Σάββατο, 20 Απριλίου 2019

Οι προσεγγίσεις του π...επί των "αλγεβρικών" τύπων των ήλων...

Το μάθημα-πείραμα με τα καπάκια και τα νήματα για τον προσδιορισμό του π, που έκανα την τελευταία εβδομάδα πριν από τις διακοπές του Πάσχα, ήταν μια ενδιαφέρουσα εμπειρία και μου προκάλεσε πλείστα ερωτήματα γύρω από το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών του Γυμνασίου. Αμφισβήτησα, για πολλοστή φορά, τις μεθόδους και τις πρακτικές που υιοθετώ, εγώ η ίδια, για να διδάξω στα παιδιά μου αυτά που το ΙΕΠ μου ζητά να διδάξω... 
Φυσικά, μιλώ για  τα παιδιά που διδάσκω τώρα, τα οποία σε ένα μεγάλο ποσοστό -για διάφορους λόγους- αδυνατούν να χρησιμοποιήσουν σωστά την ελληνική γλώσσα, πόσο μάλλον να την κατανοήσουν σε βάθος ή έστω στο βάθος εκείνο που απαιτεί η τυπική-φορμαλιστική διδασκαλία των Σχολικών Μαθηματικών.  
Για το μάθημα στα δύο πρώτα τμήματα έχω ήδη γράψει, εδώ "Τα κα"π"άκια και το π" .
Τώρα θέλω να αναφέρω τι έγινε στο τρίτο τμήμα που σε γενικές και σε ειδικές γραμμές ... έπεται των δύο πρώτων. 
Ακολούθησα το ίδιο σχέδιο μαθήματος. Με την ελάχιστη δυνατή αναφορά σε μαθηματικές-γεωμετρικές έννοιες, μοίρασα καπάκια, νήματα και χαράκια και ζήτησα να βρουν πόσο βγάζει η διαίρεση της περιμέτρου προς τη διάμετρο του καπακιού.
Αυτή τη φορά όμως, λίγο επειδή είχα την εμπειρία από τα δύο προηγούμενα τμήματα, λίγο επειδή το συγκεκριμένο τμήμα χρειάζεται περισσότερη υποστήριξη και, τέλος, επειδή ο e-φίλος, Γιάννης Μιχαηλίδης, με αφορμή την προηγούμενη ανάρτηση ρώτησε τι τιμές βρήκαν για το π τα παιδιά μου, αποφάσισα να αφιερώσω περισσότερο χρόνο σ' αυτό το ερώτημα. Σήκωσα ένα παιδί στον πίνακα και κατέγραψε όλες τις τιμές που είχαν βρει οι υπόλοιποι. Σ' αυτό το τμήμα οι αποκλίσεις ήταν πολύ μεγαλύτερες. Επιπλέον, κανένας δεν ανέφερε ότι το π είναι ίσο με 3,14, αλλά ούτε με ρώτησε πόσο θα έπρεπε να βρουν. Αντιθέτως, έδειχναν όλοι πολύ ικανοποιημένοι από την τιμή που είχαν βρει, παρόλο που ήταν διαφορετική από του διπλανού τους.
Για κάποια κλάσματα του δευτερολέπτου, ειλικρινά, δεν ήξερα πώς να διαχειριστώ αυτήν την μακαριότητα των πτωχών μαθητών μου... Φαίνονταν τόσο ευτυχείς με την επιτυχία τους! Έλαμπαν ολόκληροι που είχαν φέρει εις πέρας την αποστολή τους.
Τέλος, πήρα ένα μαρκαδόρο, πήγα στον πίνακα και κύκλωσα το 3, όπου αυτό εμφανιζόταν στα αποτελέσματα, που είχαν καταγραφεί. 
"Η τιμή 3 είναι η καλύτερη προσέγγιση", είπα, χωρίς καν να αναρωτηθώ αν οι μαθητές μου καταλαβαίνουν τι σημαίνει "προσέγγιση". 
Ένας δύο φάνηκαν να αναδιπλώνονται. 
"Δηλαδή, τόσο έπρεπε να βρούμε όλοι, κυρία;", με ρώτησαν.
Δεν πρόλαβα να απαντήσω όταν ο Δ. άνοιξε ένα ανέλπιστο παράθυρο...
"Αλλά, γιατί να βρούμε όλοι το ίδιο, κυρία! Αφού τα καπάκιά μας δεν είναι όλα ίδια!".
Δίκαιο είχε. Σκοπίμως είχα φροντίσει να υπάρχουν καπάκια τουλάχιστον τεσσάρων διαφορετικών μεγεθών. Αυτό είχε συμβεί και στα προηγούμενα τμήματα, αλλά εκεί κανένας δεν θεώρησε πως οι διαφορετικές διάμετροι των καπακιών θα οδηγούσαν σε διαφορετικά αποτελέσματα. Ίσως η πρότερη γνώση να απέκλεισε μια τέτοια ... εύλογη απορία!
Σ' αυτό το τμήμα όμως, των σε γενικές γραμμές ακατέργαστων ως προς τις μαθηματικές έννοιες παιδιών κάθε ενδεχόμενο αποβαίνει δυνατό!
Ακόμη  ακόμη και η αμφισβήτηση της υπερβατικότητας του π! Αστειεύομαι, βέβαια...
Σε ένα τόσο "παρθένο" περιβάλλον ο δάσκαλος συχνά βιώνει εκείνη την... πνευματική αγωνία που βίωσε το ανθρώπινο είδος μέχρι να φτάσει τη σκέψη του εδώ που την έφτασε!  
Πιθανόν, φίλε Γιάννη, στο Δημοτικό αυτό να είναι το σύνηθες. Στο Γυμνάσιο όμως, όσο να 'ναι, υπάρχει ένα -έστω και "σαθρό"- γνωστικό υπόβαθρο, που περιορίζει ως ένα βαθμό αυτήν την πρωτόγονη άγνοια, τη γνήσια απορία, του ανθρώπινου μυαλού.
Οπότε, στο συγκεκριμένο τμήμα έχω την τύχη να συναντώ τέτοιες ενδιαφέρουσες καταστάσεις, από τις οποίες πάντα κάτι μαθαίνω. Επιβεβαιώνω το πώς θα σκεφτούν τα παιδιά μου, ακόμη και όταν το περιμένω, όπως για παράδειγμα, με τα διαφορετικού μεγέθους καπάκια, που όμως στα δύο άλλα τμήματα δεν προκάλεσαν καμια αντίδραση, ενώ σ' αυτό, το στερνό, η συζήτηση που έγινε παρουσίασε ιδιαίτερο εκπαιδευτικό και διδακτικό ενδιαφέρον.

