Κανονικότητες σε απουσία κανονικότητας...

Ενώ οι μάχες στο Κιέβο, στο Χάρκοβο, στη Μαριούπολη και ένας θεός ξέρει πού αλλού, μαίνονται και οι συνέπειες του πολέμου -αυτές που ζούμε κι αυτές που θα ζήσουμε- βαραίνουν πάνω μας, εμείς, οι εκπαιδευτικοί που εμπλεκόμαστε στην πιλοτική εφαρμογή των νέων προγραμμάτων σπουδών, συνεχίζουμε τους πειραματισμούς σύμφωνα με τις υποδείξεις του ΙΕΠ και της Διοικούσας Επιτροπής Πρότυπων και Πειραματικών Σχολείων (ΔΕΠΠΣ) ανά την Ελλάδα. 

Βέβαια, ο πόλεμος στην Ουκρανία άρχισε πριν από έξι μέρες, ενώ ο άλλος "πόλεμος", αυτός της πανδημίας, που διαταράσσει το κλίμα στα σχολεία και  παρεμποδίζει την ομαλή ροή και την κανονικότητα της εκπαιδευτικής διαδικασίας, συμπληρώνει ήδη τρίτη χρονιά. Ωστόσο, το ΥΠΑΙΘ επιμένει πως όλα βαίνουν ομαλά, αφού τα σχολεία παραμένουν ανοιχτά!

Στο πλαίσιο της πιλοτικής εφαρμογής, ως Συντονίστρια Εκπαιδευτικού Έργου, συνεργάζομαι με την συνάδελφο του Πρότυπου Γυμνασίου Μυτιλήνης και δοκιμάζουμε στην τάξη τα σενάρια που ετοιμάζουμε σύμφωνα με τη νέα φιλοσοφία των προγραμμάτων σπουδών, που δίνουν έμφαση στα Στοχαστικά Μαθηματικά, στις Κανονικότητες, στις Μεγάλες Ιδέες των Μαθηματικών και σε άλλα πολλά. Μας ανατίθεται η ενότητα με την οποία θα ασχοληθούμε κι εμείς ... ασχολούμαστε. Έτσι απλά. 

Σήμερα μπήκα σε ένα τμήμα της Α' Γυμνασίου με είκοσι δύο παιδιά. Συστήθηκα, εξήγησα τι πρόκειται να κάνουμε και ρώτησα αν τους αρέσουν τα Μαθηματικά. Ακούστηκαν διάφορα σχόλια, τα περισσότερα θετικά, αλλά στα αυτιά μου κυριάρχησε μια λεπτή παιδική φωνή που έλεγε:

"Κυρία, είστε τυχερή! Σήμερα, μετά από πολύ καιρό, είναι η πρώτη φορά που είμαστε όλοι εδώ!" Έριξα μια ματιά στο απουσιολόγιο. Πράγματι, δεν έλειπε κανείς. Είναι θέμα τύχης, λοιπόν, να μπεις στην τάξη και να είναι όλοι εκεί. Και να μη λείπουν οι μισοί... Ας όψεται ο κορονοϊός!

Μετά, επαναδιατύπωσα την ερώτηση. "Σε ποιον δεν αρέσουν τα Μαθηματικά;". Σηκώθηκαν πέντε έξι χέρια ψηλά. Ρώτησα τον καθένα ξεχωριστά, αν και η απάντηση ήταν πάνω κάτω η ίδια. "Έχουν αριθμούς και δύσκολες πράξεις...". Οι υπόλοιποι εξέφρασαν τις ενστάσεις τους. "Δεν είναι μόνο αριθμοί, είναι και γράμματα", είπε ένας. "Δεν είναι μόνο πράξεις είναι και σκέψη", είπε άλλος. Θα είχε ενδιαφέρον να αφήσω τη συζήτηση να εξελιχθεί, αλλά η ώρα είναι μικρή.

Έδωσα το ακόλουθο φύλλο εργασίας, αφενός επειδή -παρόλο που δεν φαίνεται- μπήκαμε στην άνοιξη, αφετέρου, επειδή ήθελα να κάνω μια παιγνιώδη μεν, διερευνητική δε εισαγωγή στην ικανότητα των παιδιών να αναγνωρίζουν μοτίβα.

   Δούλεψαν ανά θρανίο, πρώτα τα λουλούδια της Φλώρας. Εκτός από εφτά παιδιά, τα υπόλοιπα κατάφεραν να βρουν και να εξηγήσουν το μοτίβο, χωρίς βέβαια να έχουν ιδέα από Fibonacci. Μετά συζητήσαμε πώς το σκέφτηκαν. Ενδιαφέρον παρουσίασε ο τρόπος που σκέφτηκαν δύο αγόρια, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Μπορεί ο συλλογισμός τους να μην τους οδήγησε στο "σωστό" αποτέλεσμα, αλλά επιβεβαίωσε ότι ο τρόπος που αντιλαμβανόμαστε τα μοτίβα είναι υποκειμενικός. Παραθέτω τη σκέψη των παιδιών, επειδή είχε ενδιαφέρον.

1ο παιδί: Παρατηρώ ότι 3-2=1, 5-3=2, 8-5=3, 13-8=5, δηλαδή οι διαφορές είναι πρώτοι αριθμοί κι επειδή ο επόμενος πρώτος είναι ο 7, το επόμενο λουλούδι θα έχει 13+7=20 πέταλα. Όμως, κυρία, μου το χαλάει το πρώτο λουλούδι, που έχει ένα πέταλο!

(Βέβαια, αν άρχιζε από το πρώτο λουλούδι, το οποίο παρέλειψε για να "δουλέψει" το μοτίβο του θα είχε: 2-1=1, 3-2=1, 5-3=2 κλπ και καθόλου δεν θα χαλούσε το μοτίβο που ανακάλυψε. Θα είχε ενδιαφέρον να έθετα στην τάξη κάποιες ερωτήσεις γύρω από το μοτίβο του παιδιού, όπως "πόσα πέταλα θα έχει το δέκατο λουλούδι;", αλλά, το είπαμε, ο χρόνος κάνει τα πράγματα ασφυκτικά.)

2ο παιδί: Παρατηρώ ότι 3+3=6, 6-1=5, 5+5=10, 10-2=8 και 8+8=16, 16-3=13, άρα θα είναι 13+13=26, 26-4=22.

(Ετούτος παρέλειψε τα δύο πρώτα λουλούδια προκειμένου να καταλήξει κάπου.)

Όπως και να το κάνεις, έχει ενδιαφέρον ο τρόπος που σκέφτηκαν και κυρίως επειδή, όπως είπα και πριν, αποδεικνύει ότι ο τρόπος που επεξεργαζόμαστε μια πληροφορία είναι υποκειμενικός. Τα δεδομένα που χρησιμοποιούμε κι αυτά που αφήνουμε απ' έξω, συχνά έχουν στενή σχέση με την επιθυμία μας να φτάσουμε σε ένα συμπέρασμα (που ενίοτε, εμείς οι μεγάλοι το έχουμε ήδη κατασκευασμένο στο κεφάλι μας...).

Πριν περάσουμε στο δεύτερο πρόβλημα, με τα τετράγωνα του Μάρκου, ακούστηκε ένα υπερηχητικό αεροπλάνο να σχίζει τον αιθέρα.

"Ήρθαν οι Ρώσοι μέχρι εδώ!" πετάχτηκε κάποιος, αλλά οι υπόλοιποι μάλλον το διακωμώδησαν, ενώ εγώ ένιωσα την τρίχα μου να ορθώνεται... Και να σκεφτείτε ότι ήρθε εγκύκλιος από το Υπουργείο, που ζητά να συζητηθεί στις τάξεις ο πόλεμος στην Ουκρανία. (βλέπε εδώ). 

Περάσαμε στο δεύτερο πρόβλημα, όπου σχετικά γρήγορα, υποψιασμένοι πλέον από το πρώτο, βρήκαν την απάντηση, ανακαλύπτοντας το μοτίβο. Εδώ υπήρξε σύγκλιση και δεν ακούστηκε κάποιος διαφορετικός τρόπος σκέψης. Πώς θα μπορούσε άλλωστε; Τα σχήματα φαίνεται πως ... ξεκαθαρίζουν το τοπίο! 

Στην ερώτηση αν παρατηρούν κάτι περίεργο στον τρόπο που σχετίζονται τα λουλούδια της Φλώρας με τα τετράγωνα του Μάρκου δόθηκαν ενδιαφέρουσες απαντήσεις. Παραθέτω αυτολεξεί μερικές:

"Είναι οι ίδιο αριθμοί", 

"Είναι το ίδιο μοτίβο", 

"Κάθε τετράγωνο αντιστοιχεί σε ένα λουλούδι της Φλώρας",

"Το άθροισμα των δύο προηγούμενων είναι το επόμενο",

"Και οι δύο έχουν σκεφτεί με τον ίδιο τρόπο"

------------------------------------------------------------

Και οι δύο έχουν σκεφτεί με τον ίδιο τρόπο!

-----------------------------------------------------------

Τρόποι σκέψης υπάρχουν πολλοί κι ο καθένας ακολουθεί τον δικό του, αλλά την κρίσιμη στιγμή, σαν αυτή που ζούμε, θα έπρεπε το ΙΕΠ και το Υπουργείο Παιδείας να σκεφτούν με τον ίδιο τρόπο που σκέφτονται οι εκπαιδευτικοί, οι οποίοι καλούνται να διδάξουν -μεταξύ άλλων-  κανονικότητες εν μέσω μιας κατάστασης από την οποία απουσιάζει παντελώς κάθε μορφή κανονικότητας!

Κι ενώ οι Τράπεζες ανά τον κόσμο και το SWIFT είναι θέμα στα πρωτοσέλιδα, η Τράπεζα Θεμάτων για το Λύκειο ... καλά κρατεί!

Πόσο κακό κάνουμε στα παιδιά;

 Έχει περάσει πια ένας ολόκληρος χρόνος που από τη μία οι επαγγελματικές μου υποχρεώσεις με κρατούν έξω από τη σχολική τάξη και από την άλλη οι συνεχείς και επιβεβλημένες "επιμορφώσεις" με αναγκάζουν να διαβάζω ολοένα και λιγότερο βιβλία της επιλογής μου, με αποτέλεσμα να μην νιώθω την ανάγκη να γράψω εδώ και να μοιραστώ σκέψεις και εμπειρίες με τους πολλούς παλιούς φίλους και αναγνώστες. Ελπίζω κι εύχομαι να είναι όλοι καλά.

Η σημερινή μου εμπειρία όμως αξίζει να καταγραφεί, αξίζει να διαβαστεί, αξίζει να γίνει θέμα συζήτησης και προβληματισμού για όλους εμάς που με τον έναν ή τον άλλον τρόπο εμπλεκόμαστε στην εκπαιδευτική διαδικασία και αγωνιούμε για την εξέλιξη της δημόσιας παιδείας που βάλλεται πανταχόθεν και έχει καταντήσει ...αρένα! Μια συνεχής διαμάχη ανάμεσα στο Υπουργείο Παιδείας και στους εκπαιδευτικούς, με δικαστικές προσφυγές, με "εντέλλεσθε", με ολιγωρίες και παλινωδίες, μέσα σε ένα κλίμα γενικότερης αβεβαιότητας, που από μόνο του προκαλεί διάρρηξη της (όποιας) κοινωνικής συνοχής. 

