Παρασκευή, 1 Νοεμβρίου 2013

Η "ΕΙΣ ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗ" και τα λοιπά ατοπήματα...

Ο αγώνας ταχύτητας στη διδασκαλία της Άλγεβρας στην Α' Λυκείου (και όχι μόνο σε αυτήν) καλά κρατεί και όσο περνάει ο καιρός οι απαιτήσεις αυξάνονται και οι ρυθμοί επίσης. Το αυστηρά σχεδιασμένο πλάνο του μαθήματος τηρείται σχεδόν απαρέγκλητα και οι τυχόν αδυναμίες και τα "κενά" των μαθητών είναι πρακτικά αδύνατο να λαμβάνονται υπόψη στο βαθμό που λαμβάνονταν τα προηγούμενα χρόνια. Οι επαναλήψεις της ύλης, η οποία έχει ήδη διδαχτεί στο Γυμνάσιο, φέτος λόγω της πίεσης από την Τράπεζα Θεμάτων είναι πραγματικές επαναλήψεις και όχι μια εκ νέου διδαχή, όπως γινόταν τις προηγούμενες χρονιές,  στην παραγοντοποίηση, ας πούμε, και στις ταυτότητες,  όπου  περισσότεροι από τους μισούς μαθητές δεν μπορούσαν να ανταποκριθούν ικανοποιητικά, με αποτέλεσμα να χρονοτριβώ για να τα διδάξω από την αρχή αναλυτικά. Βέβαια, για να πω την αλήθεια και τα δύο τμήματα της Α' Λυκείου, στα οποία  διδάσκω φέτος, έχουν ικανοποιητικό μέσο όρο στην επίδοση και στη γενικότερη συμμετοχή, οπότε αυτό με διευκολύνει αρκετά και μου δίνει τη δυνατότητα να ρίχνω το βάρος στα καινούρια κομμάτια της ύλης και σε όσα πρέπει να τονιστούν και να απασαφηνιστούν φέτος, για να προετοιμάσουν το έδαφος για τη μελλοντική τους ενασχόληση με τα Μαθηματικά. Και ένα από τα βασικότερα σημεία της φετινής ύλης είναι αναμφιβόλως το κομμάτι της "απόδειξης" και οι αποδεικτικές μέθοδοι που χρησιμοποιούμε στα Μαθηματικά. Για το λόγο αυτό έδωσα μεγάλη βαρύτητα στην "ευθεία απόδειξη" ταυτοτήτων και  συνεπαγωγών, τουλάχιστον όσο μου επιτρέπει η χρονική πίεση... Μέσα σε αυτόν το γενικότερο στόχο, θέλησα σήμερα να διδάξω την "απαγωγή σε άτοπο" ως αποδεικτική μέθοδο που εμφανίζεται πιεστικά μεν, δηλαδή μας οδηγεί σε αυτήν η ανάγκη, αλλά σωτήρια δε, αφού λειτουργεί εκεί όπου η ευθεία απόδειξη δεν αποτελεί λύση. Για το λόγο αυτό αποφάσισα να αφήσω τα παιδιά να πάρουν το χρόνο τους και να οδηγηθούν μόνα τους στην ... επινόηση μιας νέας αποδεικτικής μεθόδου, διαφορετικής από την ευθεία απόδειξη που ήδη γνώριζαν. Για ... ζέσταμα ζήτησα στην αρχή να αποδείξουν την ακόλουθη συνεπαγωγή: 

Αν ένας φυσικός αριθμός α είναι περιττός, να δείξετε ότι το τετράγωνό του είναι περιττός αριθμός.

Δύσκολο; Όχι φυσικά! Αν γνωρίζει κάποιος ποιοι αριθμοί λέγονται περιττοί και ποια είναι η γενική τους μορφή, τελειώνει στο πι και φι. Θα πρέπει να τονίσουμε βέβαια πως αρκετοί ήταν οι μαθητές που πρότειναν να αποδείξουμε το ζητούμενο χρησιμοποιώντας έναν τυχαίο αριθμό!
"Να, κυρία, αν ο α είναι ο 5 που είναι περιττός, τότε και το τετράγωνό του που είναι το 25 είναι κι αυτός περιττός!"
Δυστυχώς αυτό είναι ένα σημείο που δεν ξεπερνιέται από τη μια στιγμή στην άλλη και φανερώνει πόσο δύσκολα υπερπηδούν οι μαθητές το γυμνασιακό - εμπειρικό στάδιο, που ενίοτε λειτουργεί ως εμπόδιο, για να προσεγγίσουν το επίπεδο αφαίρεσης και γενίκευσης που απαιτείται στο Λύκειο και που με τη σειρά του απαιτεί ανεξάντλητη υπομονή και επιμονή από την πλευρά του καθηγητή.  :)
Εν πάση περιπτώσει, η συνεπαγωγή μετά από σύντομη συζήτηση αποδείχτηκε εύκολα και προχώρησα στην επόμενη συνεπαγωγή, γράφοντας στον πίνακα:

Αν το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού α είναι περιττός, να δείξετε ότι ο α είναι περιττός. 