.
Βέβαια, οφείλω να πω ότι το μάθημα συνήθως δεν περιορίζεται από το επίπεδο των μαθητών. Αντιθέτως, το ωσάν tabula rasa μυαλό τους, ολοένα και μου γεννά την επιθυμία να διερευνήσω το τι βλέπουν και τι καταλαβαίνουν, ώστε να προσπαθήσω να οδηγήσω όσο το δυνατόν πιο σωστά τη σκέψη τους...
Χθες, για παράδειγμα, πριν προχωρήσω στο εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, όπου σκόπευα να εξηγήσω πώς προκύπτει ο τύπος Ε=πρ^2, πέρασε από το μυαλό μου σαν αστραπή μια σκέψη που ανέκοψε την πορεία μου:
Τι έχουν, άραγε, στο μυαλό τους όταν ακούν τη λέξη "τύπος";

"Τι σημαίνει "τύπος";", ρώτησα και αμέσως έδωσα τις απαραίτητες διευκρινίσεις. 
"Δεν εννοώ αυτό που λέμε "πω πω, ένας ωραίος τύπος, ψηλός, πνευματώδης, με χιούμορ κλπ", εννοώ τι σημαίνει η λέξη τύπος στα Μαθηματικά και στις Θετικές Επιστήμες"
Δυο τρεις σήκωσαν το χέρι, για να απαντήσουν, αλλά ήθελα να έχω μια πληρέστερη εικόνα.
"Βγάλτε γρήγορα ένα χαρτί και γράψτε: Στα Μαθηματικά και στις Θετικές Επιστήμες τύπος σημαίνει...... Συμπληρώστε, όπως εσείς το καταλαβαίνετε".
"Να βάλουμε και όνομα, κυρία;", ακούστηκαν οι πιο αγχώδεις. 
"Ναι, να βάλετε. Δεν θα το βαθμολογήσω. Θέλω μόνο να δω πως σκέφτεστε...", απάντησα για να τους καθησυχάσω.
Έγραψαν τα χαρτάκιά τους. Τα διάβασα.  Κάποια, λίγα ευτυχώς, έγραψαν "Δεν ξέρω πως να το εξηγήσω", αρκετά έδωσαν (παρα)δεχτούς ορισμούς και κάποια έγραψαν μόνο ένα παράδειγμα τύπου.  "Τύπος είναι αυτό ω=360/ν". Έστω. Κι έτσι ακόμη, έδειξαν ότι κατανοούν.

Τελικά, το θέμα είναι πως ο κάθε δάσκαλος που καλείται να διδάξει ... τυπολογώντας τα Μαθηματικά,  οφείλει πότε πότε να βάζει το δάχτυλο στα σημάδια που αφήνουν ... τα καρφιά.

Καλές Διακοπές!