Πάνω σ' αυτήν την αρένα, λοιπόν, όσο και αν δεν σας περνά από το μυαλό, βρίσκονται και τα παιδιά! Μικρά, μεγάλα, μεγαλύτερα παιδιά που βιώνουν μια δύσκολη και πρωτόγνωρη κατάσταση, με θυμό, με φόβο, με άγχος, με αγωνία. Με αγωνία όχι μόνο για τα τεστ, τις εξετάσεις, τους βαθμούς, αλλά γενικά για το τι μέλλει γενέσθαι με τον ιό, με την ανεργία, με την ενδοοικογενειακή βία... Κυρίως, με τη βία, που έχει κατακλύσει την κοινωνία. Και τα παιδιά - όλοι το ξέρουμε - ακολουθούν τα κοινωνικά πρότυπα, όχι πάντοτε συνειδητά, επειδή αυτό  κάνουν τα παιδιά: λειτουργούν μιμητικά. Το αποτέλεσμα είναι να σημειώνονται στα σχολεία περιστατικά παραβατικών συμπεριφορών ποικίλων εντάσεων, από ήπιων έως ακραίων. Μάλιστα είναι τόσο ευφάνταστα που επινοούν διάφορα βίαια παιχνίδια, όπως για παράδειγμα το "ντου", όχι το "θα κάνω ντου βρε πονηρή", το γνωστό άσμα του αείμνηστου Βασίλη Τσιτσάνη, αλλά το "ντου", όπου κατά τη διάρκεια του διαλείμματος καμιά δεκαριά μαθητούδια επιλέγουν ένα συμμαθητή που περπατάει παραπέρα ανέμελος και του ορμούν όλοι μαζί και... ό,τι βρέξει ας κατεβάσει. Αυτό είναι το παιχνίδι! Το αξιοπερίεργο είναι πως δεν πρόκειται για το "bulling" που γνωρίζαμε ως εκπαιδευτικοί μέχρι τώρα, αφού ο ρόλος των θυτών και του θύματος συχνά αλλάζει και μάλιστα, εάν "συλληφθούν" οι ένοχοι τρέχει το θύμα, δαρμένο, γδαρμένο, με σπασμένα γιαλιά και ό,τι άλλο, και υπερασπίζεται τους θύτες ορυόμενο πως είναι φίλοι και πως δεν είναι παρά μόνο ένα παιχνίδι! Μάλιστα! Είναι απλώς ένα παιχνίδι!

Εν πάση περιπτώσει, ένα τέτοιο περιστατικό συνέβη σε ένα από τα σχολεία παιδαγωγικής μου ευθύνης και με αφορμή αυτό το γεγονός σήμερα υλοποιήθηκαν παρεμβάσεις από την ψυχολόγο και την κοινωνική λειτουργό, που μόνο μια φορά την εβδομάδα διαθέτει το συγκεκριμένο σχολείο. Εξέφρασα την επιθυμία να παρακολουθήσω την ωριαία δράση σε ένα τμήμα της Γ' Γυμνασίου και φυσικά την παρακολούθησα. Έγιναν τρία "ψυχολογικά" παιχνίδια στα οποία τα παιδιά συμμετείχαν με ενδιαφέρον. Δειλά στην αρχή, πιο θαρρετά όσο περνούσε η ώρα, έλεγαν την άποψη τους, τον προβληματισμό τους, τις σκέψεις τους. Όταν τελείωσαν οι δύο συνάδελφοι, ευχαρίστησα που με δέχτηκαν στην τάξη και, κατά την προσφιλή μου συνήθεια, ζήτησα από τα παιδιά, εφόσον επιθυμούν, να σημειώσουν ανώνυμα σε ένα χαρτί με δυο τρεις λέξεις τι αποκόμισαν από τη δράση. Τα ευχαρίστησα εκ των προτέρων και αποχώρησα, για να μην αισθανθούν ότι πιέζονται να γράψουν κάτι. Πήγα, λοιπόν, στο γραφείο και περίμενα. Υπέθεσα ότι δεν θα θελήσουν να γράψουν, αφού δεν με γνωρίζουν, αφού πιθανόν δεν θα με ξαναδούν, αφού, αφού, αφού... Σε λιγότερο από δέκα λεπτά ήρθε η συνάδελφος με ένα πάκο χαρτάκια στα χέρια της! "Έγραψαν όλοι!", μου είπε. "Και έγραψαν πολύ ωραία πράγματα!"

Πήρα τον πάκο και τον έβαλα στην τσάντα, για να διαβάσω τα σημειώματα των παιδιών το απόγευμα στο σπίτι με τη δέουσα προσοχή. Και τα διάβασα... 

Φόβος, μοναξιά, αγωνία, ανησυχία, ανάγκη για υποστήριξη, επιθυμία για προσέγγιση κι άλλα πολλά, προκύπτουν από όσα γράφουν τα παιδιά. Με δυο τρεις λέξεις, με δυο τρεις φράσεις. Μόνο ένα παιδί έγραψε μια ολόκληρη παράγραφο και την παραθέτω αυτούσια:

"Οι σημερινές δράσεις ήταν πολύ ενδιαφέρουσες. Είδαμε πόσα πράγματα κρατάμε κρυφά από τους άλλους ίσως γιατί φοβόμαστε την κριτική των άλλων ατόμων πιστεύω. Επίσης, καταλάβαμε μέσα από ένα πολύ απλό παράδειγμα την κοινωνική ανισότητα και τις ευκαιρίες που δίνονται στον καθένα. Τέλος, κάναμε μια δράση όπου μας έλεγαν δυσάρεστες καταστάσεις που ίσως είχαμε αντιμετωπίσει στη ζωή μας και εμείς προχωρούσαμε. Μου άρεσαν αλλά ένιωθα κάποιους ενδοιασμούς για να δηλώσω τη γνώμη μου. Όμως θα ήθελα να ξαναέρθουν αυτές οι κυρίες για να αποβάλω αυτό που φοβάμαι να μιλήσω."

"Φοβάμαι να μιλήσω!", έγραψε το παιδί!

Κι εγώ αναρωτιέμαι: Πόσα παιδιά φοβούνται να μιλήσουν; 

Φοβούνται να μας μιλήσουν! Κι ενώ αυτά φοβούνται εμείς επιμορφωνόμαστε (για μιαν ακόμη φορά) στα νέα προγράμματα σπουδών, που έχουν νέα φιλοσοφία, νέο περιεχόμενο, καινούρια ορολογία, που κατά κοινή ομολογία αρκετοί από τους συμμετέχοντες εκπαιδευτικούς δυσκολεύονται να κατανοήσουν, τουλάχιστον στα Μαθηματικά, όπου τα συγκείμενα και τα περικείμενα κρατούν καλά... Εν ολίγοις, στο Γυμνάσιο, που παρακολουθώ εγώ, το περιεχόμενο σπουδών σου δίνει την εντύπωση πως απευθύνεται σε ανθρώπους με πλούτο γλωσσικό και, κυρίως, με ένα συναισθηματικό υπόβαθρο καλλιεργημένο και υψηλό! Αλλά τα παιδιά μας, σε μεγάλο βαθμό, δεν το διαθέτουν αυτό, αφού φοβούνται να μας μιλήσουν!

Μήπως θα πρέπει να σκεφτεί το Υπουργείο σοβαρά να δώσει έμφαση στην κοινωνικο-συναισθηματική ανάπτυξη των παιδιών; Μήπως πρέπει στο νέο πρόγραμμα σπουδών να συμπεριλάβουν εβδομαδιαία βιωματικά εργαστήρια ψυχολόγων και κοινωνικών λειτουργών;

Ένα παιδί που φοβάται γενικά, δεν μπορεί να αγαπήσει και να αφιερώσει χρόνο σε ένα μάθημα απαιτητικό! Πριν τα βοηθήσουμε να αναπτυχθούν συναισθηματικά, επιμένουμε, μέσα σε όλους τους άλλους φόβους να προσθέτουμε ... και τα Μαθηματικά! Εντάξει, μπορούμε να τα κάνουμε συνδυαστικά, αλλά, δυστυχώς, χρόνια τώρα εστιάζουμε μόνο στη νόηση και στα διαδικαστικά...

Πόσο κακό κάνουμε στα παιδιά μας τελικά;

-----------------------------------

Κάποια από τα σημειώματα των παιδιών. 

Περίπου τα ίδια ήταν όλα, με έμφαση στη μοναξιά, στο φόβο, στην έλλειψη αυτοεκτίμησης, στις κοινωνικές ανισότητες... Λίγες λεξούλες στο χαρτί, που φανέρωναν πολλά!

Δεν είναι καιρός να το δούμε σοβαρά;

Γηράσκω αεί διδασκομένη...

Από το μόδι στο κ(ι)λόμοδο!

Σε ολόκληρο το νησί εδώ και καιρό απλώθηκαν  λιόπανα. Έχουν πάρει φωτιά οι ντέμπλες!(*)

Τσουβάλια ασφυκτικά γεμάτα, στοιβαγμένα σε φορτηγάκια κατευθύνονται στα λιοτρίβια.

Ο αέρας κατά διαστήματα αποπνέει την βαριά μυρωδιά του φρέσκου λαδιού.

Οι μαθητές και οι μαθήτριές μου, άλλοι λίγο άλλοι πολύ, ασχολούνται με την παραγωγή λαδιού, οπότε στο σχολείο γίνονται συχνά συζητήσεις σχετικές με το θέμα.

Καθώς όμως οι δικοί μου παππούδες, μετά την προσφυγιά τους από διάφορα μέρη της Μικράς Ασίας, επέλεξαν, ο καθένας χωριστά, ως τόπο εγκατάστασης το άστυ, όπου στη συνέχεια γεννήθηκαν και γαλουχήθηκαν οι γονείς μου, εγώ προσωπικά δεν στερούμαι μόνο ελαιοκτημάτων, αλλά και αυτών ακόμη των βασικών γνώσεων του σχετιζόμενου λεξιλογίου. Κατά συνέπεια, τον καιρό αυτό που στο σχολείο κατά την ώρα των διαλειμμάτων γίνονται συζητήσεις για τη σοδιά, το μαξούλι το λεγόμενο, αρκετές άγνωστες λέξεις φτάνουν στα αυτιά μου και ολοένα ρωτώ να μάθω. Αυτή η –ας την πω– φιλομάθεια μου, έχει προκαλέσει την έκπληξη κάποιων μαθητών, ένας εκ των οποίων δεν κατάφερε να συγκρατηθεί και αναφώνησε: «Αμάν, κυρία, όρεξη που την έχετε να μάθετε τέτοια πράγματα!».

Σε αντίθεση με τον συγκεκριμένο μαθητή, κάποιοι άλλοι, συγκινημένοι μάλλον από το γνήσιο ενδιαφέρον μου, επιχείρησαν να με μυήσουν στα μυστικά της ελαιοπαραγωγής και μου εξήγησαν τι σημαίνει «μόδι», «ντέμπλα», «μαξούλι» κι άλλες παντελώς άγνωστες σε μένα λέξεις. 
Το όλο θέμα μου φάνηκε πεδίο λαμπρό για την...παραγωγή εκπαιδευτικού υλικού, που θα άπτεται των άμεσων ενδιαφερόντων των φοιτούντων στο Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας της Μυτιλήνης. Το ανέφερα σε κάποια τμήματα. Δυο τρεις μέρες μετά, ενώ ήδη είχα αρχίσει το μάθημα σε ένα τμήμα, μπαίνει στην αίθουσα η Μαρία Χ., έμπλεη ενθουσιασμού, λάμποντας περισσότερο από ό,τι συνήθως, κραδαίνοντας ένα τετράδιο στο χέρι. «Σας έφερα ένα πρόβλημα που είναι χρήσιμο για όλους. Ακούστε. Ο άντρας μου μάζεψε τις ελιές προχθές και μου είπε πως στα 300 κιλά πήρε 64 κιλά και στο μόδι παίρνει...».

«Μισό λεπτό, μισό λεπτό...», την έκοψα. «Να θυμηθούμε πρώτα τι είναι το μόδι...», είπα περισσότερο για να συγκεντρώσω τη σκέψη μου και να καταλάβω τι ακριβώς μου έλεγε.

