικά;) και επιπλέον χρησιμοποίησα εναλλακτικά (και ανεπίσημα) τις λέξεις "δοσμένα" και "γνωστά". 


Πιθανόν, να με ρωτήσει κάποιος γιατί τα λέω όλα αυτά, τα τετριμμένα και γνωστά.
Τα λέω επειδή πιστεύω ότι είναι μάλλον άγνωστα σε όποιον δεν είναι στις σχολικές τάξεις.
Σε όποιον είναι σε κομβικές θέσεις, σε όποιον διοικεί και συντονίζει!
Τα λέω  επειδή πιστεύω ότι στο βάθος τα αγνοεί, ενώ θα έπρεπε πολύ καλά να τα γνωρίζει...
-------------------------------------------------------------------
Συμπληρωματικά να πω ότι στην τάξη της Τ. είναι και ο Α.
Ο Α. αφενός κάθεται στο τελευταίο θρανίο, αφετέρου δεν δείχνει τον ζήλο που- αρχιικά τουλάχιστον- έδειξε η Τ., οπότε είναι ακόμη πιο δύσκολα τα πράγματα. 
Σήμερα, ενώ οι υπόλοιποι αντέγραφαν αυτά που είχα γράψει στον πίνακα,  πήγα στο θρανίο του και δείχνοντάς του ένα τετράδιο του έδωσα να καταλάβει πώς πρέπει να βγάλει το τετράδιό του από την τσάντα. Το έβγαλε και ταυτόχρονα μου έδειξε πως το μολύβι του  δεν είχε μύτη. Αμέσως δυο χεράκια από τα παραδιπλανά θρανία απλώθηκαν. Το ένα παιδί μου έτεινε μια ξύστρα, το άλλο ένα μολύβι: "Ας γράψει με αυτό, κυρία", είπε.
Τα πήρα και τα δύο. Έδωσα το μολύβι στον Α και έξυσα το δικό του με την ξύστρα.
Αυτό είναι, Απόστολε, αλληλεγγύη! Αυτό που αυθόρμητα βγαίνει από τα παιδιά.
Αλλά από μόνη της δεν φτάνει να λύσει τα πολλαπλά προβλήματα της σημερινής σχολικής πραγματικότητας (τα οποία για διάφορους λόγους δεν κοινοποιώ με αναρτήσεις εδώ...)
Για τα προβλήματα αυτά απαιτούνται περισσότερα...από το όραμα του αύριο!
Άλλωστε, ας το παραδεχτούμε επιτέλους,  το αύριο έγινε ήδη χθες.

Παρασκευή, 12 Οκτωβρίου 2018

Γνωστικά και μεταγνωστικά ...

Υπάρχουν κάποια συγκεκριμένα κεφάλαια στα Μαθηματικά που στην τάξη τα βιώνουμε -τολμώ να πω - όλοι σχεδόν με ... χαρά! Τα παιδιά χαίρονται που τα καταλαβαίνουν και συμμετέχουν ενθουσιασμένα. Εγώ, πάλι, χαίρομαι που βλέπω όλο και περισσότερα χέρια να σηκώνονται, όλο και περισσότερα πρόσωπα να χαμογελούν ικανοποιημένα.
Ένα τέτοιο κεφάλαιο είναι στη Γ' Γυμνασίου τα μονώνυμα. Μας δίνει την ευκαιρία να ... τονωθούμε, να κατανοήσουμε και, τέλος, να πιστέψουμε ότι μπορούμε να τα καταφέρουμε και να πετύχουμε κάτι καλύτερο. 
Έκανα το πρώτο μάθημα: ορισμός της έννοιας του μονωνύμου, (δηλαδή του γινομένου ενός αριθμού με γράμματα, που είναι η απλούστερη μορφή αλγεβρικής παράστασης), τα στοιχεία του μονωνύμου, (συντελεστής, κύριο μέρος, βαθμός), ειδικές περιπτώσεις μονωνύμων, (σταθερό, μηδενικό), σχέσεις-συγκρίσεις μονωνύμων, (όμοια, ίσα, αντίθετα, ανόμοια... )
Τα χαμόγελά τους έφτασαν μέχρι τα αυτιά. Μακάρι να ήταν πάντα έτσι όλα τα παιδιά. 
Στο δεύτερο μάθημα, ο ενθουσιασμός έφτασε στο αποκορύφωμα. 
Στην πόρτα με περίμενε ο Α. για να μου πει:
"Κυρία, τους κατάλαβα όλους τους ομόνυμους!", 
"Πώς το είπες;", ρώτησα επειδή η φασαρία των άλλων τον κάλυψε και δεν ήμουν σίγουρη... 
"Τους ομόνυμους, κυρία. Όλα τα κατάλαβα. Πότε είναι ίσα, πότε είναι όμοια..."
"Μπράβο! Χαίρομαι πολύ. Αλλά, φρόντισε να τα λες "μονώνυμα", εντάξει, Α.;", του είπα.
"Εντάξει, κυρία. Θα τα λέω μονώνυμα!"
Δεν την τήρησε τη συμφωνία μας ο Α., αλλά το μάθημα πήγε περίφημα. 
Έγιναν οι ασκήσεις. Εντοπίστηκαν κάποιες μικρές παρανοήσεις, που ξεπετιούνται σαν ζιζάνια ακόμη και στην πλέον σαφή και αποτελεσματική επικοινωνία (υπάρχει;) μεταξύ δασκάλου και μαθητών. Στο τέλος,  έτσι που ήμασταν όλοι πανευτυχείς, άδραξα την ευκαιρία να κάνω και τα προβλήματα που υπάρχουν στη σελίδα 29.


