Σάββατο, 27 Φεβρουαρίου 2016

ΔΕΚΑ ΧΡΟΝΙΑ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΗΤΑ

Στον κύκλο ομιλιών για τα δέκα χρόνια από τη σύσταση της Ομάδας  "Θαλής+Φίλοι",  είχα κι εγώ την τιμητική μου! Ήταν όντως μεγάλη τιμή για μένα να με συμπεριλάβουν στους ομιλητές. Και ήταν μεγάλη η  χαρά μου να βρεθώ στον ιδιαίτερα όμορφο χώρο του Μουσείου Ηρακλειδών, την Παρασκευή 19 Φεβρουαρίου. Ένιωσα βαθύτατα συγκινημένη, όταν βρέθηκα ανάμεσα σε πολλούς παλιούς και νέους φίλους, μαθηματικούς  και μη, αλλά και ανάμεσα σε πάρα πολλούς εν δυνάμει φίλους, που για πρώτη φορά συναντούσα εκείνο το απόγευμα της Παρασκευής. Μου έδωσε μεγάλη χαρά η παρουσία των μαθητών του σχολείου Δεύτερης Ευκαιρίας, που  μαζί με τον καθηγητή τους  ήρθαν  να ακούσουν την ομιλία μου για το μαθηματικό γραμματισμό. 
Ο μαθηματικός γραμματισμός, ως μια από τις βασικότερες συνιστώσες του πολυγραμματισμού, που απαιτείται σήμερα για  την  ατομική, την κοινωνική και την επαγγελματική μας επιβίωση, είναι ένα θέμα που με ενδιαφέρει πολύ και με το οποίο ασχολούμαι τον τελευταίο περίπου χρόνο. Είναι ένα θέμα πρωτίστως πολιτικό και μετά παιδαγωγικό και εκπαιδευτικό και κατά συνέπεια φέρνει σε αμηχανία πολλούς εξ ημών των εκπαιδευτικών και ειδικά των μαθηματικών που έχουμε την άνεση  και την πολυτέλεια να κινούμαστε στον φαινομενικά ουδέτερο και αποπλαισιωμένο κόσμο των σχολικών μαθηματικών.  Όμως είναι ένα θέμα που θα πρέπει να μπει στο τραπέζι  και να μας εμπλέξει με ζητήματα που αφορούν την καθημερινότητα και τη ζωή των μαθητών μας μετά το σχολείο, όποιας βαθμίδας κι αν είναι αυτό. Λόγω της πολιτικής του διάστασης, μάλλον, το ζήτημα του μαθηματικού γραμματισμού αντιμετωπίζεται με επιφυλακτικότητα από μεγάλη μερίδα των εκπαιδευτικών. Πιθανόν να θεωρείται και περιορισμένου ενδιαφέροντος. Ή να είναι εντελώς άγνωστο.
Στο προηγούμενο Ετήσιο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας η εισήγηση που έστειλα με τίτλο "Με ποιο μοντέλο γραμματισμού μπορεί να επιτευχθεί ο μαθηματικός γραμματισμός;", μου επιστράφη με αρκετά σχόλια από την κριτική επιτροπή, που ούτε λίγο ούτε πολύ την απέρριπτε, θεωρώντας την πολύ θεωρητική για ένα Συνέδριο μαθηματικών. Χρειάστηκε να συμπληρώσω την εισήγηση με παραδείγματα, αλλά και να επιχειρηματολογήσω επικαλούμενη ονόματα έγκριτων συναδέλφων, όπως αυτό του Γιώργου Ρίζου, ο οποίος σε βιβλίο του αναφέρει τον "μαθηματικό εγγραμματισμό". "Μαθηματικός εγγραμματισμός" ήταν η απόδοση του όρου "mathematical literacy", πριν επικρατήσει ως "μαθηματικός γραμματισμός". Αυτή είναι άλλωστε η μοίρα κάθε νεοεισαγόμενου όρου, αποδίδεται με δυο τρεις διαφορετικούς τρόπους, μέχρι να πάρει την τελική του, την επικρατούσα, τιμή... :). Εντέλει, η εισήγησή μου έγινε αποδεκτή στο Συνέδριο και την ημέρα τη παρουσιάσης ο κύριος Ρίζος  ήταν εκεί. Ακολούθησε μια σύντομη, αλλά ενδιαφέρουσα συζήτηση μετά την ομιλία και με δική του παρέμβαση. Όμως ο μαθηματικός γραμματισμός δεν είναι ένα θέμα που μπορεί να εξαντληθεί σε ένα Συνέδριο Μαθηματικών. Είναι ένα θέμα που αφορά την ευρύτερη κοινωνία και γι' αυτό θα πρέπει να συζητηθεί με κάθε δυνατό τρόπο. 