«Το μόδι είναι 500 κιλά», απάντησε η Μαρία. Κάποιοι διαφώνησαν. 
«Το μόδι είναι 640 κιλά...», είπαν.
Αναγκάστηκα να γκουγκλάρω, επί τόπου.

Μόδι είναι μονάδα βάρους του προς έκθλιψη ελαιοκάρπου, ίσο με 500 κιλά. Παλαιότερα, όταν χρησιμοποιούνταν η οκά το μόδι ήταν ίσο με 640 κιλά.

Αναφερόταν και η λέξη «κλόμοδο», που μου άρεσε πολύ, ενδεχομένως από το «κιλόμοδο», αλλά ήταν άγνωστη στους παριστάμενους μαθητές, που συνέχιζαν τις διαφωνίες.

«Όχι, 640, 500 είναι το μόδι. Παλιά ήταν 640», επέμενε η Μαρία. Μάλιστα. Της ζήτησα να επαναλάβει το πρόβλημα και κατέγραψα τα δεδομένα στον πίνακα. «Το ζητούμενο είναι πόσα κιλά λάδι θα έπαιρνε ο άντρας σου αν συνέθλιβε ένα μόδι ελιές, σωστά;», είπα και επισήμανα πως πρόβλημα χωρίς ζητούμενο δεν είναι πρόβλημα. Άδραξα την ευκαιρία να αναφέρω την αναγωγή στη μονάδα και έλυσα το πρόβλημα στον πίνακα. Λίγο πριν τελειώσω, μπήκε με καθυστέρηση στο μάθημα ο Λευτέρης. Έριξε μια εξεταστική ματιά στον πίνακα, με έντονα τα ίχνη της αμφισβήτησης. «Και τι βρήκατε;», ρώτησε. Του εξήγησα αναλυτικά, επαναλαμβάνοντας από την αρχή το όλο πρόβλημα. Όσο με άκουγε κατά κάποιον τρόπο φαινόταν να δυσανασχετεί. Όταν ολοκλήρωσα, σηκώθηκε με ένσταση. 
«Να σου δείξω εγώ έναν απλό τρόπο να το υπολογίζεις», μου είπε και πήρε την κιμωλία από το χέρι μου. 
«Πρώτα απ’ όλα το μόδι είναι 640 κιλά. Αν από 1500 κιλά ελιές πάρεις 300 κιλά λάδι, τότε το μόδι σου δίνει 640 επί 300 διά 1500...».

 Άφησε την κιμωλία κι έβγαλε το κινητό, υπολόγισε, «128 κιλά λάδι», είπε στο τέλος.  Ξαναπήρα εγώ την κιμωλία και έγραψα τα «δικά» του δεδομένα στον πίνακα, καθώς και την πράξη που πρότεινε, τουτέστιν την «απλή  μέθοδο των τριών», που οι ιθύνοντες και οι κατέχοντες έχουν βγάλει από τα βιβλία του Γυμνασίου...  

Το κουδούνι είχε χτυπήσει από ώρα και τους πρότεινα να βγουν για διάλειμμα, αλλά δεν ήθελαν. Στο μεταξύ η διαφωνία για το πόσα κιλά είναι το μόδι καλά κρατούσε.

Στο επόμενο τμήμα που μπήκα, επειδή είχαμε χάσει κάποια μαθήματα, ξεκίνησα με τα ισοδύναμα κλάσματα και για προθέρμανση ζήτησα να μετατρέψουμε μερικά κλάσματα, όπως το ¾, το 8/5, το 4/20, το 60/75, σε ισοδύναμα με παρονομαστή το 100. Η διαδικασία δεν προχωρούσε και χρειάστηκε να εξηγήσω αρκετές φορές μέχρι να σιγουρευτούμε πως όλοι καταλάβαμε και πώς το κάνουμε και πού θα μας χρησιμεύσει αυτή η μετατροπή, όταν αργότερα θα ασχοληθούμε με ποσοστά κλπ. κλπ.

Όταν τέλειωσε η «προθέρμανση» με τα ισοδύναμα κλάσματα, αντί να περάσω στην επόμενη άσκηση, ανέφερα το πρόβλημα με το μόδι. Σε κλάσματα δευτερολέπτου άκουσα καινούρια αυτή τη φορά δεδομένα για το ίδιο πρόβλημα.
x κιλά ελιές έδωσαν y κιλά λάδι, άρα το μόδι δίνει τόσα κιλά...

Κατάλαβα πως ο καθένας που έλεγε το πρόβλημα, ανεξάρτητα αν έπαιρνε το μόδι ίσο με 500 ή με 640 κιλά, διατύπωνε το πρόβλημα με δεδομένα που αφορούσαν –κατά πάσα πιθανότητα- το δικό του μαξούλι! Και οι υπολογισμοί τους, πρακτικοί ή μη, με ξεπερνούσαν σε ταχύτητα...

Έφυγα από το σχολείο με την αίσθηση πως έμαθα πολλά καινούρια πράγματα, αλλά κυρίως πως έχω ακόμη πολλά να μάθω. Και ίσως όχι τόσο για το μόδι και την μετατροπή του ελαιόκαρπου σε ελαιόλαδο, όσο για τη μετατροπή της θεωρητικής (σχολικής) γνώσης σε χρήσιμη πρακτική εφαρμογή.

Το βέβαιο είναι πως γηράσκω αεί διδασκομένη.

(*)ντέμπλα ή δέμπλα λέγεται η βέργα με την οποία ραβδίζουν τα κλαδιά του δέντρου, για να πέσουν οι καρποί της ελιάς.

Η φωτογραφία είναι από τα Βιολογικά Ελαιοκτήματα της Ι. Ζούρου, όπου παρακολούθησα μια μέρα τη συγκομιδή και κατέγραψα στιγμές με το φακό... 

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας

Ποιος ξέρει πόση ώρα ήταν στο παράθυρο μέχρι να τα πάρω είδηση! Δυο μικρά κεφαλάκια, καστανό σκούρο το ένα, ανοιχτό το άλλο, ανάμεσα στα κρεμασμένα χέρια που έσφιγγαν τα ψηλά κάγκελα. Δεν πρόλαβα να σκεφτώ αν θα μιλήσω αυστηρά ή αν θα αφήσω την τρυφερότητα να με κατακλύσει, όταν μίλησε αυτό με το ανοιχτό μαλλί: «Μάθημα κάνετε;»

«Ναι! Θέλετε να ΄ρθείτε;», απάντησα. Μην τα είδατε. Εξαφανίστηκαν στη στιγμή.

«Σιγά μην αφήσουν τη μπάλα για το μάθημα», σχολίασα στους μαθητές και τις μαθήτριές μου, που φέτος είναι μεγάλοι άνθρωποι.

Πιάστηκα να ολοκληρώσω την επανάληψη του χθεσινού  μαθήματος, μόλις είχαμε μπει στην αίθουσα και καλά καλά δεν είχαμε αρχίσει ακόμη, οπότε γύρισα στον πίνακα να σημειώσω στα γρήγορα ό,τι είχαμε πει την προηγουμένη.

Φαίνεται πως με απορρόφησαν όσα σχεδίαζα στον πίνακα –ο κύκλος πάντα με ταξιδεύει- και δεν άκουσα την πόρτα. Όταν γύρισα ξανά προς την τάξη, είδα τα δυο αγόρια να κάθονται φρόνιμα φρόνιμα στο πρώτο θρανίο. Χέρια σταυρωμένα και λαιμοί γυρτοί μπροστά, σε στάση απόλυτης προσήλωσης στο δάσκαλο. Προς στιγμήν μου φάνηκε πως με περιγελούν, τέτοια λάμψη που είχαν τα μάτιά τους. 

«Πότε μπήκατε;», ρώτησα αυθόρμητα και αμέσως συνέχισα «Είσαστε σίγουροι πως προτιμάτε το μάθημα από τη μπάλα;».  Άχνα.  

«Δεν θέλετε να πάτε καλύτερα να παίξετε με τους φίλους σας στην αυλή;» Και πάλι άχνα.

Στην αυλή του νεοκλασικού που στεγάζει το Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας, όπου διδάσκω φέτος, κάθε απόγευμα ένα τσούρμο πιτσιρίκια τρέχουν πίσω από τη μπάλα, κλωτσώντας και φωνασκώντας, ενίοτε μάλιστα χρησιμοποιούν λεξιλόγιο που θα το ζήλευαν και ορκισμένοι αθυρόστομοι. Συχνά αναγκαζόμαστε να κλείσουμε τα παράθυρα για να περιορίσουμε τη φασαρία που φτάνει στις ψηλοτάβανες αίθουσες και πολλαπλασιάζεται. Ανοίγουμε τότε τις εσωτερικές πόρτες, μη σκάσουμε κιόλας με τη ζέστη που ακόμη καλά κρατεί, ευτυχώς.

Τα ξαναρώτησα «Είσαστε σίγουροι πως προτιμάτε να κάνετε μάθημα;». 

Ήταν σίγουροι. Δεν κουνήθηκαν από τη θέση τους. 

«Καλά, μείνετε εδώ, αλλά όποτε κουραστείτε να βγείτε σιγά σιγά έξω, εντάξει;».

Κούνησαν καταφατικά τα κεφαλάκια τους. Παιδιά πρώτης Γυμνασίου και τα δυο. 

«Αυτή είναι η αίθουσά μου», είπε το ένα περήφανα, «Το Α2! Αυτός δεν είναι εδώ, είναι σε άλλο τμήμα!», συμπλήρωσε δείχνοντας τον φίλο του. 

«Σε ποιο τμήμα είσαι εσύ;», ρώτησα τον λιγότερο ομιλητικό. «Στο Α3. Μαθηματικά κάνετε;». «Ναι, Μαθηματικά. Σας αρέσουν;» Τους αρέσουν. 

«Ποιο μάθημα δεν σας αρέσει;», ρώτησα. «Η Οδύσσεια!», απάντησαν με μια φωνή. 

Θα μπορούσα να μιλάω μαζί τους για ώρα, σε μια προσπάθεια να αποκαταστήσω το κύρος του Οδυσσέα, όφειλα όμως να συνεχίσω το μάθημα και να ολοκληρώσω τη διαδικασία της επανάληψης, για να κάνουμε και τις ασκησούλες.

Τα δυο αγόρια, όσο εγώ αγόρευα, κάθονταν εκεί και παρακολουθούσαν με προσοχή. Κάποια στιγμή το ένα με διόρθωσε: «Με έψιλον γιώτα δεν γράφεται το «βρεθεί»;» 

«Ναι! Με έψιλον γιώτα γράφεται», απάντησα, «Τα γράφω λίγο κολλητά και μοιάζει με το ήτα, αλλά είναι έψιλον γιώτα», απολογήθηκα... 

Είχε ολοκληρωθεί η επανάληψη και οι ενήλικοι μαθητές μου εφάρμοζαν τον τύπο για να βρουν το  μήκος του κύκλου, όταν τα δυο μικρά άρχισαν να γυρίζουν μπρος πίσω. «Θα βαρέθηκαν», σκέφτηκα, αλλά αυτά ζητούσαν χαρτί και μολύβι από τους άλλους, για να κάνουν τους υπολογισμούς. Φιλοτιμήθηκαν όλοι να τους δώσουν, αλλά πρότεινα να σηκωθούν στον πίνακα. Και τα δυο μαζί, πλάι πλάι ξεκίνησαν να πολλαπλασιάζουν τη διάμετρο του κύκλου με το 3,14... Δυσκολεύονταν!

Ε, δεν το λες κι εύκολο πράγμα τον πολλαπλασιασμό με δεκαδικούς σήμερα που όλα τα κάνουν οι μηχανές. Τέλος πάντων.