Μέσα στη γενικότερη ευφορία ούτε και για τα προβλήματα ακούστηκε διαμαρτυρία! 
Στο επόμενο μάθημα, πράξεις με μονώμυμα δηλαδή, όλα έμοιαζαν παιχνιδάκι. 
Περίπου το 70% "μάντεψε" σωστά πώς θα γίνει η πρόσθεση και πώς θα γίνει ο πολλαπλασιασμός των μονωνύμων και έκανε όλες τις εφαρμογές δίχως λάθη. 
Έτσι φάνηκε, επί πλέον, ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων είχαν αφομοιωθεί, επαρκώς.
Ωστόσο, ο πρώτος ενθουσιασμός είχε αρχίσει να μετριάζεται. 
Είναι και το μάθημα όπως ακριβώς είναι και ο έρωτας. Στην αρχή νομίζεις πως πλέεις σε πελάγη ευτυχίας και μετά σιγά σιγά ... συνηθίζεις και επανέρχεσαι στις κανονικότητές σου. Έτσι κι οι μαθητές μου, αφού ενθουσιάστηκαν στην αρχή, άρχισαν σιγά σιγά να "μηχανοποιούνται", να ψιλοβαριούνται, να νιώθουν εντελώς σίγουροι. Και η πολλή σιγουριά,  η έλλειψη του ... απροσδόκητου, η απουσία της έκπληξης, η επαναλαμβανόμενη ρουτίνα, τον καταστρέφει τον έρωτα, όπως καταστρέφει και το μάθημα. 
Λίγα λεπτά πριν χτυπήσει το κουδούνι, μη θέλοντας να τους αφήσω παρασκευάτικα με αυτήν την αίσθηση του ... κορεσμού, έκανα κάτι που έτσι κι αλλιώς είχα σκοπό να κάνω.
Μετά από τέσσερα πέντε παραδείγματα πολλαπλασιασμού, που τα απάντησαν όλα σωστά, έγραψα στον πίνακα  x^3+x^2.  
Οι περισσότεροι απάντησαν  x^5, ένας είπε 2x^5. 
Επανέλαβα το μάθημα και στο άλλο τμήμα. Τα ίδια ακριβώς. 
Ο αρχικός ενθουσιασμός τους σταδιακά παραμερίστηκε από μια βεβαιότητα που τους οδήγησε σε μηχανικές αντιδράσεις. 
Όταν στο τέλος έγραψα στον πίνακα x^3+x^2, βρέθηκε μια μαθήτρια που κάπως διστακτικά ψιθύρισε: "αυτό είναι πρόσθεση", αλλά την έπιασε το αυτί μου και της είπα μπράβο. Πετάχτηκαν θορυβημένοι να μου πουν ότι και ο Σ. το είχε πει πως είναι πρόσθεση.
Έχουν γέλιο, όταν όλα μαζί ζητούν από τον δάσκαλο το δίκαιο του ενός! 
Τι να έκανα; Έσφαλα! Ζήτησα συγγνώμη από τον Σ. που δεν τον είχα ακούσει, προκειμένου  να αποκαταστήσω την τάξη και να προλάβω να τελειώσω το μάθημα. 
Ήθελα να περάσω στο μεταγνωστικό και να τους εξηγήσω πώς λειτουργεί το μυαλό, όταν από κεκτημένη ταχύτητα δεν εντοπίζει τη διαφορά και αναπαράγει μια διαδικασία άκριτα. 
"Αν ξέρετε πώς λειτουργεί το μυαλό σας, θα έχετε το νου σας να θέσετε τα σωστά ερωτήματα... Τι είναι αυτό; Τι μου ζητάει; Τι ισχύει; Τι θα κάνω;"
"Ξέρετε πώς το λένε αυτό που σας εξηγώ τώρα; Το λένε "μεταγνώση" και είναι πολύ σημαντική. Το ίδιο ή και περισσότερο σημαντική από την ίδια τη γνώση..."

Το κουδούνι χτύπησε και στη στιγμή έμεινα στην τάξη μόνη, να σκέφτομαι πόσo χρόνo άκαρπης προσπάθειας μπορεί να είχα γλιτώσει αν κάποιος κάποτε, όταν ήμουν μαθήτρια, μου είχε   μιλήσει γι' αυτό που λέμε  μετα-γνώση...




Τετάρτη, 3 Οκτωβρίου 2018

Πέντε αx και δέκα βαx!

Χθες, Τρίτη 2 Οκτωβρίου 2018, όπως είχα "υποσχεθεί" στα παιδιά της Β' Γυμνασίου, ζήτησα να απαντήσουν γραπτώς σε  ασκήσεις, παρόμοιες με αυτές που είχαμε ασχοληθεί στα αμέσως προηγούμενα τρία μαθήματα.


Μισή σελίδα Α4 όλη κι όλη και ο χρόνος περίπου ένα τέταρτο της ώρας. Η κάθε παράσταση, τέσσερις στο σύνολο και όχι όλες της ίδιας δυσκολίας,  έπιανε τέσσερις μονάδες και οι δύο τελευταίες ερωτήσεις από δύο μονάδες. 
Το απόγευμα της ίδιας μέρας, χθες δηλαδή, κάθισα να διορθώσω τα γραπτά, για να τα επιστρέψω σήμερα, να τα συζητήσουμε και να προχωρήσουμε παρακάτω.
Οι οδηγίες διδασκαλίας λένε να δώσουμε έμφαση και προτεραιότητα στις ασκήσεις που "μεταφράζουν" από τη φυσική γλώσσα στην αλγεβρική, αλλά πρώτον  με τα συγκεκριμένα παιδιά έχω κάνει πολλή δουλειά πάνω σ' αυτό το θέμα πέρυσι και δεύτερον ΚΑΙ ΚΥΡΙΟΤΕΡΟΝ, αυτό που εμείς θεωρούμε αυτονόητο, πως δηλαδή 2 αυγά και 3 αυγά κάνουν 5 αυγά, για τα παιδιά κάθε άλλο παρά αυτονόητο είναι!
Όποτε ρωτάω παιδιά "πόσο κάνει δύο αυγά και τρία αυγά;" οι τρεις στους τέσσερις απαντούν "Πέντε"! Και φυσικά κάνουν λάθος. Επειδή δεν κάνει πέντε. Κάνει "πέντε αυγά"! 
Η διόρθωσή μου, η οποία κάνει αρκετά παιδιά να ξινίζουν τα μούτρα τους, μπορεί σε κάποιους να φανεί ως ιδιοτροπία μιας σχολαστικής και σπαστικής μαθηματικού, αλλά δεν είναι. Είναι ένα κομβικό σημείο στην κατανόηση της πρόσθεσης. Η πρόσθεση γίνεται μεταξύ  όμοιων πραγμάτων και το αποτέλεσμά της είναι ένα σύνολο πραγμάτων όμοιων με αυτά που είχαμε στην αρχή.  Τι δεν καταλαβαίνεις;
Γράφω στον πίνακα 2α+3x και πετάγεται ένα παιδί και μου λέει: "πέντε αx"!
Πέντε αχ και δέκα βαχ! 
Χρόνο με το χρόνο πιο δύσκολη γίνεται η αναγωγή. 
Αναρωτιέμαι, πάντα αναρωτιέμαι, πώς να είναι τα πράγματα στα άλλα σχολεία...

Την προηγούμενη εβδομάδα, για να μπορέσω να απασχολήσω την ώρα του μαθήματος μια μικρή προσφυγοπούλα που δεν κατανοεί τη γλώσσα, έψαξα στο διαδίκτυο ασκήσεις πρόσθεσης από το Δημοτικό. Ανάμεσα στις ασκήσεις που μου έβγαλε όταν γκούγκλαρα "mathematics' tasks grade a", υπήρχαν και κάτι τέτοια:
Τι περιμένουμε να απαντήσει ένα μικρό παιδί σ' αυτήν την ερώτηση; 
Τι υποτίθεται ότι πρέπει να βάλει μετά το  "=",  για να θεωρηθεί σωστό; 
Και, τέλος πάντων, από πού ξεκινάει το κακό; 
Ξεκινάει από το Δημοτικό; Νωρίτερα; Ξεκινάει από το Γυμνάσιο; Απογειώνεται στο Λύκειο;
Απάντηση μαθήτριάς μου της Β' Λυκείου μερικά χρόνια πριν.

Και ποιος φέρει την ευθύνη; Τα παιδιά, οι γονείς, οι δάσκαλοι, οι μαθηματικοί, οι σύμβουλοι, οι πολιτικοί, η τεχνολογία, η εποχή... 

Σήμερα πρώτη και δεύτερη ώρα είχα με τη Γ' Γυμνασίου. Τους είχα και πέρυσι τους είχα και πρόπερσι. Μπήκα στην τάξη ... γκαζωμένη, μετά από όσα είδαν τα μάτια μου στη χθεσινή διόρθωση.  Ρίζες ήταν το μάθημα κανονικά. Ακόμη! (Στις οδηγίες προτείνεται μια ώρα;)
"Ξεκινάμε με προθέρμανση! Έτσι θα ξεκινάμε κάθε φορά που έχουμε την πρώτη ώρα. Γράψτε ..."
Έγραψα στον πίνακα μια αλγεβρική παράσταση και ζήτησα να την απλοποιήσουν. Γύριζα από πάνω τους σαν ξωτικό να δω τι κάνουν... Αυτά έκαναν ζέσταμα στα Μαθηματικά κι εγώ ... στο Μαραθώνιο! Ούτε οι μισοί δεν την έκαναν σωστά! 
"Ξέρετε ότι οι μισοί και παραπάνω θα πρέπει να πάτε πίσω στη Β';", τους είπα. Οι πιο πολλοί χαμογέλασαν. 
"Κι επειδή αυτό δεν γίνεται κι επειδή δεν θέλω να πάτε έτσι στο Λύκειο, λέω να σας κρατήσω...". Πάγωσαν.
"Τότε, κάντε μια προσπάθεια, μια σωστή προσπάθεια...". Άρχισα να τους εκλιπαρώ. Θεέ μου.
Πάντως σοβάρεψαν. Έστησαν σωστά τα κορμιά τους στα θρανία, ειδικά κάποιοι νεαροί που το πρωί απλώνονται σαν ζυμάρι όπου μπορούν. 
"Ακούστε, στόχος μου είναι να κάνω το μάθημα επιτυχώς. Ξέρετε τι σημαίνει αυτό; Σημαίνει ότι το 60% των μαθητών μου θα απαντάει σωστά..."
Παγωμάρα.
"Ποιοι από σας θέλετε να ανήκετε στο 40%;". Κανένα χέρι δεν σηκώθηκε.
"Πού θέλετε να ανήκετε;"
"Στο 60%!",  όλα μαζί με μια φωνή. 
"Εντάξει, αλλά αν ανήκετε όλο στο 60%, τότε..."
"Τότε θα γίνει 100%", πετάχτηκαν δυο τρεις.
"Εντάξει, τότε ας βάλουμε στόχο το 100%!", τους είπα και σήκωσα έναν να απλοποιήσει την παράσταση στον πίνακα.