Οι περισσότεροι μαθητές, όπως ήταν αναμενόμενο, θεώρησαν πως η απόδειξη είναι απλή και σήκωσαν τα χέρια, για να μου πουν τι θα κάνουμε. Κατέγραφα τις προτάσεις τους στον πίνακα και τις συζητούσαμε διεξοδικά. Μία μία αποδεικνύονταν άκαρπες οι προσπάθειες που κάναμε, κάποιες από τις οποίες τις προχωρούσαμε λιγάκι, ενώ άλλες τις απορρίπταμε εξ αρχής, επειδή αμέσως μόλις ακούγονταν κάποιος πεταγόταν από κάτω να μας εξηγήσει ότι η συγκεκριμένη επιλογή δεν θα μας οδηγούσε πουθενά...
"Λυπάμαι πολύ παιδιά!", είπα μετά από αρκετή ώρα. "Ειλικρινά λυπάμαι και δεν ξέρω τι μπορούμε να κάνουμε για να το αποδείξουμε...".
Είχα πάρει σχεδόν περίλυπη έκφραση και αρκετοί από τους μαθητές επίσης, γιατί ένιωθαν πως ξεμείναμε από ιδέες και μεθόδους...
Τότε η Μαριάνθη, μάλλον για να με ανακουφίσει το παιδί, σήκωσε το χέρι της και είπε: "Κυρία, να προτείνω κάτι ακόμη; Αν και δεν είμαι σίγουρη...". "Ευτυχώς που δεν είσαι σίγουρη, Μαριάνθη!", της είπα για ενθάρρυνση, "αν οι άνθρωποι ήταν πάντα σίγουροι για τα πράγματα δεν θα προχωρούσε η επιστήμη..."
Ενώ  η Μαριάνθη άρχισε να λέει την ιδέα της, που δεν ήταν η σωστή επιλογή, πετάχτηκε ένας συμμαθητής της και τη διέκοψε προτείνοντας να υποθέσουμε ότι ο α είναι άρτιος  και να δοκιμάσουμε τι θα γίνει... Άρχισαν να μιλάνε και άλλοι συνεχίζοντας την ιδέα αυτή...
Είχαν φτάσει πολύ κοντά στο να ξανανακαλύψουν την εις άτοπο απαγωγή! Δυστυχώς η πίεση του χρόνου με ανάγκασε να μη δώσω συνέχεια στο παιχνίδι και δεν κατάφερα να αξιοποιήσω στο έπακρο τις δυνατότητες που μας δίνει μια τέτοια προσέγγιση. Στο βαθμό που το πετύχαμε όμως, καταλάβαμε κάτω από ποιες συνθήκες το ανθρώπινο μυαλό οδηγείται στην επινόηση νέων μεθόδων και πρακτικών... Αλλά την απαγωγή σε άτοπο δεν είναι σίγουρο ότι την κατάλαβαν όλοι στην τάξη. Ακούστηκαν διάφορες διαμαρτυρίες όταν ολοκληρώθηκε η απόδειξη στον πίνακα και μου ζητήθηκε πολλές φορές να επαναλάβω κάποια σημεία...


Για εργασία στο σπίτι ζήτησα να γράψουν για την "απόδειξη στα Μαθηματικά".  Δεν ρώτησαν καν αν ήθελα έναν ορισμό ή τις αποδεικτικές μεθόδους ή την ιστορία της απόδειξης. (Αυτό το τελευταίο λίγο δύσκολο να το σκεφτούν βέβαια, αλλά λέμε τώρα..).
Κάπου εκεί το κουδούνι,  μας διέκοψε, όπως πάντα, στο καλύτερο σημείο.
"Πολύ δύσκολα, κυρία, είναι αυτά..." είπαν αρκετά παιδιά, ενώ βγαίναμε για διάλειμμα. 
Μεταξύ αυτών και η Μαριάνθη, που είναι καλή στα Μαθηματικά και έγραψε 18 στο διαγώνισμα της Άλγεβρας, με κοίταζε με μάτια διάπλατα ανοιχτά, ψιθυρίζοντας "Δύσκολα, κυρία...", σα να μου ζητούσε βοήθεια...Διαβλέπω πως η Μαριάνθη σιγά σιγά στρέφεται προς τα φιλολογικά, όπως στράφηκαν και πολλά από τα περσινά μας παιδιά, παρόλο που είχαν καλές επιδόσεις στα Μαθηματικά... 
Και παρόλα αυτά, ο αγώνας ταχύτητας συνεχίζεται και γεννά μια σειρά από ατοπήματα μεγάλα και μικρά, που λειτουργούν στα περισσότερα παιδιά τελείως αποθαρρυντικά, επειδή...είναι τόοοοσο δύσκολα τα Μαθηματικά! 

1 σχόλιο:

  1. Επαγωγη=εισαγωγη καποιου απ'εξω .
    Δεν ειναι η Ελενη η ωραια να εχουμε απαγωγη :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή