Ο ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΟΛΟΥΘΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ...

Διδάσκοντας τα Μαθηματικά στην Α' Λυκείου, κάθε χρόνο διαπιστώνω ότι η επίδοση των μαθητών στο σύνόλό τους  είναι πολύ καλύτερη στο 1ο και στο 5ο κεφάλαιο από ότι είναι στα υπόλοιπα. Και αν ακόμη η τελική γραπτή τους επίδοση δεν είναι η καλύτερη, σίγουρα είναι πολύ μεγαλύτερη η συμμετοχή τους στο μάθημα, άρα και η δυνατότητα κατανόησής του, όταν μελετάμε τα συγκεκριμένα κεφάλαια. Πιστεύω ότι αυτή η διαφορά οφείλεται στο γεγονός πως οι Πιθανότητες και οι Πρόοδοι, δηλαδή το 1ο και το 5ο κεφάλαιο αντίστοιχα, δεν έχουν τον όγκο της προαπαιτούμενης γνώσης που έχουν όλα τα υπόλοιπα κεφάλαια, και η οποία γνώση, όταν δεν υπάρχει, δημιουργεί τεράστια...κενά και αντιληπτικά "χάσματα", απενεργοποιώντας μια  μεγάλη μάζα μαθητών την ώρα του μαθήματος, οι οποίοι σταδιακά διαμορφώνουν την πεποίθηση πως  δεν τα καταφέρνουν στα Μαθηματικά με αποτέλεσμα να εγκαταλείπουν κάθε προσπάθεια...Ειδικά μετά από την πρωτοβάθμια παραμετρική εξίσωση και το πρόσημο του τριωνύμου, είναι πολλοί οι μαθητές που, μη μπορώντας να παρακολουθήσουν πλέον, ταμπουρώνονται την ώρα του μαθήματος πίσω από ό,τι βρίσκουν διαθέσιμο σε μια προσπάθεια να περάσουν ... απαρατήρητοι!

Μετά από μια τέτοια μακρά περίοδο ψυχικής ταλαιπωρίας καταλαβαίνει κανείς πόσο απολαυστικό γίνεται το μάθημα όταν μπαίνουμε στο 5ο κεφάλαιο, στις Προόδους, όπου σχεδόν όλα τα χέρια σηκώνονται για να απαντήσουν και (με ελάχιστες εξαιρέσεις) ένας ένας όλοι οι μαθητές ξεταμπουρώνονται, για να πάρουν μέρος στη συζήτηση γύρω από το ερώτημα "είναι αυτή η ακολουθία αριθμών μια Αριθμητική Πρόοδος;"!

Ειδικά χθες στο Α3 το μάθημα ήταν χαράς ευαγγέλια! Είχα κάνει ήδη ένα μάθημα στις ακολουθίες γενικά και είχα σκοπό να συζητήσω την Αριθμητική Πρόοδο, αλλά πριν αρχίσω ρώτησα, όπως πάντα, αν υπήρχαν απορίες από το προηγούμενο μάθημα. Μόνο μια μαθήτρια σήκωσε το χέρι και η απορία που διατύπωσε ήταν: ποια είναι η διαφορά γενικού και αναδρομικού τύπου μιας ακολουθίας. Ρώτησα στην τάξη αν κάποιος ήθελε να απαντήσει και σηκώθηκαν πολλά χέρια, δόθηκαν μερικές εξηγήσεις, άλλες επιτυχείς άλλες λιγότερο, αλλά όλες με καταγεγραμμένη δυσκολία έκφρασης και σαφώς αδιάκριτη χρήση της δομής και της λειτουργίας των εννοιών.

Ωστόσο, η μεγάλη συμμετοχή και το ενδιαφέρον των μαθητών με ώθησε να δοκιμάσω ένα κάπως ... επιστημονικό μάθημα. Έγραψα, λοιπόν, στον πίνακα τη διαφορά γενικού και αναδρομικού τύπου, κάνοντας σαφή διάκριση ανάμεσα στο κριτήριο που χρησιμοποιούσα για αυτή τη διαφορά.

 Ενημέρωσα πως είχα σκοπό να κάνουμε μια πολύ ... επιστημονική προσέγγιση, επειδή είναι όλοι τους εν δυνάμει επιστήμονες, και καθώς το ποσοστό συμμετοχής αύξανε και το κλίμα που διαμορφώθηκε ήταν το πλέον κατάλληλο για μάθηση, άρχισα την παράδοση γράφοντας στον πίνακα τρεις τριάδες αριθμών και ζητώντας να μαντέψουν σε καθεμιά τον επόμενο αριθμό...

  α) 2, 6, 10, ....   β) 2, -1, -4, ..... γ) 2014, 2014, 2014...

Ήθελα να προκύψει αβίαστα ο ορισμός της Αριθμητικής Προόδου, και όντως προέκυψε!

Βρήκαν πως συνέχιζαν οι ακολουθίες, κατανόησαν το πρότυπο δημιουργίας, όρισαν τη διαφορά ω, κατάλαβαν ότι ο ω είναι ένας πραγματικός αριθμός και όλα δούλευαν ρολόι! 

Τέλος, για να επαληθεύσω τον ικανοποιητικό βαθμό κατανόησης της Α.Π. από τους μαθητές, έγραψα στον πίνακα: 

και ρώτησα αν οι αριθμοί αποτελούν Αριθμητική Πρόοδο. Η αλήθεια είναι ότι στη θέα της ρίζας περιορίστηκε αισθητά η συμμετοχή, αλλά όπως και να έχει προέκυψε μια πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση. Ακούστηκε η άποψη ότι οι τρεις παραπάνω αριθμοί δεν αποτελούν όρους Α.Π., επειδή δεν είναι φυσικοί! Έτσι επανήλθε στο προσκήνιο η φύση της διαφοράς ω, το σύνολο από το οποίο παίρνει τιμές, και ξεκαθαρίστηκε, νομίζω, το τοπίο.  Ο Βαλάντης, στο μεταξύ, βρήκε το σωστό λόγο για τον οποίο οι τρεις αριθμοί δεν είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Αποφασίσαμε να αλλάξαμε τον τρίτο όρο, ώστε να προκύψει μια Α.Π., κι έτσι του έσβησα τον συντελεστή! 

Ύστερα αναγκαστικά συνεχίσαμε παρακάτω τρέχοντας, για να καλύψουμε το προγραμματισμένο μάθημα, επειδή η ύλη δεν βγαίνει...

 

Η αλήθεια είναι ότι το καλό κλίμα που είχε δημιουργηθεί, και η - ας την πούμε - επιστημοσύνη που είχε στο μεταξύ αναπτυχθεί, μας έδιναν τη δυνατότητα να προχωρήσουμε δυναμικά σε ασκήσεις πιο σύνθετες και όχι απλά να τις λύσουμε, αλλά να τις διερευνήσουμε σε "μεταγνωστικό" επίπεδο μελετώντας τον τρόπο με τον οποίον οι "δηλώσεις", (με απλά λόγια τα δεδομένα της άσκησης), μετασχηματίζονται σε εξισώσεις, που περιέχουν τους "πρωταγωνιστές" αγνώστους, (με απλά λόγια τα ζητούμενα της άσκησης).

Ενθουσιασμός! Συμμετοχή! Υψωμένα χέρια! Λαμπερά μάτια!  Σωστές απαντήσεις!

Να χαίρεσαι να τα βλέπεις και να εύχεσαι να είναι έτσι γελαστά και χαρούμενα σ' όλη τους τη ζωή!

Και τότε χτύπησε το κουδούνι, αλλά για μερικά λεπτά  δεν κουνήθηκε κανείς...

Συνεχίσαμε για λίγο, σαν να μην το ακούσαμε... Όμως, επειδή ξέρω τι σημαίνει για τα παιδιά το διάλειμμα, δεν θέλω να τους το "τρώω", γι' αυτό ζήτησα να περάσουν έξω.

 Όταν βγήκαν όλοι, με πλησιάσε η Α.Π. που είχε μείνει τελευταία, για να μου πει: "Κυρία, είμαι πολύ χαρούμενη! Πρώτη φορά που χτυπάει κουδούνι για έξω και στεναχωριέμαι... Τα καταλαβαίνω, κυρία! Είμαι πολύ χαρούμενη!" 

Ύστερα έφυγε και η Α.Π. κι έμεινα μόνη στην τάξη. Κάθισα στην έδρα κι άφησα τη χαρά μου να ξεχειλίσει και να με κατακλύσει!  Δεν μπορεί να το καταλάβει κανείς αυτό αν δεν το ζει.

Ακριβώς για το λόγο αυτό θεωρώ, όπως λέω συχνά, τον εαυτό μου τυχερό, που κάνει τη δουλειά που κάνει...

Και αναρωτιέμαι...

Για ποιο λόγο δεν ξεκινάμε την Άλγεβρα στην Α' Λυκείου από τα διακριτά Μαθηματικά, δηλαδή από τις Προόδους και το Ν, αλλά πάμε τόσο βεβιασμένα και πεισματικά στο συνεχές του R, στερώντας από τα πιο πολλά παιδιά την κατανόηση και την έντονη χαρά, σαν αυτήν που ένιωσε η μαθήτριά μου, η Α.Π. κι έσπευσε να μου το πει! Μια χαρά που στην αρχή της χρονιάς, ίσως συμβάλλει στη διαμόρφωση θετικής στάσης, απέναντι στα Μαθηματικά;

Μου φαίνεται πως ανάμεσα στα άλλα που προκαλούν στους δεκαπεντάχρονους τα αρνητικά συναισθήματα για τα Μαθηματικά είναι και η ύλη αυτή, που έχει ανακόλουθη κατανομή και ταλαιπωρεί τους μαθητές σαν τον ... ανάδρομο Ερμή!

......................................................................................................................................

Η ανάρτηση αυτή είναι αφιερωμένη στη μαθήτριά μου Α.Π., που τα αρχικά της είναι τα ίδια με της Αριθμητικής Προόδου! Εύχομαι και η πρόοδό της να είναι ανάλογη μιας Α.Π., με ω>0! :)