Η ομάδα Θαλής+Φίλοι, εδώ και δέκα χρόνια απευθύνεται στο ευρύ κοινό και, αξιοποιώντας τη "Μαθηματική Λογοτεχνία" ή το "παρα-μαθηματικό βιβλίο" ή όπως αλλιώς μπορεί κανείς να ονομάσει το πλούσιο υλικό που κατακλύζει τα ράφια των βιβλιοπωλείων, προσεγγίζει τα Μαθηματικά μέσα από αφηγηματικές διαδικασίες προκειμένου να αναδείξει την ομορφιά τους, την ιστορική και πολιτισμική τους διάσταση, τη λειτουργία τους και τη στενή τους διασύνδεση με κάθε άλλη ανθρώπινη δραστηριότητα. Και, κρίνοντας από τους πολλούς πολλούς φίλους που έχει αποκτήσει και συνεχίζει να αποκτά όλα αυτά τα χρόνια η ομάδα, θεωρώ ότι πετυχαίνει πολύ καλά το σκοπό της. 
Εύχομαι, από καρδιάς, να συνεχίσουμε με τον ίδιο ζήλο να συμμετέχουμε και να προσφέρουμε εθελοντικά στην ομάδα που εμπνεύστηκαν ο Απόστολος Δοξιάδης, ο Τεύκρος Μιχαηλίδης και ο Πέτρος Δελλαπόρτας.
Όπως εύχομαι - και προσπαθώ - να ανοίξει μια ευρεία συζήτηση για το θέμα του μαθηματικού γραμματισμού που όλους, μαθηματικούς και μη, μας αγγίζει και μας αφορά, ιδιαίτερα δε σήμερα που τα προβλήματα διαβίωσης - και επιβίωσης - είναι πολλά...
Έτσι,  έχοντας αρκετό άγχος, μεγάλη αγωνία,  αλλά ταυτόχρονα με  μιαν ασίγαστη ελπίδα, επέλεξα για  την ομιλία μου στο πλαίσιο του εορτασμού των δέκα χρόνων από το σχηματισμό της ομάδας Θαλής+Φίλοι το θέμα του γραμματισμού.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Το σχετικό άρθρο για την εκδήλωση στο Μουσείο Ηρακλειδών υπάρχει στην ιστοσελίδα της ομάδας Θαλής+Φίλοι εδώ
[Βλέπετε το video της ομιλίας πατώντας στο "εδώ", που υπάρχει στην τελευταία γραμμή του άρθρου].

Τετάρτη, 3 Φεβρουαρίου 2016

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΜΗΔΕΝ

"Το μηδέν είναι μια απουσία βιωμένη σαν παρουσία", έλεγε ο αείμνηστος Ντενί Γκετζ, όταν υπέγραφε το βιβλίο του, "ΜΗΔΕΝ".  Με λίγες μόνο λέξεις κατάφερνε να δώσει τη λειτουργία της έννοιας του μηδενός, ως συμβόλου, που το χρησιμοποιούμε, για να δηλώσουμε πως στη θέση που μπήκε το μηδέν - μια τρύπα δηλαδή - δεν θα μπει κάτι άλλο. Αυτό το κάτι άλλο, όποιο κι αν επρόκειτο να είναι, αναγκαστικά θα απουσιάσει από τη θέση που έχει καταλάβει το μηδέν.