Βοήθησα λίγο, αλλά δεν ήθελα σε καμιά περίπτωση να τα αποθαρρύνω. Με ποιο δικαίωμα άλλωστε; Δυο πρωτάκια που άφησαν πίσω την αυλή και το ποδόσφαιρο, για να συγχνωτιστούν με τους μεγάλους, να ακούσουν για ακτίνες, για χορδές, για διαμέτρους. Δυο παιδιά που ζητούν από μόνα τους να κάνουν τους υπολογισμούς, αντί να κλωτσούν τη στρογγυλή θεά στην αυλή! Έπαθλο τους αξίζει, όχι αποπομπή!

«Κάντε τους υπολογισμούς με το κινητό!», είπα στους μεγάλους, που επίσης δεν τα καταφέρνουν σε τέτοιες πράξεις. «Δεν υπάρχει λόγος να χάνετε το χρόνο σας, στον πολλαπλασιασμό...». 

Ενθουσιάστηκαν τα πιτσιρίκια! «Έτσι πρέπει να κάνουμε και στο σχολείο...», σχολίασαν.

Όταν χτύπησε το κουδούνι, όπως πάντα, κανείς σχεδόν δεν κουνήθηκε. Οι δυο μικροί επισκέπτες, παρασυρμένοι από τη δική τους παιδική-σχολική συνήθεια σηκώθηκαν αμέσως να φύγουν. Κοντοστάθηκαν όμως στην πόρτα. 

«Θα έχετε και αύριο μάθημα;», ρώτησαν! 

«Ναι, θα έχουμε; Θέλετε να ξανάρθετε;». Ήθελαν. Τι να πω;

«Ε, ναι, ξέρετε, δεν ξέρω αν επιτρέπεται όμως...». Συνοφρυώθηκαν. Έσκυψαν λίγο τα κεφάλια, το σκούρο κομμάτι περισσότερο. 

«Καλά, να ρωτήσουμε τον διευθυντή...», συμπλήρωσα, για να μη φανεί πως τα διώχνω από το μάθημα. Πώς θα μπορούσα άλλωστε;

Και πώς θα μπορούσα να κρατήσω για μένα αυτήν την φοβερή εμπειρία που βίωσα σήμερα;

Όπως κρατώ και όλες τις άλλες, θα μου πείτε, αυτές που δεν γράφω στο ιστολόγιο τόσον καιρό που διδάσκω στο Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας...

Τις γράφω όμως. Και κάποια στιγμή, θα έχω την ευκαιρία να τις μοιραστώ! 

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας είναι αυτό!

"Μια όμορφη σχέση..."

Ενώ βρίσκομαι εν αναμονή της υπουργικής απόφασης για την απόσπασή μου, μπαίνω -όπως προβλέπεται- καθημερινά στα τμήματα και κάνω κανονικά το μάθημά μου. Γνωρίζοντας όμως ότι τα παιδιά που έχω απέναντί μου είναι προσωρινοί μόνο  μαθητές μου κι ότι άμεσα θα αντικατασταθώ από άλλον μαθηματικό, προσπαθώ να αξιοποιήσω τις συναντήσεις μας με τον καλύτερο δυνατό τρόπο, γι' αυτό επιχειρώ ελαφρώς διαφοροποιημένες προσεγγίσεις και  κάποιες "γενικευμένες" διδασκαλίες. 

Ειδικά στην Α' Γυμνασίου έδειξα υπερβολικό ζήλο και τόλμη, αφού δεν δίστασα από την πρώτη στιγμή να τους μιλήσω για τις "μαθηματικές έννοιες" και τις "μαθηματικές διαδικασίες" και να τους εξηγήσω ότι πρέπει να τις διακρίνουν και συνειδητά να τις αντιμετωπίζουν με τον έναν ή τον άλλον τρόπο, αντίστοιχα. Δυσκολεύονταν τα μικρούλια μου να πιάσουν όλα όσο έλεγα, αλλά υπήρξαν ανάμεσά τους αρκετά που ανταποκρίθηκαν στο κάλεσμά μου, που επικοινώνησαν μαζί μου, που έφεραν τα παραδείγματα που ζήτησα ως εργασία στο σπίτι, όμορφα και σωστά γραμμένα κλπ κλπ. 

Βέβαια, υπήρξε και ένα ποσοστό που φάνηκε να απέχει πολύ από αυτό που εννοούμε λέγοντας "κατανόηση του μαθήματος". Γι' αυτούς τους δεύτερους, για να μη χάσουν κάθε ενδιαφέρον για το μάθημα των Μαθηματικών, ακόμη δεν πάτησαν το πόδι τους στο Γυμνάσιο, αποφάσισα να επανέλθω στη ... συμβατικότητα της διδασκαλίας. Δύσκολο πράγμα να ρυθμίζει ο δάσκαλος τα επίπεδα δυσκολίας ή/και ευκολίας του μαθήματος στις τάξεις, που η συμπερίληψη έχει καταστήσει πιο ανομοιογενείς από κάθε προηγούμενη φορά.

Εν πάση περιπτώσει, έπιασα τελικά το βιβλίο και μάλιστα, παρόλο που οι τρεις πρώτες παράγραφοι σύμφωνα με τις οδηγίες δεν διδάσκονται, ξεκίνησα από τις πράξεις των φυσικών αριθμών, για να δώσω την απαραίτητη "ορολογία" και να διασφαλίσω πως όλοι θα μιλάμε την ίδια γλώσσα και θα επικοινωνούμε σε έναν ικανοποιητικό βαθμό.

Σήμερα, σε μια προσπάθεια διερεύνησης του βαθμού επίτευξης των στόχων μου, ζήτησα από τα δύο τμήματα της Α' Γυμνασίου, που είχα στο πρόγραμμα, να συμπληρώσουν με μολύβι την άσκηση στη σελίδα 17 του σχολικού. Τους έδωσα 4 λεπτά και 32 δεύτερα, για να σκεφτούν και μετά αρχίσαμε να συζητάμε τις απαντήσεις.

Τα πράγματα πήγαιναν καλά, μέχρι που φτάσαμε στην πρόταση (ε), που λέει:

Σε μια αφαίρεση οι αριθμοί Μ, Α και Δ συνδέονται με τη σχέση..................................................

Το πρώτο παιδί που απάντησε, είπε: φυσικοί αριθμοί

Το δεύτερο είπε: αφαίρεση

Μετά έπεσε σιωπή!

Έγινε αμέσως κατανοητό πως κάτι δεν πήγαινε καλά. 

Ζήτησα από την τάξη κι άλλες απαντήσεις, τους παρότρυνα. Τίποτε. Η απόλυτη σιωπή.

Κατάλαβα τι ήταν αυτό που δεν κατάλαβαν! Και μήπως ήταν εύκολο; 

Πόσοι αλήθεια καταλαβαίνουν τι σημαίνει "σχέση";!

Το έπιασα από την αρχή. Έγραψα στον πίνακα Μ, Α, Δ, το ένα κάτω από το άλλο και ζήτησα να μου πουν τι συμβολίζουν αυτά τα γράμματα. Σε κάθε τμήμα βρέθηκε τουλάχιστον ένας να απαντήσει: Μειωτέος, Αφαιρετέος, Διαφορά! Πάει καλά.

"Βεβαίως, ΜΑΔ, αν το βλέπαμε ας πούμε γραμμένο πάνω σε ένα περιπολικό, θα μπορούσε να σημαίνει "μονάδα άμεσης δράσης"", είπα και εξήγησα πως τα σύμβολα και, κατ' επέκταση οι λέξεις, αποκτούν νόημα μέσα σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο, είπα κι άλλα παραδείγματα, αλλά απέφυγα την οποιαδήποτε αναφορά στις ΜΑΔ, για ευνόητους λόγους...

Όταν μου φάνηκε πως κατάλαβαν τι σημαίνει νοηματοδότηση συμβόλων σε σχέση με το πλαίσιο, στο οποίο αυτές αναφέρονται, επέστρεψα στο επίμαχο σημείο: στη σχέση!

"Τι σχέσεις μπορούν να έχουν οι αριθμοί μεταξύ τους;", ρώτησα κι επειδή στα βλέματα η απορία ήταν έκδηλη, ανέφερα κάτι απλούστερο: τις σχέσεις των ανθρώπων. 

"Οι άνθρωποι έχουν διάφορες σχέσεις μεταξύ τους. Είναι αδέλφια, φίλοι, κουμπάροι, γείτονες, φίλοι, εχθροί... Οι αριθμοί τι σχέσεις έχουν μεταξύ τους;"

Σιγά σιγά το τοπίο άρχισε να ξεκαθαρίζει. 

Οι σχέσεις των αριθμών δεν είναι όπως των ανθρώπων. Είναι απλές. Και σταθερές. Το 3 είναι μικρότερο από το 5 και το 3+2 είναι  ίσο με το 5. Πάντα. Οι αριθμοί είναι αυτοί που είναι. Και οι σχέσεις τους, επίσης. Δεν είναι όπως είναι οι άνθρωποι. Ευμετάβλητοι. Και ασταθείς. Και οι σχέσεις τους, επίσης. Αλλάζουν από τη μια στιγμή στην άλλη και οι φίλοι γίνονται εχθροί και οι εχθροί φίλοι, τα αδέλφια χάνονται και ξαναβρίσκονται, τα ζευγάρια χωρίζουν και ξανασμίγουν... 

Αυτά δεν τα είπα στα παιδιά. Μόνη μου τα σκεφτόμουν, ενώ ζητούσα να βρουν σχέσεις που συνδέουν τους αριθμούς 2, 3 και 5 ή τους αριθμούς 4 και 10. 

Και σιγά σιγά άρχισαν να καταλαβαίνουν και να απαντούν και να συμμετέχουν.

Και τέλειωσα το μάθημα, αλλά το κουδούνι αργούσε. 

"Γράψτε τώρα εσείς δύο σχέσεις", είπα.

"Για να δω ποιος θα γράψει την πιο όμορφη σχέση!", συνέχισα κι άρχισα να περιφέρομαι από πάνω τους. 

"Μια σχέση θέλετε τελικά ή δύο;", ρώτησαν καναδυο που η τελευταία μου πρόταση φαίνεται πως τους μπέρδεψε.

"Δύο", απάντησα. "Να γράψετε δύο. Κι εγώ θα δω ποια είναι η πιο όμορφη..."

Και πράγματι έγραψαν πολλά και διάφορα. Χρησιμοποίησαν ισότητες, ανισότητες, το διάφορο και ούτε ένα παιδί, ούτε μισό, δεν έμεινε αδιάφορο...

Τόσο όμορφες ήταν οι σχέσεις στο μάθημα σήμερα.

Κι έτσι θα ήθελα να ήτανε πάντα...

Οι προσεγγίσεις του π...επί των "αλγεβρικών" τύπων των ήλων...

Το μάθημα-πείραμα με τα καπάκια και τα νήματα για τον προσδιορισμό του π, που έκανα την τελευταία εβδομάδα πριν από τις διακοπές του Πάσχα, ήταν μια ενδιαφέρουσα εμπειρία και μου προκάλεσε πλείστα ερωτήματα γύρω από το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών του Γυμνασίου. Αμφισβήτησα, για πολλοστή φορά, τις μεθόδους και τις πρακτικές που υιοθετώ, εγώ η ίδια, για να διδάξω στα παιδιά μου αυτά που το ΙΕΠ μου ζητά να διδάξω... 

Φυσικά, μιλώ για  τα παιδιά που διδάσκω τώρα, τα οποία σε ένα μεγάλο ποσοστό -για διάφορους λόγους- αδυνατούν να χρησιμοποιήσουν σωστά την ελληνική γλώσσα, πόσο μάλλον να την κατανοήσουν σε βάθος ή έστω στο βάθος εκείνο που απαιτεί η τυπική-φορμαλιστική διδασκαλία των Σχολικών Μαθηματικών.  

Για το μάθημα στα δύο πρώτα τμήματα έχω ήδη γράψει, εδώ "Τα κα"π"άκια και το π" .

Τώρα θέλω να αναφέρω τι έγινε στο τρίτο τμήμα που σε γενικές και σε ειδικές γραμμές ... έπεται των δύο πρώτων. 

Ακολούθησα το ίδιο σχέδιο μαθήματος. Με την ελάχιστη δυνατή αναφορά σε μαθηματικές-γεωμετρικές έννοιες, μοίρασα καπάκια, νήματα και χαράκια και ζήτησα να βρουν πόσο βγάζει η διαίρεση της περιμέτρου προς τη διάμετρο του καπακιού.

Αυτή τη φορά όμως, λίγο επειδή είχα την εμπειρία από τα δύο προηγούμενα τμήματα, λίγο επειδή το συγκεκριμένο τμήμα χρειάζεται περισσότερη υποστήριξη και, τέλος, επειδή ο e-φίλος, Γιάννης Μιχαηλίδης, με αφορμή την προηγούμενη ανάρτηση ρώτησε τι τιμές βρήκαν για το π τα παιδιά μου, αποφάσισα να αφιερώσω περισσότερο χρόνο σ' αυτό το ερώτημα. Σήκωσα ένα παιδί στον πίνακα και κατέγραψε όλες τις τιμές που είχαν βρει οι υπόλοιποι. Σ' αυτό το τμήμα οι αποκλίσεις ήταν πολύ μεγαλύτερες. Επιπλέον, κανένας δεν ανέφερε ότι το π είναι ίσο με 3,14, αλλά ούτε με ρώτησε πόσο θα έπρεπε να βρουν. Αντιθέτως, έδειχναν όλοι πολύ ικανοποιημένοι από την τιμή που είχαν βρει, παρόλο που ήταν διαφορετική από του διπλανού τους.

Για κάποια κλάσματα του δευτερολέπτου, ειλικρινά, δεν ήξερα πώς να διαχειριστώ αυτήν την μακαριότητα των πτωχών μαθητών μου... Φαίνονταν τόσο ευτυχείς με την επιτυχία τους! Έλαμπαν ολόκληροι που είχαν φέρει εις πέρας την αποστολή τους.

Τέλος, πήρα ένα μαρκαδόρο, πήγα στον πίνακα και κύκλωσα το 3, όπου αυτό εμφανιζόταν στα αποτελέσματα, που είχαν καταγραφεί. 

"Η τιμή 3 είναι η καλύτερη προσέγγιση", είπα, χωρίς καν να αναρωτηθώ αν οι μαθητές μου καταλαβαίνουν τι σημαίνει "προσέγγιση". 

Ένας δύο φάνηκαν να αναδιπλώνονται. 

"Δηλαδή, τόσο έπρεπε να βρούμε όλοι, κυρία;", με ρώτησαν.

Δεν πρόλαβα να απαντήσω όταν ο Δ. άνοιξε ένα ανέλπιστο παράθυρο...

"Αλλά, γιατί να βρούμε όλοι το ίδιο, κυρία! Αφού τα καπάκιά μας δεν είναι όλα ίδια!".

Δίκαιο είχε. Σκοπίμως είχα φροντίσει να υπάρχουν καπάκια τουλάχιστον τεσσάρων διαφορετικών μεγεθών. Αυτό είχε συμβεί και στα προηγούμενα τμήματα, αλλά εκεί κανένας δεν θεώρησε πως οι διαφορετικές διάμετροι των καπακιών θα οδηγούσαν σε διαφορετικά αποτελέσματα. Ίσως η πρότερη γνώση να απέκλεισε μια τέτοια ... εύλογη απορία!
Σ' αυτό το τμήμα όμως, των σε γενικές γραμμές ακατέργαστων ως προς τις μαθηματικές έννοιες παιδιών κάθε ενδεχόμενο αποβαίνει δυνατό!
Ακόμη  ακόμη και η αμφισβήτηση της υπερβατικότητας του π! Αστειεύομαι, βέβαια...
Σε ένα τόσο "παρθένο" περιβάλλον ο δάσκαλος συχνά βιώνει εκείνη την... πνευματική αγωνία που βίωσε το ανθρώπινο είδος μέχρι να φτάσει τη σκέψη του εδώ που την έφτασε!  

Πιθανόν, φίλε Γιάννη, στο Δημοτικό αυτό να είναι το σύνηθες. Στο Γυμνάσιο όμως, όσο να 'ναι, υπάρχει ένα -έστω και "σαθρό"- γνωστικό υπόβαθρο, που περιορίζει ως ένα βαθμό αυτήν την πρωτόγονη άγνοια, τη γνήσια απορία, του ανθρώπινου μυαλού.
Οπότε, στο συγκεκριμένο τμήμα έχω την τύχη να συναντώ τέτοιες ενδιαφέρουσες καταστάσεις, από τις οποίες πάντα κάτι μαθαίνω. Επιβεβαιώνω το πώς θα σκεφτούν τα παιδιά μου, ακόμη και όταν το περιμένω, όπως για παράδειγμα, με τα διαφορετικού μεγέθους καπάκια, που όμως στα δύο άλλα τμήματα δεν προκάλεσαν καμια αντίδραση, ενώ σ' αυτό, το στερνό, η συζήτηση που έγινε παρουσίασε ιδιαίτερο εκπαιδευτικό και διδακτικό ενδιαφέρον.

.

Βέβαια, οφείλω να πω ότι το μάθημα συνήθως δεν περιορίζεται από το επίπεδο των μαθητών. Αντιθέτως, το ωσάν tabula rasa μυαλό τους, ολοένα και μου γεννά την επιθυμία να διερευνήσω το τι βλέπουν και τι καταλαβαίνουν, ώστε να προσπαθήσω να οδηγήσω όσο το δυνατόν πιο σωστά τη σκέψη τους...

Χθες, για παράδειγμα, πριν προχωρήσω στο εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, όπου σκόπευα να εξηγήσω πώς προκύπτει ο τύπος Ε=πρ^2, πέρασε από το μυαλό μου σαν αστραπή μια σκέψη που ανέκοψε την πορεία μου:
Τι έχουν, άραγε, στο μυαλό τους όταν ακούν τη λέξη "τύπος";

"Τι σημαίνει "τύπος";", ρώτησα και αμέσως έδωσα τις απαραίτητες διευκρινίσεις. 

"Δεν εννοώ αυτό που λέμε "πω πω, ένας ωραίος τύπος, ψηλός, πνευματώδης, με χιούμορ κλπ", εννοώ τι σημαίνει η λέξη τύπος στα Μαθηματικά και στις Θετικές Επιστήμες"

Δυο τρεις σήκωσαν το χέρι, για να απαντήσουν, αλλά ήθελα να έχω μια πληρέστερη εικόνα.

"Βγάλτε γρήγορα ένα χαρτί και γράψτε: Στα Μαθηματικά και στις Θετικές Επιστήμες τύπος σημαίνει...... Συμπληρώστε, όπως εσείς το καταλαβαίνετε".

"Να βάλουμε και όνομα, κυρία;", ακούστηκαν οι πιο αγχώδεις. 

"Ναι, να βάλετε. Δεν θα το βαθμολογήσω. Θέλω μόνο να δω πως σκέφτεστε...", απάντησα για να τους καθησυχάσω.

Έγραψαν τα χαρτάκιά τους. Τα διάβασα.  Κάποια, λίγα ευτυχώς, έγραψαν "Δεν ξέρω πως να το εξηγήσω", αρκετά έδωσαν (παρα)δεχτούς ορισμούς και κάποια έγραψαν μόνο ένα παράδειγμα τύπου.  "Τύπος είναι αυτό ω=360/ν". Έστω. Κι έτσι ακόμη, έδειξαν ότι κατανοούν.

Τελικά, το θέμα είναι πως ο κάθε δάσκαλος που καλείται να διδάξει ... τυπολογώντας τα Μαθηματικά,  οφείλει πότε πότε να βάζει το δάχτυλο στα σημάδια που αφήνουν ... τα καρφιά.

Καλές Διακοπές!

Τα κα"π"άκια και το π!

Το παιχνίδι, με τα έντονα χρώματα και τα πέντε γρανάζια που θυμίζουν λουλούδια, το είδα για πρώτη φορά το πρωί του Σαββάτου στο Εαρινό Σχολείο του ΠΜΣ  Επιστήμες της Αγωγής Διδακτική των Μαθηματικών!

Το έφερε η καθηγήτρια Bartolini Bussi, για το εργραστήρι που ακολούθησε αμέσως μετά την εισήγησή της, το πρωί του Σαββάτου. Στο θεωρητικό μέρος της εισήγησης δεν θα σταθώ, αν και ούτε λίγο ούτε πολύ η κυρία Bussi, που μας επέστησε την προσοχή στον (εσφαλμένο;) τρόπο που ερμηνεύουμε τον Vygotsky, ουσιαστικά ήρθε σε αντίθεση με τον καθηγητή Lerman, τον έτερο εισηγητή του Εαρινού Σχολείου, τον οποίον παρακολουθήσαμε το απόγευμα της Παρασκευής, σε μια πολύ ενδιαφέρουσα ομιλία με τίτλο  "Researching Vygotsky and researhing with Vygotsky in Mathematics Education". Η εισήγηση του με ενθουσίασε, κυριολεκτικά την βρήκα εξαιρετική. Το "Σκέψη και Γλώσσα" του  Vygotsky είναι από τα βιβλία που με έχουν επηρεάσει  και έχουν διαμορφώσει το "διδακτικό" μου προφίλ. Αναμφιβόλως, δηλώνω φαν του μεγάλου Ρώσου ψυχολόγου. 

Ωστόσο, η καθηγήτρια Bartolini Bussi, που αμφισβήτησε ως κάποιον βαθμό τον τρόπο που έχουμε υιοθετήσει τη βιγκοτσιανή θεωρία στην εκπαίδευση, δεν με απογοήτευσε καθόλου. Αντιθέτως, με προβλημάτισε και με έκανε να σκεφτώ, για μιαν ακόμη φορά, κατά πόσο ο τρόπος που οι περισσότεροι από μας διδάσκουμε, ακολουθώντας το μοντέλο: θεωρία-παραδείγματα-ασκήσεις ή παράδοση με ένα φύλλο εργασίας ή μια δραστηριότητα που προτείνει το σχολικό εγχειρίδιο εμπλέκει επαρκώς το μεγαλύτερο ποσοστό των μαθητών μας σε μια διαδικασία αποτελεσματικής μάθησης... 

Το εργαστήριο της κυρίας Bussi, με τη χρήση του "παιχνιδιού" μας έβαλε να σκεφτούμε, να συζητήσουμε, να λειτουργήσουμε όπως περίπου λειτουργούν οι μαθητές μας. Όμως αυτό που είχε ενδιαφέρον ήταν το "μεταγνωστικό" στάδιο της όλης διαδικασίας. Η συζήτηση για το πώς λειτουργήσαμε, πώς αναμένετε να λειτουργήσουν τα παιδιά και πώς μπορεί ο δάσκαλος να εμβαθύνει, να αξιοποιήσει και να χειριστεί σωστά τις αναμενόμενες απαντήσεις των παιδιών ήταν η προστιθέμενη αξία. (Υπάρχει εδώ σχετικό άρθρο για όποιον ενδιαφέρεται να δει πώς λειτουργεί η παδική μηχανή του Pascal και εδώ ένα video).

Χθες βράδυ, μετά από ένα Σαββατοκύριακο γεμάτο με επιμορφώσεις πάσης φύσεως, καθώς εκτός από το Εαρινό Σχολείο συνέπεσε και η συνάντηση της Λέσχης Ανάγνωσης, έπεσα στο κρεβάτι με ένα σωρό ιδέες, άλλες υπό διαμόρφωση και άλλες έτοιμες σαν ώριμα καλοκαιρινά φρούτα... Ήταν τόσες πολλές που δεν μπορούσα να κοιμηθώ. Στριφογύριζα για ώρα, ώσπου σηκώθηκα κι έψαξα στη ντουλάπα να βρω την τσάντα με τα νήματα και τις κλωστές του πλεξίματος.  Διάλαξα ένα κουβάρι και το έβαλα στη σχολική μου τσάντα. 

Τις λίγες ώρες που κατάφερα να κοιμηθώ έβλεπα στον ύπνο μου τον ... Λεβ Βιγκότσκι!

Το πρωί ξεκίνησα το μάθημα με την Γ, αλλά  δεν έβλεπα την ώρα να μπω στη Β'. 

Στο μεταξύ διάλεξα μερικά πλαστικά καπάκια από τη συλλογή μας, πήρα την τσάντα με τα γεωμετρικά όργανα (που αναγκαστικά κουβαλώ στο μάθημα, επειδή τα περισσότερα παιδιά ξεχνούν να φέρουν τα δικά τους, αλλά γι' αυτό δεν φταίνε τα παιδιά, φταίμε εμείς οι ενήλικες που ανεχόμαστε και συγχωρούμε σχεδόν τα πάντα... Μεγάλο θέμα, απαιτεί σοβαρή συζήτηση, αλλά δεν είναι της ώρας.)

Δυστυχώς, είχαμε προγραμματισμένη σύντομη "γραπτή-προφορική" εξέταση κι έτσι δεν μπορέσαμε από την αρχή να επιδοθούμε στην χειραπτική μας εργασία και να "ξετυλίξουμε" στη συνέχεια επαρκώς τη θεωρία, αλλά και την ιστορία, πίσω από την μαθηματική έννοια που επρόκειτο να προσεγγίσουμε με νήμα, καπάκι, χαράκι, μολύβι και χαρτί...

Το μήκος του κύκλου ήταν προς παράδοση σήμερα. 

Μετά τη σύντομη γραπτή εξέταση, μοίρασα τα απαραίτητα εργαλεία στα θρανία, αφού πρώτα εξήγησα ποιο ακριβώς ήταν το ζητούμενο.

"Θέλω να μετρήσετε τη διάμετρο της κυκλικής επιφάνειας του καπακιού. Μετά, χρησιμοποιώντας την κλωστή, να μετρήσετε το γύρω γύρω του καπακιού. Και στο τέλος να κάνετε διαίρεση το μήκος του γύρω γύρω προς τη διάμετρο..."

Επέμενα να λέω το "γύρω γύρω" και όχι περίμετρο, επί τούτου, αλλά κάποιοι μαθητές με διόρθωσαν... Προσπαθούσα να μην τους "φορτώσω" με περισσότερες μαθηματικές έννοιες από όσες ήταν απαραίτητες, για να λειτουργήσουν όλοι όσο το δυνατόν πιο αυθόρμητα, αποβάλλοντας το σφίξιμο που νιώθουν κάποιοι και μόνο που βλέπουν στο πρόγραμμα "Μαθηματικά"! Και φάνηκε πως το πέτυχα. Άρχισαν τις μετρήσεις. Τύλιγαν, ξετύλιγαν.

Πήρα κι εγώ ένα καπάκι, λίγη κλωστή, ένα χαράκι και έκανα τις μετρήσεις μου.  Τις έγραψα στον πίνακα.

"Πόσο βρήκατε;" ρώτησα. Άρχισαν να απαντούν. Ο καθένας τα δικά του...

Δύσκολο πράγμα η μέτρηση!

"Πόσο θα έπρεπε να βρούμε, κυρία;", άρχισαν σιγά σιγά να ρωτούν, ενώ το ενδιαφέρον και των πλέον αδιάφορων εκδηλώθηκε γνήσιο. 

Ενθουσιάστηκα μαζί τους!

"3,14 δεν θα έπρεπε να βρούμε;", ρώτησαν κανά δυο που η όλη διαδικασία τους έφερε στο μυαλό  προηγούμενες γνώσεις. 

Μου δόθηκε η ευκαιρία να τους μιλήσω, εν τάχει, για τις διάφορες προσεγγίσεις του π από την αρχαιότητα με αναφορά στη Βίβλο, όπου το π εκλαμβάνεται ίσο με 3 και φυσικά στην προσέγγιση του Αρχιμήδη, π=22/3.

Ο χρόνος του μαθήματος είναι λίγος. Τα παιδιά που για διάφορους λόγους δυσκολεύονται ή "αδιαφορούν" είναι πολλά. Το τυπικό μάθημα των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο είναι αναποτελεσματικό στα παιδιά ... "χαμηλού υποβάθρου", που κατακλύζουν τις τάξεις μας.

Οι οθόνες και η χρήση ΤΠΕ δεν ενισχύει το ενδιαφέρον στο βαθμό που περιμέναμε...

Η ανάγκη για αναζήτηση νέων μεθόδων και πρακτικών είναι μεγαλύτερη από ποτέ. 

Έτσι αισθάνομαι εδώ και πολύ καιρό, γι' αυτό ψάχνω τι φταίει, αλλά και τι μπορώ...

--------------------------------

Αγαπητή Μανουέλα, χρόνο δεν είχω για περισσότερα, αλλά ήθελα -αφού το ζήτησες- να σου μεταφέρω με δυο λόγια όχι μόνο το τι έκανα σήμερα στην τάξη, αλλά τι ήταν αυτό που με ώθησε να το κάνω...

Εύχομαι δύναμη και ... έμπνευση, γιατί τη χρειαζόμαστε κι εμείς και τα παιδιά μας

Η δικαίωση ήρθε από την Κέρκυρα! :)

Όταν σχολάω στο εξάωρο μου παίρνει λίγο χρόνο να συμμαζέψω τα συρτάρια στο γραφείο μου! Βάλε βγάλε βιαστικά τα βιβλία και τις σημειώσεις πηγαίνοντας από τη μια τάξη στην άλλη, ειδικά τις μέρες που έχω εφημερία και τρέχω πάνω κάτω, ισόγειο-δεύτερος όροφος και τούμπαλιν, από το πρωί μέχρι το μεσημέρι η εντροπία έχει κάνει το θαύμα της! Κι επειδή την επομένη θα ψάχνω και δεν θα βρίσκω αν τα αφήσω έτσι όπως μπερδεύτηκαν, κάθομαι και διαχωρίζω τα πράσινα από τα κίτρινα. Βιβλία, φάκελοι, τετράδια, πράσινα της Β', κίτρινα της Γ', αντίστοιχα. Στο μεταξύ η ώρα περνάει, με αποτέλεσμα όταν φεύγω στη διαδρομή από το σχολείο στο σπίτι να πέφτω πάνω στο ποτάμι των μαθητών που σχολάει από τα τρία σχολεία, που βρίσκονται διαμετρικά σπαρμένα γύρω από το σπίτι μου. Τα παιδιά, σχολώντας την έβδομη ώρα, κατακλύζουν τους δρόμους, ακριβώς όπως οι γιαγιάδες στο σχόλασμα της εκκλησίας! Γίνονται μια σχεδόν συμπαγής μάζα και δεν αφήνουν το αυτοκίνητο να περάσει. Έτσι, αναγκαστικά ακινητοποιούμαι στη μέση του δρόμου, εκατό διακόσια μέτρα από το σπίτι μου και περιμένω τα πηγαδάκια των μαθητών να μετακινηθούν με την ταχύτητα που κυλά τα νερά του ο Νείλος κατά τις περιόδους της ανομβρίας. Όση ώρα μένω έτσι εκγλωβισμένη ανάμεσα στα παιδιά, τα παρατηρώ προσεκτικά, παίζοντας ένα νοητικό παιχνίδι: αντιστοιχίζω στο  κάθε παιδί  το όνομα ενός δικού μου παιδιού, επειδή διαπιστώνω ότι του μοιάζει πολύ! Η ομοιότητα μπορεί να αφορά το ντύσιμο, το στυλ, τα φυσικά χαρακτηριστικά, σωματότυπο, μαλλιά κλπ, ή ακόμη και την έκφραση, το βλέμμα, το χαμόγελο! Είμαι σχεδόν πεπεισμένη πως σε κάθε σχολείο τα "μοντέλα" των μαθητών σε γενικές γραμμές επαναλαμβάνονται. Η ζόρικη Ιωάννα, ο Θάνος, ο Γιάννης που αγάπησα,  ο Κωστάκης που αγαπώ φοιτούν ξανά και ξανά στο δικό μου σχολείο και στα γειτονικά!

Τη σκέψη μου αυτήν, δεν την είχα ξαναπεί δημόσια. Και δεν είχα σκοπό να την πω, επειδή δεν φαίνεται να αφορά και να ενδιαφέρει τον κόσμο. 

Όταν όμως τρεις εβδομάδες πριν διάβασα το κείμενο που έγραψε στο mathematica.gr, ο αγαπητός συνάδελφος Γιώργος Ρίζος, η άποψή μου για την επανάληψη των "μαθητικών μοντέλων" σε κάθε σχολείο ενισχύθηκε. Παραθέτω το κείμενο αυτούσιο:

Καλησπέρα σε όλους.

Το Σάββατο βρέθηκα στην πάντα αγαπημένη Θεσσαλονίκη και είχα τη χαρά να συναντήσω φίλους από το mathematica, από την παρέα του υπογείου της Δέλλιου και να συναντήσω επιτέλους από κοντά τον αγαπητό Βαγγέλη Μουρούκο στην ημερίδα του Καλαμαρί. 

Για όλα αυτά θα άξιζε να κάνω το ταξίδι Κέρκυρα - Θεσσαλονίκη - Κέρκυρα ακόμα κι αν ο χρόνος του θα ήταν ο διπλάσιος. Το μόνο που με προβλημάτιζε ήταν το ανιαρό μοναχικό ταξίδι της επιστροφής.

Όμως, την Κυριακή, στο ταξίδι της επιστροφής στην Κέρκυρα με συντρόφεψε το νέο βιβλίο της Κατερίνας Καλφοπούλου που περιγράφει με γλαφυρό τρόπο τις εμπειρίες της συγγραφέως στην πρώτη της επαφή με μαθητές Γυμνασίου μετά από δύο δεκαετίες συναναστροφής με μαθητές Λυκείου. Με την πρώτη ανάγνωση, γιατί θα ακολουθήσουν κι άλλες, κατανοώ αμέσως πόσο δίκιο έχει ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, όταν αναφέρει στον πρόλογό του: "Αν όμως το διαβάσουμε (ξανά και το ξαναξανά-διαβάσουμε), χωρίς προκαταλήψεις, χωρίς αγκυλώσεις, χωρίς φταίει-μόνο-ο-άλλος, θα ανακαλύψουμε μέσα του ιστορίες που όλοι, με τη μια ή την άλλη ιδιότητα ζήσαμε και που τη ζωγράφισε για χάρη μας, νομίζοντας πως φωτογραφίζει μόνο τον εαυτό της, η μοναδική, υπέροχη Κατερίνα".

Έτσι, σήμερα μπαίνοντας στα τμήματα του Γυμνασίου στο οποίο διδάσκω, αντίκριζα τους μαθητές μου με άλλη ματιά. Παρατηρούσα τα παιδιά μας να ανεβοκατεβαίνουν τις σκάλες και να ξεχύνονται στην αυλή "σαν ένα μελίσσι που ορμά στη γύρη...". Τα τελευταία δώδεκα χρόνια, συνειδητά και εθελοντικά εργάζομαι σε Γυμνάσιο, της γειτονιάς μου. Βλέπω τους μαθητές μου καθημερινά "παλιούς" και τωρινούς πρωί κι απόγευμα. Κι όμως από σήμερα προσπαθούσα να δω πιο βαθιά μέσα τους, να διαβάσω τις σκέψεις που πολλές φορές κρύβουν κάποια παιδιά πίσω από ένα βαριεστημένο βλέμμα, άλλα με ένα θυμό ζωγραφισμένο στο πρόσωπό τους, άλλα με ένα βλέμμα προσδοκίας και ανυπομονησίας κι άλλα με ένα ύφος που ζητά απελπισμένα τον οίκτο μας, να μην τους ζορίσουμε άλλο, (εις μάτην βέβαια...). Παρατηρώντας τα άρχισα να υποψιάζομαι ότι οι μαθητές της Κατερίνας έχουν συγγενείς με πανομοιότυπο DNA και στο σχολείο όπου εργάζομαι. Και "ζόρικη Ιωάννα" έχουμε και Κωστάκη έχουμε και Θάνο έχουμε... Απλά, άλλο πράγμα είναι το να βλέπεις κάτι, άλλο να το παρατηρείς κι άλλο να το κατανοείς! Μάς έλεγαν στα ΠΕΚ ότι για να κατανοήσεις τα παιδιά, χρειάζεται να έχεις διαβάσει καλά βιβλία "παιδαγωγικής".

Ελπίζοντας να μην χαρακτηριστώ ψυχαναγκαστικός, ταξινόμησα το βιβλίο στο (φτωχό έτσι κι αλλιώς) ράφι μου των βιβλίων "παιδαγωγικής", χαρακτηρίζοντας το ως προαπαιτούμενο εγχειρίδιο εφαρμοσμένης παιδαγωγικής.

Εύχομαι να είναι καλοτάξιδο!

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=6&t=63979

Από τη μέρα που διάβασα την ανάρτηση του Γιώργου, για την οποία τον ευχαριστώ από καρδιάς, κάτι μέσα μου άλλαξε. Στην ούτως ή άλλως σκωπτική μου διάθεση όσο χρόνο ακινητοποιημένη παρατηρώ τους μαθητές και τις μαθήτριες των όμορων σχολείων την ώρα του σχολάσματος προστέθηκε μια νέα συνιστώσα: μια φωνή στο κεφάλι μου που φροντίζει για τη μουσική επένδυση της παρατήρησης μου τραγουδά ηχηρά - και ολίγον τι φάλτσα - το τραγούδι: 

Κέρκυρα Κέρκυρα με το Ποντικονήσι/Με τα καντούνια τα στενά, που τα' χω σεργιανίσει...

Πράγματι, όταν διάβασα στο κείμενο του Γιώργου την εικασία πως οι μαθητές μου έχουν συγγενείς με πανομοιότυπο DNA στο δικό του σχολείο, ένιωσα να δικαιώνομαι.
Φαίνεται πως όχι μόνο στη γειτονία μου, αλλά από τη μια άκρη μέχρι την άλλη, στη στεριανή και στη νησιώτικη Ελλάδα, οι δάσκαλοι διδάσκουμε στα ίδια παιδιά: στον Γιάννη, στον Θάνο, στον Κωστάκη, ..., και στη ζόρικη Ιωάννα! :)

"Τσιμπολογώντας" στο μάθημα των Μαθηματικών...

Η τριγωνομετρία τα τελευταία χρόνια παίζει καθοριστικό ρόλο στα θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων στο μάθημα των Μαθηματικών. Στο μάθημα της Φυσικής ακόμη πιο συχνά. Παρόλα αυτά η διδασκαλία της στο Γυμνάσιο έχει περιοριστεί αλόγιστα, ειδικά δε στη Β' Γυμνασίου, όπου αντικειμενικά η ύλη των Μαθηματικών που έχει απομείνει, μετά τον εξορθολογισμό της ύλης και λίγη είναι και - όπως και σε όλες τις τάξεις - εντελώς αποσπασματική, τσιμπολογήματα από δω και από κει. 

"Μόλις πάω να καταλάβω πώς γίνεται κάτι, αλλάζουμε κεφάλαιο", μου είπε μια μαθήτρια με χαμηλή επίδοση προσφάτως, σε μια κατ' ιδίαν συζήτηση που είχαμε, όταν την κάλεσα, για να διερευνήσω τα βαθύτερα αίτια της χαμηλής της επίδοσης. 

Και είναι πολλά παιδιά που βιώνουν ακριβώς ό,τι βιώνει η συγκεκριμένη μαθήτρια. Απογοήτευση. Πάνω που πάνε να καταλάβουν κάτι, τσουπ, αλλάζουμε κεφάλαιο, πεταγόμαστε σε άλλο θέμα, με μοναδικό σκοπό να τσιμπολογήσουμε λιγάκι κι από κει και στην καλύτερη περίπτωση τα παιδιά παπαγαλίζουν δυο τρεις έννοιες, που τις θυμούνται για λίγο καιρό και μετά τις ξεχνούν, αφού έτσι μετέωρες που υπάρχουν στο κεφάλι τους, καταρρεύουν μια ώρα αρχύτερα. 

Φέτος, στην τριγωνομετρία αφού δίδαξα ό,τι προβλέπεται, δηλαδή τις δύο πρώτες παραγράφους του βιβλίου, έκανα όλα τα προβλήματα της δεύτερης παραγράφου, στην τάξη. Όλα εκτός από αυτό με το μπιλιάρδο. Εν πάση περιπτώσει, υπολογίσαμε την απόσταστη των πλοίων, το ύψος του πύργου, όπως και το ύψος στο οποίο έφτασε ο χαρταετός του Μάκη (ασκήσεις σελ. 141). Την τελευταία μάλιστα τη συνδυάσαμε με το έθιμο της Καθαρής Δευτέρας, κάτι που έφερε στην ατζέντα και το θέμα της παράδοσης. Τα ήθη και τα έθιμα. Θα μου πει κάποιος, μα στο μάθημα των Μαθηματικών μιλάτε για την παράδοση; Ναι, θα απαντήσω. Και στο μάθημα των Μαθηματικών και σε όλα τα μαθήματα, όπου μας δίνεται η ευκαιρία. Οι πολιπολιτισμικές τάξεις το απαιτούν και το ζητούμενο είναι να περάσουμε από την πολυπολιτισμικότητα στη διαπολιτισμικότητα, κάτι που απαιτεί συστηματική δουλειά και σοβαρότητα από όλους μας. Τέλος πάντων, το θέμα μου είναι το τσιμπολόγημα της ύλης και ειδικά στο κεφάλαιο της τριγωνομετρίας της δευτέρας Γυμνασίου. Μετά το τριήμερο της Καθαρής Δευτέρας, κανονικά θα έπρεπε να ξεκινήσω με το επόμενο κεφάλαιο, εξίσου σημαντικό, τη μέτρηση του κύκλου. Κάτι όμως μέσα μου διαμαρτύρονταν έντονα. 

Τελευταία στιγμή αποφάσισα να ενδώσω στην εσωτερική μου φωνή. 

"Πριν περάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο, θέλω να αφιερώσουμε λίγη ώρα στα προβλήματα της σελίδας 155. Είναι εκτός ύλης, αλλά με όσα μέχρι τώρα γνωρίζουμε μπορούμε να τα λύσουμε..."

Αδιαμαρτύρητα άνοιξαν τα βιβλία τους στη σελίδα 155. 

"Ποιο από αυτά τα προβλήματα σας αρέσει; Ποια εικόνα βρίσκετε πιο ωραία;"

Αρκετά παιδιά επέλεξαν την τελευταία. "Shopping Therapy"! Ένας διάλεξε αυτήν της άσκησης 5, επειδή είχε το αεροπλάνο. 

"Ποια είναι πιο...ανοιξιάτικη;", ξαναρώτησα περιμένοντας να καταλήξουν στο πρόβλημα που είχα διαλέξει να λύσουμε. 

"Αυτή με τα πουλιά!", είπαν μερικά παιδιά. 

"Σωστά, εκ πρώτης όψεως είναι αυτή με τα δυο σπουργίτια. Για διαβάστε όμως τον τίτλο της άσκησης. "Σε μια ρώγα από σταφύλι",  άρα σε τι εποχή αναφέρεται;". 

Έγινε η συζήτηση, πότε βγαίνουν τα σταφύλια κι άλλα σχετικά. Στο μεταξύ η φωνή μέσα μου έλεγε κάποιους στίχους ξανά και ξανά.

Καλυμμένες μορφές προσώπων, τραγικές, 

με τη θλίψη κρυμμένη πίσω από ένα μαντήλι.

Κι όμως, τι γέλια τι χαρές, καθώς τρυγούν,

όλοι μαζί σε ένα τσαμπί σταφύλι

Ήθελα να κρατήσω μόνο τα γέλια και τις χαρές για τα παιδιά μου, εκείνη την ώρα.

"Ξέρετε για ποιο λόγο μου αρέσει πολύ αυτό το πρόβλημα;", ρώτησα. Πήρα διάφορες υποθετικές απαντήσεις. Φυσικά, κανένα παιδί δεν μάντεψε ότι μου αρέσει επειδή υπάρχει στο βιβλίο του Λεονάρντο Πιζάνο, του γνωστού Φιμπονάτσι, δηλαδή υπάρχει στο Liber Abbaci. Το βιβλίο του άβακα ή, επί το ορθότερον, το βιβλίο των υπολογισμών. 

Το ίδιο μάθημα το επανέλαβα και στα τρία τμήματα της Β, που διδάσκω.

Το αξιοσημείωτο είναι πως στα δύο τμήματα που ο μέσος όρος είναι ψηλότερος κατά τέσσερις μονάδες από ότι στο τρίτο κανένα παιδί δεν έκανε τη σωστή κίνηση. Αντιθέτως στο τμήμα με την χαμηλότερη επίδοση, τουλάχιστον πέντε παιδιά, αφού διάβασαν το πρόβλημα ανέτρεξαν στο τέλος του βιβλίου για να δουν τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών. Ανάμεσα στους πέντε και δύο με χαμηλότατη επίδοση. Τους είχα δώσει πέντε λεπτά να ασχοληθούν με το πρόβλημα κι όσο τα παιδιά το μελετούσαν είχα καθίσει στην έδρα και τα παρατηρούσα. 

Δεν μπορείτε να φανταστείτε πόση χαρά ένιωσα όταν είδα πως άρχισαν να ψάχνουν το συνημίτονο των 30 και των 60 μοιρών στον πίνακα. 

"Μπράβο! Κάποιοι καταλάβατε πολύ καλά πως θα το αντιμετωπίσετε! Μπράβο σας!", είπα χαρούμενη. Σήκωσαν τα κεφάλια κι άρχισαν να κοιτάζονται μεταξύ τους με απορία.

"Πώς το καταλάβατε, κυρία; Πού ξέρετε τι γράφουμε;",  ρώτησε καχύποπτα κάποιος, δικαίως, επειδή από τη θέση μου δεν έβλεπα τα τετράδιά τους. 

"Έχω κρυφούς καθρέφτες στο ταβάνι...", του απάντησα, γελώντας. Όλοι κοίταξαν διερευνητικά προς τα πάνω.

Σηκώθηκα και έλυσα την άσκηση στον πίνακα, εξηγώντας πως ο λόγος που την κάναμε ήταν για να  εξετάσουμε αν έχουν κατανοήσει στο βαθμό που πρέπει την αξία και τη λειτουργία των τριγωνομετρικών αριθμών που είχαν μάθει. 

Απέφυγα, βέβαια, να τους πω ότι ανάμεσά τους, αυτοί που είχαν λύσει μόνοι τους σωστά όλες τις "υπολογιστικές" ασκήσεις δεν κατάφεραν να λύσουν το πρόβλημα με τα σπουργίτια.

Ωστόσο, για μια ακόμη φορά, διαπίστωσα πως τα "τσιμπολογήματα" που κάνουμε στην ύλη στο Γυμνάσιο, η αδυναμία εμβάθυνσης, η διαισθητική κατά κύριο λόγο προσέγγιση, και η μη ενασχόληση επαρκώς με προβλήματα, διαμορφώνει ψευδή εντύπωση και στα παιδιά και στους καθηγητές για το ποιος είναι "καλός στα Μαθηματικά και ποιος όχι...", με ό,τι κι αν σημαίνει αυτό. 

Η ώρα "χάθηκε", χωρίς να καλύψω το πλάνο. Αυτή η χαμένη ώρα όμως με τα τσιμπολογήματα, ανέδειξε για μιαν ακόμη φορά, πόσο λάθος διδάσκονται τα Μαθηματικά.

"Κάθε σημείο έχει τη δική του ευθεία"

 

Σήμερα το πρωί, το παχύ στρώμα υγρασίας που είχε καλύψει το αυτοκίνητο με ανάγκασε να καθαρίσω τα παράθυρα, για να μπορέσω να οδηγήσω.
Πριν το κάνω όμως, κι ενόσω είχα ακόμη λίγο χρόνο για το σχολείο, μπήκα μέσα και παρατήρησα για λίγα λεπτά τη γειτονιά μου σε τούτη την υδάτινη εκδοχή. Έμοιαζε με εξπρεσιονιστικό πίνακα, όχι μόνο επειδή οι γραμμές ήταν ασαφείς και αλλοιωμένες, αλλά κυρίως επειδή επικρατούσε ένα μελαγχολικό γκρι, ικανό να αποκόπτει από τα μάτια μου την όποια υπολανθάνουσα χαρωπή ακτίνα φωτός. 

"Μα τι στο καλό...", σκέφτηκα, "Φλεβάρης μήνας και δεν έχει βλαστήσει ακόμη ούτε μια απατηλή υπόσχεση;". 

Θυμήθηκα τον περσινό Φλεβάρη! Ζεστό, φωτεινό, λουλουδιασμένο, φορτωμένο από βαριά, ανεκπλήρωτα, πλην πολλά υποσχόμενα, συναισθήματα... Ύστερα θυμήθηκα πως τα συναισθήματα συμβάλλουν στη διαμόρφωση του κόσμου που βλέπουν τα μάτιά μας. Βέβαια, και η αντίληψή μας για τον κόσμο επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό τα συναισθήματά μας. Αλληλεπιδρούν και αλληλοδιαμορφώνονται τα συναισθήματα του ανθρώπου με την αντίληψή του για τον κόσμο, το λένε οι ψυχολόγοι. 

Με αυτές τις σκέψεις καθάρισα τα τζάμια, τουλάχιστον τις επιφάνειες που θα μου επέτρεπαν μιαν ασφαλή οδήγηση, και ξεκίνησα. Στο μεταξύ ο ήλιος άρχισε να ζεσταίνει και οι εξπρεσιονιστικές ακουαρέλες, έδιναν σιγά σιγά τη θέση τους σε φωτεινά ιμπρεσιονιστικά λάδια, που αντανακλούσαν δεκάδες βιαστικά είδωλα ανθρώπων. Όλοι τρέχουν να προλάβουν το χρόνο, τρέχουν να πάρουν το λεωφορείο ή τρέχουν να φτάσουν πριν χτυπήσει  το κουδούνι στο σχολείο... Εγώ όμως δεν βιαζόμουν, επειδή την πρώτη ώρα δεν είχα μάθημα κι έτσι μπορούσα να χαζεύω, να παρατηρώ και να σκέφτομαι. 

Έκανα διάφορες σκέψεις που αφορούσαν κυρίως το σχολείο και τα μύρια προβλήματα που καθημερινά αντιμετωπίζουμε. Μικρά, μεγάλα, σοβαρά, αστεία, επιλύσιμα ή άλυτα. Προβλήματα που επισκιάζουν σε μεγάλο βαθμό τη χαρά που μπορεί να αντλεί ο δάσκαλος όταν δίνεται αποκλειστικά και μόνο στο μάθημά του και ασχολείται κατά βάση με τα δικά του, τα διδακτικά και τα παιδαγωγικά θέματά του. 

Δυστυχώς, όμως, δεν ασχολείται μόνο με αυτά στο σχολείο. Είναι ένα σωρό άλλα πράγματα που κυνηγούν εμάς τους δασκάλους και μας στοιχειώνουν, όπως, για παράδειγμα, η απαίτηση να βάλουμε βαθμό στα προσφυγόπουλα!

"Μα δεν μιλούν ελληνικά!", 

"Μα δεν είναι στην τάξη μου! Είναι στο τμήμα ένταξης την ώρα των Μαθηματικών".

"Δεν τα βλέπω τα παιδιά!". 

Τεράστιο πρόβλημα! Ελπίζω να λυθεί έντιμα. Και ηθικά! 

Δεν μπορώ να βάλω "βαθμό", επειδή πρέπει να βάλω βαθμό.   

"Βάλτε ένα 8", λένε κάποιοι.

"Πώς να το βάλω το 8;", ρωτάω εγώ. "Τι είναι αυτό που θα εκτιμήσω ότι αξίζει 8";

Και, δικαίως, αγανακτώ...

Έφτασα στο σχολείο, άρχισα το μάθημα, με απορρόφησε η διδασκαλία. 

Ο ήλιος ανέβηκε ψηλά, έδειξε 20 βαθμούς το θερμόμετρο! Σε τίποτε δεν θύμιζε το υγρό  ξεκίνημα της μέρας.
Κοίτα να δεις που κι ο φετινός Φλεβάρης θα έχει τις χάρες του. Έτοιμος είναι να φλεβίσει, καλοκαίρι να μυρίσει, η χαρά να πλημμυρίσει...

Μα πού τη βρίσκω τη χαρά, με τούτες τις συνθήκες στο σχολείο, απορώ.

Κι ύστερα κάθομαι και σκέφτομαι πώς πήγε το μάθημα και καταλαβαίνω, γιατί χαίρομαι. 

Σήμερα, ενώ έκανα συναρτήσεις στη Β', έβλεπα μια τον έναν μια τον άλλον να χάνονται ακολουθώντας το βλέμμα τους, στο υπερπέραν, προς την πλευρά του παράθυρου... 

"Αχ, τα έπιασε η Άνοιξη πριν έρθει ακόμη..." σκέφτηκα. Και καθώς κοίταζα τους αφηρημένους και σκεφτόμουν αυτά που σκεφτόμουν ακούω τη φωνή μου να ρωτάει:

"Πόσα σημεία διέρχονται από μια ευθεία;"

Δεν πρόλαβα να συνειδητοποιήσω την ανοησία που ξεστόμισα και να την επαναδιατυπώσω, όταν είδα πολλά χέρια να σηκώνονται. Ακόμη κι οι δυο τρεις που ταξίδευαν νοερά στο ανοιχτό παράθυρο, βιάστηκαν κι αυτοί να σηκώσουν χέρι. 

"Για πείτε...". Με έφαγε η περιέργεια. Είχαν όλοι τους μια απάντηση. 

"Για πες εσύ...", "Για πες κι εσύ...". Κι έλεγαν τα κλασικά: "ένα", "δύο", "άπειρα", "πολλά".

Τους άκουγα εγώ αδιαμαρτύρητα. Κάποια στιγμή δεν άντεξα άλλο. 

"Συγγνώμη, δηλαδή σας αρέσει αυτό που ρώτησα; Το βρίσκετε σωστό;"

Με κοίταξαν απορημένοι. Πήγα και το έγραψα στον πίνακα. Μετά, τους εξήγησα για ποιο λόγο αυτό που ρώτησα  δεν ήταν σωστό. Ύστερα τους ζήτησα να "μαντέψουν" πώς θα έπρεπε να το διατυπώσω σωστά.

Έγραψαν στα τετράδιά τους την ερώτηση που υποτίθεται πως έπρεπε να κάνω.

Αρκετοί έγραψαν: "Πόσες ευθείες διέρχονται από ένα σημείο;". 

Το θεώρησα σωστό αν και δεν ήταν αυτό που είχα προσπαθήσει, αφηρημένη ούσα, να πω. 

Καθώς είχα ξεκινήσει μόλις έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης y=2x, ήθελα να τους ρωτήσω "Πόσες ευθείες διέρχονται από δύο σημεία;", για να τους εξηγήσω ότι αρκούν δυο τιμές, για να κάνουμε τη γραφική παράσταση.  Δεν χρειάζεται δα κανένας τεράστιος πίνακας...

Όμως δεν έχει σημασία τι ήθελα να πω, όσο τι προέκυψε από τις απαντήσεις των παιδιών. Καθώς τις άκουγα προσεκτικά, μου φάνηκε πως στο μυαλό τους τα σημεία του επιπέδου δεν ήταν σταθερά. Τα σημεία διέρχονταν από ευθείες, τέμνονταν, διασταυρώνονταν κι έκαναν ...σημεία και τέρατα! Τους άκουγα και προσπαθούσα να μαντέψω τι ακριβώς φαντάζονταν.

Σχεδόν βεβαιώθηκα πως στο μυαλό τους δεν υπάρχει το "σημείο" με την ευκλείδεια σημασία. Ίσως επειδή στα διάφορα λογισμικά που μαθαίνουν τα σημεία κινούνται στο επίπεδο, αφήνουν ίχνη, χαράζουν γραμμές. Και οι γραμμές σιγά σιγά γεμίζουν το επίπεδο! (Πού είσαι μέγα Hilbert, που το είχες προβλέψει!) 

Οι ευκλείδειες έννοιες στην οθόνη του υπολογιστή έχουν αποκτήσει καινούριες ιδιότητες και η στατικότητα ενός σημείου στο επίπεδο δεν είναι πια καθόλου αυτονόητη. 

Οι εικόνες στο κεφάλι των παιδιών, διαφέρουν τα μάλα από εκείνες στα κεφάλια των (ασπρομάλλιδων) καθηγητών. 

Στο άλλο τμήμα της Β' έκανα πάνω κάτω το ίδιο μάθημα. Δεν διατύπωσα λάθος την ερώτηση. Ήμουν πολύ συγκεντρωμένη. Άλλωστε, είχαμε φτάσει στην 7η ώρα, και η μεσημεριανή πείνα δεν ευνοεί τους σκόπιμους πειραματισμούς ούτε κι όσους τυχαία προκύπτουν, ενίοτε λόγω σαρδάμ ή αφηρημάδας. Ωστόσο, προέκυψαν ενδιαφέρουσες απαντήσεις και στο τμήμα αυτό. Κάποιες μάλιστα εξώθησαν στα όρια την ... φαντασία, όπως για παράδειγμα αυτή:

"Κάθε σημείο έχει τη δική του ευθεία...". 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Το σημείωσα, για να μην το ξεχάσω. Και τώρα επιβάλλεται να το σκεφτώ και να το  ξανακοιτάξω. Τι εικόνα έχει φτιάξει στο μυαλό του αυτό το συγκεκριμένο παιδί; 

Πόσα στρώματα υγρασίας υπάρχουν ανάμεσα σ' αυτά που λέω εγώ και σ' αυτά που καταλαβαίνει αυτό;
Θα ήταν ευχής έργο αν βρίσκαμε τρόπο να άρουμε τις παρανοήσεις στην επικοινωνία, όσο γρήγορα  καθάρίζουμε τα τζάμια μας από την υγρασία...