4 σχόλια:

  1. Κάτι παρόμοιο είχα δοκιμάσει και εγώ στο Δημοτικό. Επειδή γνώριζα ότι δεν θα υπάρχει ακρίβεια στις μετρήσεις και δεν είχα ιδέα τι να κάνω με αυτό, προτίμησα να τους δώσω έτοιμες τιμές της περιφέρειας και της διαμέτρου για να δουν, χρησιμοποιώντας αριθμομηχανή, ότι βγαίνει πάντα 3,14. Βέβαια, με αυτόν τον τρόπο μάλλον δεν κατάλαβαν τι σημαίνει περιφέρεια. Ίσως έπρεπε να τους βάλω πρώτα να μετρήσουν περιφέρεια και διαμέτρους και αργότερα να τους δώσω δικές μου τιμές. Είναι δύσκολη η έννοια του π στο Δημοτικό. Καλύτερά μου βγαίνει η έννοια του εμβαδού. Υπάρχει μία εφαρμογή με την οποία καταλαβαίνουν αρκετά καλά οι μαθητές τον τύπο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θα είχε ενδιαφέρον όμως να δοκιμάσουν να μετρήσουν.
      Άλλωστε, στο τμήμα αυτό που αναφέρω στην παραπάνω ανάρτηση, κατά κοινή ομολογία των συναδέλφων που διδάσκουν, το επίπεδο είναι σχεδόν Δημοτικού. Από την άλλη, εγώ ήλπιζα πως οι διαφορετικές προσεγγίσεις θα προκαλέσουν συζήτηση που θα μου δώσει την ευκαιρία να τονίσω πως τα μεγέθη μήκος κύκλου και διάμετρος κύκλου είναι ανάλογα και ο σταθερός τους λόγος είναι αυτός ο περίεργος αριθμός π.
      Όμως στα δύο πρώτα τμήματα, όπου οι μετρήσεις δεν είχαν μεγάλες αποκλίσεις δεν προκλήθηκε καμιά τέτοια συζήτηση.
      Αντιθέτως, σ' αυτό το τρίτο τμήμα, όπου οι όχι και τόσο καλές μετρήσεις έδωσαν μεγάλες αποκλίσεις, η συζήτηση προέκυψε αυθόρμητα. Αρκετοί ήταν εκείνοι που επέμεναν πως τα διαφορετικά σε μέγεθος καπάκια θα έπρεπε να μας δίνουν διαφορετικά πηλίκα.

      Πάντως πρέπει να σε ευχαριστήσω, επειδή με αφορμή την ερώτησή σου, έδωσα ιδιαίτερη προσοχή στα αποτελέσματα των παιδιών.
      Με άλλα λόγια "άκουσα" πιο προσεκτικά τις φωνές τους, από ότι στα δύο άλλα τμήματα όπου (εξ)ώθησα τα πράγματα εκεί που τα είχα (προ)σχεδιάσει.

      Καλές διακοπές, Γιάννη.

      Διαγραφή
    2. Δεν είναι επιπέδου Δημοτικού γιατί υπάρχουν σφάλματα μέτρησης. Δεν μπορούν να τα διαχειριστούν ούτε είναι στην ύλη του Δημοτικού. Αν όλα τα παιδιά έβρισκαν την ίδια τιμή τότε αλλάζει το πράγμα. Λ.χ., είναι δυνατόν να βρουν μόνα τους πώς να υπολογίζουν το εμβαδό του τετραγώνου και του ορθογωνίου. Αλλά κι αυτό που φαίνεται απλό τα δυσκολεύει. Δεν προκύπτει αμέσως ούτε το βρίσκουν όλα τα παιδιά.

      Μπορεί όντως να τα εξώθησες στα άλλα δύο τμήματα, μπορεί και όχι. Δεν προκύπτει πάντα η συζήτηση. Δεν είναι και εύκολο. Αλήθεια πώς αντιμετώπισες την πεποίθησή τους ότι ο λόγος δεν παραμένει σταθερός;

      Διαγραφή
    3. Ούτε στην ύλη του Γυμνασίου είναι τα σφάλματα μέτρησης!
      Όμως τα σφάλματα είναι στην καθημερινή πρακτική και όχι μόνο στη μέτρηση. Και στην "απολυτότητα" με την οποία συχνά αντιμετωπίζουμε μια εν δυνάμει κατάσταση... :)

      Δεν χρειάστηκε να αντιμετωπίσω εγώ την πεποίθησή τους ότι ο λόγος περιμέτρου-διαμέτρου του κύκλου δεν παραμένει σταθερός
      Παρενέβησαν κάποια παιδιά και απάντησαν -λογικά σκεπτόμενα - πως όταν μεγαλώνει η περίμετρος, τότε μεγαλώνει και η διάμετρος. Στάθηκαν αρκετά σ' αυτό κι εγώ απλά τους παρακολουθούσα.
      Πήρα στο τέλος το λόγο, για να συμπληρώσω ότι τα δυο μεγέθη είναι ανάλογα και έχουν λόγο έναν πολύ μυστηριώδη και ενδιαφέροντα αριθμό.
      Ε, μετά είπα και δυο λόγια για το π, που ούτως ή άλλως αναφέρονται στο ιστορικό σημείωμα του βιβλίου τους.

      Δεν ξέρω αν το ζητούμενο είναι να κατανοήσουν το π, (ποιος το καταλαβαίνει άλλωστε;), ή αν η επιδίωξη είναι να "νιώσουν" τη διαχρονική μαγεία των Μαθηματικών! :)

      Διαγραφή