Όταν ο μαθητής κάθισε, ρώτησα αν η πρωτολευταία γραμμή ήταν απαραίτητη.
"Και γιατί να μην το κάνουμε;", "Γιατί; Λάθος είναι έτσι;".
"Εγώ ρωτώ αν τη θεωρείτε απαραίτητη...", επέμενα.
Και, ναι, τη θεωρούν. Παρόλο που εγώ πέρυσι απέφυγα να φέρνω δίπλα δίπλα τους όμοιους όρους για να τους προσθέσουμε. Έτσι όμως τους έχει το βιβλίο της Β' Γυμνασίου και κάποιοι θεωρούν ότι αυτό βοηθάει τα παιδιά: να τα φέρουμε κοντά! 
Αλλά τα παιδιά το αντιλαμβάνονται ως μια διαδικασία εκ των ων ουκ άνευ για την ολοκλήρωση της αναγωγής. 
Και ρωτώ: αργότερα στο Λύκειο όταν οι παραστάσεις θα γίνουν μεγαλύτερες και συνθετότερες με τριγωνομετρικούς αριθμούς και συναρτήσεις κι άλλα τινά ... δαιμόνια, θα εφαρμόζουν πάλι την ίδια μετακίνηση των όρων προκειμένου να τους φέρουν δίπλα δίπλα για να τους προσθέσουν;
Και δεν φτάνει μόνο αυτό, υπάρχει και κάτι ακόμη χειρότερο.
Σε κάποια από τα γραπτά της Β' που διόρθωσα χθες, οι όροι που άφηναν τη θέση τους, για να πάνε μια δυο θέσεις παραπέρα, να σταθούν δίπλα στο όμοιό τους, προκειμένου να αναχθούν, άλλαζαν και πρόσημο! Ένα συμπίλημα παρανοήσεων... Δίνω ένα παράδειγμα.

3(x-y)+2(x+y)=3x-3y+2x+2y=3x-2x+3y+2y=x+5y
 Δηλαδή τα 2x "πηδώντας" πάνω από τα -3y, άλλαξαν πρόσημο, σαν να άλλαξαν μέλος σε μια εξίσωση...

Δεν ξέρω από πού ξεκινάει το πρόβλημα. Αυτό που ψάχνω να βρω, προς το παρόν, είναι πώς να το τελειώσω. Και πώς τα 2α+3x δεν θα εξισώνονται με 5αx απ' τα παιδιά  και δέκα βαx στη δική μου την καρδιά!



Αλλά, αν δεν κατανοήσουν οι δάσκαλοι, οι γονείς και τα παιδιά πως η "γνώση" απαιτεί πολλή και προσωπική δουλειά, τότε δεν προβλέπω γιατρειά.
Ακούς, Λουκά;

-------------------------------------------------------------------------------
Υ.Γ. Θα έπρεπε να είχα αναφέρει από την αρχή ότι στα τεστ που διόρθωσα βρήκα ένα 19, ένα 18,  ένα 17, αρκετά δεκατριάρια, ακόμη περισσότερα δεκάρια... 
Επίστρεφω να το συμπληρώσω, δέδωκα ώρες μετά την αρχική ανάρτηση, η οποία διαβάστηκε και σχολιάστηκε πολύ, κάτι που ιδιαιτέρως με χαροποιεί. :)
Επίσης, θα έπρεπε να είχα αποσαφηνίσει εξ αρχής το ρόλο που παίζει αυτού του είδους η εξέταση. Δεν είναι ... "χαριστική βολή". Στοχεύει στην επισήμανση τριών τουλάχιστον βασικών προϋποθέσεων, για την αποτελεσματικότερη πορεία του μαθήματος. Απαιτείται ανάλυση και θα την επιχειρήσω σε μελλοντική ανάρτηση.
Ευχαριστώ πολύ τους αγαπητούς συναδέλφους που αφήνουν σχόλια με τις απόψεις τους και τις εμπειρίες τους. Με βοηθάει. 

Πέμπτη, 27 Σεπτεμβρίου 2018

Μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει...

Παλιότερα συνήθιζα να απομνημονεύω τα γενέθλια των φίλων και των γνωστών με διάφορες αριθμητικές μνημοτεχνικές που κατά καιρούς τις επαναλάμβανα ως ασκήσεις μνήμης, από φόβο μήπως μεγαλώνοντας χάσω την ικανότητα να θυμάμαι...όλα όσα ξέρω. 
Τη σημερινή ημερομηνία για παράδειγμα, που την έχω ταυτισμένη με τον σύντεκνό μου, τον   ποιητή Βασίλη Δασκαλάκη, την έχω στο μυαλό μου ως δύο διαδοχικές δυνάμεις του τρία, σε φθίνουσα διάταξη. 
Το 27 είναι ο κύβος του 3, δηλαδή 3^3, και το 9 είναι το τετράγωνο του 3, δηλαδή 3^2.  
Ξεκινώντας το μάθημα σε ένα τμήμα της Γ' το πρωί, ανέφερα την ιδιαιτερότητα της σημερινής ημερομηνίας κι ύστερα άρχισα αμέσως την επανάληψη των άρρητων, που δεν είναι και από τα ευκολότερα ακόμη και για τα μεγάλα παιδιά. Το μάθημα πήγε σχεδόν καλά, όπως φάνηκε από τις ερωτήσεις κατανόησης που απαντήθηκαν.
Βέβαια, χθες προηγήθηκε ένα ολόκληρο μάθημα στο οποίο δεν μιλήσαμε για τίποτε άλλο εκτός από τα είδη των αριθμών και την πράξη της πρόσθεσης. 
Η πρόθεσή μου, όταν μπήκα χθες στην τάξη, δεν ήταν αυτή, αλλά αναγκάστηκα να πιάσω το θέμα από την αρχή, λόγω της εσφαλμένης απάντησης στην ερώτηση "με τι ισούται το τρία ρίζα τρία συν ρίζα τρία;". 
Ακούστηκαν ποικίλες εσφαλμένες απαντήσεις με επικρατέστερη την "τρία ρίζα έξι".
Αναγκάστηκα να κάνω ένα γρήγορο  flashbach, ξεκινώντας με την ερώτηση:
"Θυμόσαστε τι σας είχα πει στο πρώτο μάθημα, όταν ήσασταν στην πρώτη Γυμνασίου;"
Εντάξει, αστειευόμουν! Υπήρχε περίπτωση να θυμάται κανείς; Θαύματα δεν γίνοντα! Εγώ, βέβαια, θυμόμουν επειδή κάνω ασκήσεις μνήμης! :)  Κυρίως  όμως θυμόμουν, επειδή έχω έναν συγκεκριμένο τρόπο "γνωριμίας με τους μαθητές" στην Α΄ Γυμνασίου! 
Στο πρώτο μάθημα τους μιλώ για τους φυσικούς αριθμούς, τους άρτιους και τους περιττούς! Τονίζω πάντα με ενθουσιασμό το πόσο τυχεροί είμαστε που χρησιμοποιούμε αυτά τα εύχρηστα ψηφία και δεν αναγκαζόμαστε να κουβαλάμε στο σχολείο πετραδάκια και χαλίκια, για να παριστάνουμε τους αριθμούς όπως οι Πυθαγόρειοι, κλπ κλπ. Και φυσικά τους λέω για τα τέλεια τετράγωνα. Τέλος, ζητώ, ως άσκηση, να γράψουν στο τετράδιό τους τα τετράγωνα των πρώτων είκοσι θετικών ακέραιων αριθμών και συνιστώ να προσπαθήσουν να τα θυμούνται... Κάνει καλό στη μνήμη! Αυτό κάνω από τότε που βρέθηκα να διδάσκω σε Γυμνάσιο. Αυτά είχα πει και στα συγκεκριμένα παιδιά, δυο χρόνια πριν, όταν τα συνάντησα για πρώτη φορά.  Κι αφού δεν θυμούνται, τα είπα και χθες, αναγκαστικά, συμπληρώνοντας φυσικά και τους άρρητους.



Μετά από πολλά παραδείγματα κατάλαβαν πώς και πότε γίνεται η πρόσθεση των άρρητων αριθμών και σήμερα το μάθημα ήταν σχεδόν απολαυστικό.


Βγήκα από την αίθουσα χαρούμενη και αισιόδοξη και πήγα να συνεχίσω με τη Β' Γυμνασίου, όπου βρίσκομαι σε ένα πολύ πολύ κρίσιμο σημείο: στον ορισμό, στη λειτουργία και στη χρήση των μεταβλητών! Είχαμε κάνει ήδη δυο μαθήματα και ολοκληρώσαμε τα δύο από τα τέσσερα είδη των ασκήσεων που περιέχει το σχολικό εγχειρίδιο, όταν διαπίστωσα πως δεν είχαν καταλάβει επαρκώς τη διαδικασία της "αναγωγής όμοιων όρων". Αρκετά λάθη, απορίες, δυσκολίες... Είναι δυσνόητη η έννοια της μεταβλητής και γενικά η χρήση των "γραμμάτων" στα Μαθηματικά, ακόμη και για παιδιά με ... προδιαγραφές. 
Αναγκάστηκα και πάλι να αλλάξω το πλάνο του μαθήματος και να επιχειρήσω μια "εκλαΐκευση" στα όρια της ... μπακαλικής! 
"Γράψτε ό,τι γράφω στον πίνακα", είπα, "κι αν δεν καταλαβαίνετε κάτι να με ρωτάτε". Γύρισα πλάτη στην τάξη - παρόλο που δεν μου αρέσει να το κάνω, αλλά πώς αλλιώς να γράψω όλες τις επεξηγήσεις, προκειμένου να καταλάβουν πώς λειτουργούν τα γράμματα και να πάψουν να τα φοβούνται; - κι άρχισα να γράφω...


"Στην Άλγεβρα χρησιμοποιούμε γράμματα που παίζουν τον ρόλο των αριθμών. Ένα γράμμα είναι ένας "γενικός αριθμός",  μια "μεταβλητή" δηλαδή μια ποσότητα ή ένα μέγεθος που οι τιμές του μεταβάλλονται, παραδείγματος χάριν το βάρος μου, ο μισθός μου, η θερμοκρασία της ατμόσφαιρας), ..."

Ακριβώς εκεί ήταν που με διέκοψε ένας μαθητής λέγοντας: 
"Δηλαδή, κυρία, μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει;"
"Ακριβώς, μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει", είπα καταβάλλοντας προσπάθεια να διατηρήσω την ψυχραιμία μου... Δεν είναι εύκολο να συνειδητοποιείς ότι προσπαθείς να διδάξεις σε παιδιά τη λειτουργία της μεταβλητής, όταν αυτά δεν κατανοούν τη σημασία του ρήματος "μεταβάλλω" και "μεταβάλλομαι".
Κι ενώ στην εποχή μας τα περισσότερα σχολεία είναι πλέον πολιπολιτισμικά και τα πάντα ραγδαία μεταβάλλονται, εμείς δεν αλλάζουμε απολύτως τίποτα στον τρόπο  που διδάσκουμε τα Μαθηματικά!
Νομίζω πως ο μικρός μαθητής που μου έκανε σήμερα το πρωί την ερώτηση: 
"Μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει;" έχει περισσότερες ελπίδες από μας να καταλάβει τι σημαίνει "ΑΛΛΑΖΕΙ"...



Πέμπτη, 13 Σεπτεμβρίου 2018

Καλή χρονιά, Κωνσταντίνε!

Χθες, πρώτη μέρα μετά τον Αγιασμό, στο δικό μου σχολείο ξεκινήσαμε τα μαθήματά μας, σχεδόν κανονικά! Λίγες είναι οι εκκρεμότητες σε προσωπικό και από αυτές οι πιο πολλές άμεσα ρυθμίσιμες, οπότε μέχρι το τέλος της επόμενης εβδομάδας, αισιοδοξώ,  να μη μας λείπει κανένας. 
Και πρόπερσι είχα ξεκινήσει έτσι, αμέσως μετά τον Αγιασμό με τα τμήματά μου κανονικά, αλλά ήμουν στο σχολείο αυτό για πρώτη φορά. Όλες τις άλλες χρονιές, επειδή έπρεπε να μετακινηθώ, να αποσπαστώ, να πάω σε άλλο σχολείο για να συμπληρώσω  το ωράριό μου κλπ κλπ., όλον τον Σεπτέμβριο, ακόμη και μέχρι τα μέσα του Οκτώβρη κάποιες φορές, ήμουν σε "προσωρινή" κατάσταση, με ό,τι αυτό συνεπάγεται. Γι' αυτό κατανοώ  τους συναδέλφους που είναι προσωρινά τοποθετημένοι και αγωνιούν να δουν σε ποιο σχολείο θα βρεθούν. Κι όσο περισσότερο αργεί η τοποθέτηση, τόσο πιο δύσκολα μπαίνουν τα πράγματα σε σειρά, επειδή δεν είναι μόνο ο χρόνος εγκλιματισμού που απαιτείται, καθώς το κάθε σχολείο και ο κάθε σύλλογος διδασκόντων έχει το δικό του ιδιαίτερο προφίλ, είναι η ύλη που δεν την προλαβαίνεις, είναι που πρέπει να "συμβαδίσεις" με τους έχοντες την ίδια ειδικότητα και πιθανόν να έχουν αρχίσει δυο και τρεις και τέσσερις εβδομάδες πριν από σένα, αλλά καλείσαι να βγάλεις κοινά θέματα στο τέλος της χρονιάς. Είναι κι άλλα τέτοια πολλά, που αν δεν τα αντιμετωπίσεις δεν τα φαντάζεσαι! 
Τα έχω ζήσει κατ' επανάληψη και γνωρίζω εξ ιδίων τα προβλήματα που ενσκύπτουν, πέρα από το ό,τι ο ... τελευταίος τοποθετηθείς παίρνει συνήθως ό,τι περισσέψει και ως προς το γνωστικό αντικείμενο και ως προς το ... ποιόν των τμημάτων. Ναι, να τα λέμε κι αυτά... 
Έχοντας περάσει από τη βάσανο της καθυστερημένης τοποθέτησης, είμαι σε θέση να εκτιμώ πολλαπλώς τη σημερινή μου κατάσταση. Φέτος, διδάσκω στο ίδιο σχολείο για τρίτη χρονιά και μάλιστα έχω πλήρες ωράριο, ενώ πέρυσι συμπλήρωνα και σε άλλο σχολείο. Γνωρίζω σχεδόν όλα τα παιδιά, εκτός από αυτά της Α' που ήρθαν φέτος για πρώτη φορά.  Και όχι μονο τα γνωρίζω, αλλά ξέρω καταλεπτώς τι τους έχει διδάξει η ... προηγούμενη μαθηματικός, δηλαδή εγώ! Οπότε από την πρώτη κιόλας στιγμή, χωρίς περιστροφές, συστάσεις, τυπικούρες και ό,τι άλλο απαιτεί κάθε νέα αρχή, μπήκαμε αμέσως στο ψητό! Ίσα ίσα ένα μάθημα "σύνδεσης με τα προηγούμενα" έκανα στη Β' Γυμνασίου, για να πάμε στις δυνάμεις των ρητών, που μας έχουν περισσέψει από πέρυσι, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών. Για το μάθημα "σύνδεσης με τα προηγούμενα", είχα αποφασίσει να γράψω τέσσερις αριθμητικές παραστάσεις στον πίνακα και μετά να τους ρωτήσω:
"Τι είναι αυτά που έχω γράψει στον πίνακα;"
Το βρήκαν! Αν και ήμουν σίγουρη πως θα το βρουν, χάρηκα όταν απάντησαν σωστά!
"Ποια εκφώνηση πιστεύετε ότι θα έπρεπε να συνοδεύει αυτές τις αριθμητικές παραστάσεις;".
Το βρήκαν κι αυτό. Φυσικά, μεταξύ άλλων, ακούστηκε και το "να λυθούν οι αριθμητικές παραστάσεις" και προκλήθηκε η γνωστή συζήτηση για τη  σωστή χρήση του "λύνω".


Την επόμενη μέρα, δηλαδή σήμερα, δεύτερη μέρα των μαθημάτων, σε ένα άλλο τμήμα της Β' το μάθημα κύλησε περίπου πανομοιότυπα.


Και το χάρηκα το ίδιο πολύ και τις δυο μέρες, όπως θα το χαρώ πολύ όσες φορές κι αν το επαναλάβω! Επειδή με τις "παραστάσεις" και τις "αναπαραστάσεις" έχω την ευκαιρία να θίγω θέματα που αφορούν τους κώδικες, τις "μεταμφιέσεις" και γενικά τη δυνατότητα... "καμουφλαρίσματος". 
Αρκεί να προσέξει κανείς πως η δεύτερη και η τρίτη παράσταση δίνουν και οι δύο αποτέλεσμα -3, για να καταλάβει τι εννοώ, λέγοντας "καμουφλάρισμα". 
Και μπαίνει το ερώτημα: "Με πόσους τρόπους μπορεί να παρασταθεί ο ίδιος αριθμός;".
"Με άπειρους!" απαντούν τα παιδιά κι εγώ δεν βλέπω την ώρα να τα βάλω για τα καλά στον κόσμο της Άλγεβρας, των μεταβλητών και των αγνώστων...
Ωστόσο, έγραψα όλα αυτά τα εισαγωγικά μόνο και μόνο επειδή θέλω να τονίσω δύο γεγονότα. 

Γεγονός πρώτο: Στην πρώτη αριθμητική παράσταση, που έγραψα στον πίνακα:


έβαλα την τελεία (το σημάδι του πολλαπλασιασμού) στον πρώτο όρο της παράστασης και όχι στον δεύτερο. Δεν το έκανα σκόπιμα, αλλά κάποιοι μαθητές βρήκαν λάθος αποτέλεσμα, επειδή τον δεύτερο όρο δεν το εξέλαβαν ως πολλαπλασιασμό, αλλά ως πρόσθεση!
Σήμερα, στο άλλο τμήμα - που έχει μεγαλύτερο μέσο όρο - το έγραψα σκόπιμα με τον ίδιο τρόπο. Και πάλι υπήρξαν μαθητές, μεταξύ των οποίων και μερικοί "καλοί", που έκαναν το ίδιο λάθος.
Συμπέρασμα: Πρέπει να προσέχω και να επεξηγώ την παραμικρή λεπτομέρεια. Ακόμη και μια ... τελεία που μπαίνει ή δεν μπαίνει!  (Ειδικά αυτή που δεν μπαίνει δημιουργεί τις περισσότερες παρανοήσεις, είτε είναι σημάδι πολλαπλασιασμού είτε σημείο, γεωμετρικό ή στίξης!  :) )

Γεγονός δεύτερο: Χθες, πρώτη μέρα των μαθημάτων έλαβα ένα μήνυμα από έναν αγαπητό  συνάδελφο, με τον οποίο γνωριζόμαστε εδώ και πολλά χρόνια, μέσω των δραστηριοτήτων της ομάδας Θαλής+Φίλοι. Ο νεαρός φίλος μαθηματικός θέλησε να μοιραστεί μαζί μου την εμπειρία του κι επειδή τη βρίσκω πολύ ενδιαφέρουσα, θέλω κι εγώ να τη μοιραστώ με όλους και - με την άδειά του - τη γράφω εδώ: 

      Καλημέρα Κατερίνα και καλή σχολική χρονιά!
    Μια παραρατήρηση/προβληματισμό σήμερα από το σχολείο που θα ήθελα να μοιραστώ     μαζί σου...
   Γεωμετρία Β' Λυκείου. Σχεδιάζω έναν κύκλο  και μια επίκεντρη γωνία και ρωτάω τους    μαθητές πόσα κοινά σημεία έχει η γωνία με τον κύκλο. Φυσικά ολόκληρο το τμήμα, με ένα στόμα μια φωνή, απάντησε το ... προφανές και όχι το αληθές, δηλαδή δύο και όχι άπειρα, αφού κοινά σημεία είναι όλα τα σημεία του τόξου στο οποίο βαίνει η γωνία. 
Δεν τους κατηγορώ, άλλωστε κι εγώ ως καθηγητής κατάλαβα πλήρως τι είναι η γωνία!!!

Θέλω να ευχαριστήσω τον Κωνσταντίνο, επειδή  μοιράστηκε άμεσα μαζί μου την εμπειρία του και έμμεσα με τους αναγνώστες του ιστολογίου.
Και με αυτήν την ευκαιρία να επισημάνω ότι η επικοινωνία γενικώς -και μέσω του ιστολογίου ειδικώς- με έχει βοηθήσει όχι μόνο να κατανοήσω έννοιες και διαδικασίες, που αφορούν τα Μαθηματικά, αλλά και διδακτικές πρακτικές που βοηθάνε τα παιδιά. 

Σε ευχαριστώ πολύ, Κωνσταντίνε.
Σου εύχομαι - και πάλι - καλή σχολική χρονιά!

Καλή και δημιουργική χρονιά σε όλους!


Τετάρτη, 5 Σεπτεμβρίου 2018

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Einstein verso Tolstoy

Στις 29 Σεπτεμβρίου, καλεσμένη από το Παράρτημα Φλώρινας της Ε.Μ.Ε., θα έχω την ιδιαίτερη τιμή -και φυσικά την πολύ μεγάλη χαρά- να πάρω μέρος σε συζήτηση  με θέμα: 
" "Ο Γιάννης που αγάπησα" στην "Οδό Μαθηματικής Σκέψης" ", όπου σε συνεργασία με τον τ. Σχολικό Σύμβουλο, κύριο Γιάννη Θωμαΐδη, θα προσπαθήσουμε να συνδυάσουμε τα δύο βιβλία, από τους τίτλους των οποίων προέκυψε  ο τίτλος της ομιλίας. 
Τα βιβλία αυτά κυκλοφόρησαν πέρυσι με λίγους μήνες διαφορά και έχω ήδη γράψει για το βιβλίο των κ.κ. Θωμαΐδη-Ρίζου αμέσως μόλις είχα αρχίσει να το διαβάζω. 
Τώρα το ξαναδιαβάζω, προκειμένου να αποφασίσω σε τι θα αναφερθώ στο λίγο χρόνο που θα έχω στη διάθεσή μου, στην εκδήλωση της Φλώρινας. Και ειλικρινά έχω πάνω από δέκα μέρες που το παλεύω χωρίς αποτέλεσμα. 
Εκτός από την εισαγωγή και το παράρτημα, στο οποίο αναφέρεται "Το πρόβλημα του Ήρωνα", στο βιβλίο υπάρχουν τρία εκτενή  κεφάλαια με τίτλους
1. "Αρμονικές σχέσεις των Μαθηματικών Προβλημάτων από την αρχαιότητα ως σήμερα"
2. "Οι άγνωστοι, οι μεταβλητοί και οι εξισώσεις"
3. "Συναρτησιακή σκέψη", αντίστοιχα.
Αρχικά, είχα επιλέξει να εστιάσω στο 2ο κεφάλαιο, επειδή γενικά οι άγνωστοι, οι μεταβλητές, οι παράμετροι έχουν κάτι γοητευτικό για μένα και δύσκολο για τα παιδιά!  Επιπλέον στην επιλογή μου βάρυνε το πρόβλημα που αναφέρεται στη σελίδα 146, στην παράγραφο 4.1 
"Ένα πρόβλημα που άρεσε στον Λέοντα Τολστόι"!
Πόσο αρμονικά εμφανίζεται ο μέγας λογοτέχνης σε βιβλίο με προβλήματα μαθηματικά!


Ο Τολστόι μου αρέσει, οπότε το παραπάνω πρόβλημα κέντρισε αμέσως την περιέργειά μου. 
Όταν το μελέτησα αποφάσισα να το συμπεριλάβω στην ομιλία και για έναν ακόμη λόγο: η λύση του αναδεικνύει τη δύναμη της "σχηματικής αναπαράστασης" των δεδομένων, την οποία -σχηματική αναπαράσταση- γενικά η τυποποιημένη, φορμαλιστική, ασκησιολογία που χρησιμοποιούμε στην Άλγεβρα δεν  υποστηρίζει και δεν αναδεικνύει.
Ήμουν σχεδόν βέβαιη πως έχω καταλήξει στα θέματα της σύντομης παρουσίασης που θα κάνω στη Φλώρινα, αλλά είπα να το διαβάσω από την αρχή.
Διαβάζοντας το πρώτο κεφάλαιο ξανά, βρέθηκα και πάλι μπροστά σε ενδιαφέροντα ζητήματα, όπως το πρόβλημα από τον πάπυρο Rhind (1650 π.Χ.) για τις ανταλλαγές του ψωμιού στην Αρχαία Αίγυπτο* και το πρόβλημα από το Liber Abaci (1202)  του Leonardo Pisano Fibonacci, με τα σαρκοβόρα και τα θηράματα.
Μεταξύ μας, το συγκεκριμένο πρόβλημα μου έφερε στο μυαλό εικόνες από τσίρκο και επειδή  το θέμα "τσίρκο vs λαβύρινθου" τον τελευταίο καιρό με απασχολεί, με συγκίνησε και έτσι αποφάσισα πως δεν θα μιλησω για το πρόβλημα που άρεσε στον Τολστόι, αλλά για το πρόβλημα με τα άγρια θηρία του Φιμπονάτσι! Κι άντε πάλι από την αρχή.
Μετά, καθώς διάβαζα, άλλαξα πάλι γνώμη.
Τώρα η απόφασή μου βαραίνει στο πρόβλημα που μπέρδεψε τον Αϊνστάιν.
Πιθανόν να είναι η τελική μου επιλογή. Άλλωστε, πέρα από το πρόβλημα καθαυτό, (που το γνώριζα από καιρό, επειδή πριν μερικά χρόνια το είχα κάνει λαθος κι εγώ, χωρίς βέβαια αυτό να με εξισώνει με τον Αϊνστάιν, δυστυχώς... :) ) το πραγματικό ενδιαφέρον στο συγκεκριμένο χωρίο είναι το σχόλιο που έκανε ο Αϊνστάιν, όταν αντίκρυσε την αλγεβρική λύση του προβλήματος.
"Δεν υπάρχει καθόλου διαθέσιμος χρόνος, για να επιτευχθεί αυτό το αποτέλεσμα"** είπε.

Ποιο ήταν το αποτέλεσμα; Ποιο ήταν το πρόβλημα; 
Και γιατί δεν υπάρχει διαθέσιμος χρόνος; 
Πόσο διασκεδαστικά μπορούν να γίνουν τα Μαθηματικά μέσω προβλημάτων που αφενός αναδεικνύουν την ιστορία τους και τη γοητεία τους, αφετέρου συνδυάζονται μεταξύ τους αρμονικά, για να φτάσουν από την Αρχαία Αίγυπτο και απ' τον Μεσαίωνα σε αυτά που εμείς διδάσκουμε τόσο (ή και μόνο) "κανονιστικά"!

*******************************************************
* Για περισσότερα ιστορικό-λογοτεχνικό-μαθηματικά προβλήματα από τον πάπυρο Rhind βλέπετε στο βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη, "Αχμές ο γιος του φεγγαριού", εκδόσεις Πόλις.

** Αν ρωτούσαμε τον φύλαρχο Τουιάβιι από το νησί Τιαβέα του Νότιου Ειρηνικού τη γνώμη του για τον "διαθέσιμο χρόνο", θα μας έλεγε μια πολύ ενδιαφέρουσα άποψη, την οποία κάποτε θα ήθελα να παρουσιάσω  και θα το κάνω, όταν θα βρω ... τον διαθέσιμο χρόνο