Με άλλα λόγια, η παρουσία του μηδενός δηλώνει την απουσία του άλλου...
Τόσο απλά και συνάμα τόσο σύνθετα και τόσο βαθιά φιλοσοφικά!
Όπως ακριβώς είναι τα Μαθηματικά! :)
Και το μηδέν, που παίζει κεντρικό ρόλο στα Μαθηματικά, είναι λιτό και ταυτόχρονα είναι δύσκολο και μυστήριο και ως αριθμός και ως έννοια και ως παρουσία και ως απουσία και γενικά με όλες του τις λειτουργίας, που -για να λέμε την αλήθεια- κάθε άλλο παρά λίγες είναι.
Γι' αυτό άλλωστε πολύ συχνά γίνεται θέμα συζήτησης στο μάθημα των Μαθηματικών.
"Ο παρονομαστής απαγορεύεται να γίνει ίσος με το μηδέν!" και "Άλφα επί μηδέν μηδέν" και "Άλφα στη μηδενική ένα" και "Άλφα πλην άλφα μηδέν" και άλλα πολλά, που σε κάποιους μπορεί να φαίνονται απλά, αλλά κατά βάθος δυσκολεύουν τα παιδιά. Ειδικά τα μικρά παιδιά, όπως οι μαθητές της Α' Γυμνασίου που σιγά σιγά εισάγονται αυτήν την περίοδο στην Άλγεβρα, μελετώντας την ευθεία των ρητών αριθμών.

"Ξέρετε γιατί τους λέμε "ρητούς αριθμούς";", ρώτησα όταν κάναμε το πρώτο μάθημα του 7ου Κεφαλαίου. Στο ένα τμήμα απάντησε κάποιος αμέσως: "Επειδή μπορούμε να τους πούμε...".
Κάπου θα το είχε ακούσει, σίγουρα. Στο άλλο τμήμα δεν απάντησε κανείς και ρώτησα αν μπορούν να σκεφτούν άλλες σχετικές λέξεις. Είπαν τον "ρήτορα", το "ρητό" και σιγά σιγά φτάσαμε και στην ετυμολογία της λέξης. Εκείνη τη στιγμή ακούστηκε η κελαρυστή φωνή της  Ιωάννας, που είναι πάντα περίεργη και ρωτάει τα πάντα και με κάνει να μη θέλω να φύγω από την τάξη τους... :)
"Και γιατί τους λέμε ρητούς; Υπάρχουν και άρρητοι;".
Τι να απαντήσεις τώρα; Πώς δεν υπάρχουν!?  Ή μήπως να πεις "Υπάρχουν, αλλά θα τους μάθετε του χρόνου..."; Είναι δυνατόν να αντέξουν τόσο φιλοπερίεργα και φιλομαθή πλασματάκια να περάσει ολόκληρη η χρονιά, για να λύσουν τις απορίες τους;
Η ερώτηση προφανώς και είναι ρητορική. Και η απάντηση που έδωσα είναι αναμενόμενη και προφανής. "Ναι, παιδιά! Υπάρχουν και άρρητοι, που κατοικούν κι αυτοί μαζί με τους ρητούς πάνω στην ευθεία των αριθμών...".
Τα μάτια τους άνοιξαν διάπλατα, καθώς τα κεφάλια έγερναν μπροστά από έκπληξη, περιέργεια και μια ανεπαίσθητη δόση αμφιβολίας. "Πείτε μας έναν άρρητο αριθμό, κυρία!", ακούστηκε ξανά η φωνή της Ιωάννας! [Θωμά θα έπρεπε να το βαφτίσουν αυτό το κορίτσι. Πάντα ζητάει αποδείξεις! :)]
Τι κρίμα που κάνουμε μόνο τέσσερις ώρες την εβδομάδα Μαθηματικά! Κι έχουμε να πούμε τόσα πολλά...Από την άλλη όμως πώς μπορώ να περιορίσω τη φαντασία και τις γνώσεις των μικρών μου μαθητών στους ορισμούς που δίνει το σχολικό βιβλίο; Οι περισσότερες έννοιες για λόγους πρακτικούς (;) παρουσιάζονται σαν συσκευασμένες μερίδες fast food.
Κάτι τέτοιο μου θυμίζει ο ορισμός των ρητών αριθμών, που δίνεται στη σελίδα 115 του σχολικού:

  • Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι γνωστοί μας έως τώρα αριθμοί: φυσικοί, κλάσματα και δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς
 Ο ορισμός αυτός, πιστεύω, θέλει πολλή συζήτηση  για διάφορους λόγους, αλλά θα αναφέρω μόνο δύο. Πρώτον αναφέρει τους δεκαδικούς σαν διακριτούς αριθμούς και με τον τρόπο αυτό διαιωνίζει το πρόβλημα που κουβαλάνε οι μικροί (και οι μεγάλοι δυστυχώς) μαθητές από το Δημοτικό. 
Στο Δημοτικό, κατά κοινή ομολογία, οι δεκαδικοί λειτουργούν κατά κάποιον τρόπο σα σανίδα σωτηρίας στο τρομακτικό πέλαγος των κλασμάτων! Αμέσως μόλις διδαχτούν οι δεκαδικοί, τα κλάσματα εκτοπίζονται, εξαφανίζονται... Αντικαθιστώνται παντού και πάντα από δεκαδικούς, χωρίς μάλιστα να ενοχλείται κανείς από το σφάλμα της αποκοπής. Με αυτόν τον τρόπο οι μικροί μαθητές συνδέονται  συναισθηματικά με τους δεκαδικούς, τους οποίους θεωρούν φιλικούς και αρνούνται να τους δουν ως μια άλλη μορφή των κλασμάτων. 
Το δεύτερο και εξίσου σημαντικό είναι ότι οι όροι, τα ονόματα, οι λέξεις που χρησιμοποιούμε στα σχολικά Μαθηματικά "επιβάλλονται"- κατά κόρον - χωρίς αιτιολόγηση, χωρίς καμία επεξήγηση και, πολύ συχνά, χωρίς μια υποτυπώδη έστω διασύνδεση με προηγούμενες και επόμενες έννοιες. Επομένως ζητάμε από τους μαθητές να θυμούνται, χωρίς να κατανοούν και να εκτελούν χωρίς να ... αμφισβητούν!
Όταν όμως οι μαθητές που έχεις απέναντι είναι τύπου Ιωάννας είναι δύσκολο να λειτουργήσει αυτή η συγκεκριμένη πρακτική του "πίστευε και μη ερεύνα..."! 
Ευτυχώς, δηλαδή, που δεν λειτουργεί.
Σε εκείνο το πρώτο μάθημα του 7ου Κεφαλαίου αφιέρωσα χρόνο, για να απαντήσω στις ερωτήσεις της Ιωάννας και των άλλων μαθητών. Αναγκάστηκα να αναφέρω τους άρρητους αριθμούς, δηλαδή αυτούς που σε αντίθεση με τους ρητούς δεν μπορούν με πεπερασμένο πλήθος λέξεων να ειπωθούν ή με πεπερασμένο πλήθος συμβόλων να παρασταθούν... [Το "πεπερασμένο" το χρησιμοποιώ στο μάθημα κι ας είναι μικρά τα παιδιά, το κατανοούν και το χρησιμοποιούν σωστά, μαθαίνοντας συγχρόνως και Ελληνικά].  Ανέφερα  το παράδειγμα του λόγου του μήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς το μήκος της πλευράς του και όταν οι ερωτήσεις πύκνωσαν, τους έκλεισα το μάτι και τους είπα πως όλα αυτά τα όμορφα και άλλα τόσα κι ακόμα περισσότερα τους περιμένουν του χρόνου και του παραχρόνου και στο Λύκειο και πάει λέγοντας.
Κι έβλεπα στο βλέμμα τους να αυξάνονται οι προσδοκίες  και η λαχτάρα τους και οι επιθυμίες.
Είναι πολύ όμορφο το θέαμα των παιδιών, όταν είναι σε τέτοια κατάσταση. 
Και ελπιδοφόρο είναι και παρήγορο...
Από εκείνο το πρώτο μάθημα πέρασαν μέρες. Κάθε μέρα κάτι ενδιαφέρον και ιδιαίτερο συμβαίνει στην τάξη, αλλά ο χρόνος τρέχει και λίγα προλαβαίνω να καταγράψω εδώ. 'Όμως όλα τα κρατώ. Τα συλλέγω και τα μελετώ και με τον τρόπο αυτό μαθαίνω πολλά από όσα λένε και κάνουν αυτά τα φοβερά τα παιδιά.
Στο χθεσινό μάθημα, για παράδειγμα, ενώ λύναμε τις ασκήσεις στη σελίδα 121 του σχολικού και είχα σχεδιάσει στον πίνακα την ευθεία των αριθμών, ρώτησα "Πόσο απέχει από την αρχή το -12;".
Σηκώθηκαν αρκετά χέρια να απαντήσουν πως απέχει 12. Σωστά. Και προχωρήσαμε παρά κάτω. Τότε σηκώθηκε ένα χέρι και χωρίς να προλάβω να δώσω το λόγο, ακούστηκε η μαθήτρια πολύ αποφασισμένη να λέει: "Εγώ διαφωνώ!".
"Σε τι διαφωνείς, Υρώ; Δεν απέχει 12;", ρώτησα εγώ.
"Διαφωνώ που είπατε ότι απέχει από την αρχή, κυρία. Από το μηδέν απέχει, όχι από την αρχή". "Μάλιστα! Και δεν είναι το μηδέν η αρχή;", ρώτησα.
"Όχι! Το μηδέν είναι η μέση του άξονα, δεν είναι στην αρχή!", επέμενε η Υρώ!
(Υρώ, από το Αργυρώ)! 
Ήταν τόσο τέλεια και τόσο σωστή η παρατήρηση της. Τόσο αποκαλυπτική για το τι βλέπει ένα παιδί...
Αχ, να μην έχω στη διάθεσή μου όσο χρόνο χρειάζομαι, για να μιλήσω μαζί τους, να τα ρωτήσω ένα ένα τι βλέπουν εκεί που εγώ βλέπω την "αρχή μέτρησης" του άξονα των πραγματικών...
"Η αρχή είναι θέμα ορισμού" είπα, προσπαθώντας να διαλέξω στα γρήγορα τι χρειάζεται να πω από όλα αυτά που είχαν πλημμυρίσει τη σκέψη μου για το "σημείο μηδέν".
Ακόμη και τους Δίδυμους Πύργους θυμήθηκα...
Αρκέστηκα να πως πως το "σημείο μηδέν" είναι το σημείο από το οποίο μετράμε τις αποστάσεις.
Δηλαδή είναι το σημείο από το οποίο αρχίζουμε τη μέτρηση και όχι η αρχή ενός άξονα.
Και οι πόλεις έχουν το "σημείο μηδέν" τους, για να μετράνε την απόστασή τους από άλλες πόλεις.
Η Θεσσαλονίκη έχει "σημείο μηδέν" την Πλατεία Δημοκρατίας... Η Αθήνα την Πλατεία Ομόνοιας.

Το μηδέν  ως αριθμός, το μηδέν μια απουσία δηλωμένη ως παρουσία, το μηδέν ως θέση και ως αρχή μέτρησης αποστάσεων, γίνεται συχνά αφορμή για συζήτηση στην τάξη, αλλά κυρίως μας δίνει αφορμή για σκέψη και περισυλλογή...