Πέμπτη, 27 Σεπτεμβρίου 2018

Μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει...

Παλιότερα συνήθιζα να απομνημονεύω τα γενέθλια των φίλων και των γνωστών με διάφορες αριθμητικές μνημοτεχνικές που κατά καιρούς τις επαναλάμβανα ως ασκήσεις μνήμης, από φόβο μήπως μεγαλώνοντας χάσω την ικανότητα να θυμάμαι...όλα όσα ξέρω. 
Τη σημερινή ημερομηνία για παράδειγμα, που την έχω ταυτισμένη με τον σύντεκνό μου, τον   ποιητή Βασίλη Δασκαλάκη, την έχω στο μυαλό μου ως δύο διαδοχικές δυνάμεις του τρία, σε φθίνουσα διάταξη. 
Το 27 είναι ο κύβος του 3, δηλαδή 3^3, και το 9 είναι το τετράγωνο του 3, δηλαδή 3^2.  
Ξεκινώντας το μάθημα σε ένα τμήμα της Γ' το πρωί, ανέφερα την ιδιαιτερότητα της σημερινής ημερομηνίας κι ύστερα άρχισα αμέσως την επανάληψη των άρρητων, που δεν είναι και από τα ευκολότερα ακόμη και για τα μεγάλα παιδιά. Το μάθημα πήγε σχεδόν καλά, όπως φάνηκε από τις ερωτήσεις κατανόησης που απαντήθηκαν.
Βέβαια, χθες προηγήθηκε ένα ολόκληρο μάθημα στο οποίο δεν μιλήσαμε για τίποτε άλλο εκτός από τα είδη των αριθμών και την πράξη της πρόσθεσης. 
Η πρόθεσή μου, όταν μπήκα χθες στην τάξη, δεν ήταν αυτή, αλλά αναγκάστηκα να πιάσω το θέμα από την αρχή, λόγω της εσφαλμένης απάντησης στην ερώτηση "με τι ισούται το τρία ρίζα τρία συν ρίζα τρία;". 
Ακούστηκαν ποικίλες εσφαλμένες απαντήσεις με επικρατέστερη την "τρία ρίζα έξι".
Αναγκάστηκα να κάνω ένα γρήγορο  flashbach, ξεκινώντας με την ερώτηση:
"Θυμόσαστε τι σας είχα πει στο πρώτο μάθημα, όταν ήσασταν στην πρώτη Γυμνασίου;"
Εντάξει, αστειευόμουν! Υπήρχε περίπτωση να θυμάται κανείς; Θαύματα δεν γίνοντα! Εγώ, βέβαια, θυμόμουν επειδή κάνω ασκήσεις μνήμης! :)  Κυρίως  όμως θυμόμουν, επειδή έχω έναν συγκεκριμένο τρόπο "γνωριμίας με τους μαθητές" στην Α΄ Γυμνασίου! 
Στο πρώτο μάθημα τους μιλώ για τους φυσικούς αριθμούς, τους άρτιους και τους περιττούς! Τονίζω πάντα με ενθουσιασμό το πόσο τυχεροί είμαστε που χρησιμοποιούμε αυτά τα εύχρηστα ψηφία και δεν αναγκαζόμαστε να κουβαλάμε στο σχολείο πετραδάκια και χαλίκια, για να παριστάνουμε τους αριθμούς όπως οι Πυθαγόρειοι, κλπ κλπ. Και φυσικά τους λέω για τα τέλεια τετράγωνα. Τέλος, ζητώ, ως άσκηση, να γράψουν στο τετράδιό τους τα τετράγωνα των πρώτων είκοσι θετικών ακέραιων αριθμών και συνιστώ να προσπαθήσουν να τα θυμούνται... Κάνει καλό στη μνήμη! Αυτό κάνω από τότε που βρέθηκα να διδάσκω σε Γυμνάσιο. Αυτά είχα πει και στα συγκεκριμένα παιδιά, δυο χρόνια πριν, όταν τα συνάντησα για πρώτη φορά.  Κι αφού δεν θυμούνται, τα είπα και χθες, αναγκαστικά, συμπληρώνοντας φυσικά και τους άρρητους.



Μετά από πολλά παραδείγματα κατάλαβαν πώς και πότε γίνεται η πρόσθεση των άρρητων αριθμών και σήμερα το μάθημα ήταν σχεδόν απολαυστικό.


Βγήκα από την αίθουσα χαρούμενη και αισιόδοξη και πήγα να συνεχίσω με τη Β' Γυμνασίου, όπου βρίσκομαι σε ένα πολύ πολύ κρίσιμο σημείο: στον ορισμό, στη λειτουργία και στη χρήση των μεταβλητών! Είχαμε κάνει ήδη δυο μαθήματα και ολοκληρώσαμε τα δύο από τα τέσσερα είδη των ασκήσεων που περιέχει το σχολικό εγχειρίδιο, όταν διαπίστωσα πως δεν είχαν καταλάβει επαρκώς τη διαδικασία της "αναγωγής όμοιων όρων". Αρκετά λάθη, απορίες, δυσκολίες... Είναι δυσνόητη η έννοια της μεταβλητής και γενικά η χρήση των "γραμμάτων" στα Μαθηματικά, ακόμη και για παιδιά με ... προδιαγραφές. 
Αναγκάστηκα και πάλι να αλλάξω το πλάνο του μαθήματος και να επιχειρήσω μια "εκλαΐκευση" στα όρια της ... μπακαλικής! 
"Γράψτε ό,τι γράφω στον πίνακα", είπα, "κι αν δεν καταλαβαίνετε κάτι να με ρωτάτε". Γύρισα πλάτη στην τάξη - παρόλο που δεν μου αρέσει να το κάνω, αλλά πώς αλλιώς να γράψω όλες τις επεξηγήσεις, προκειμένου να καταλάβουν πώς λειτουργούν τα γράμματα και να πάψουν να τα φοβούνται; - κι άρχισα να γράφω...


"Στην Άλγεβρα χρησιμοποιούμε γράμματα που παίζουν τον ρόλο των αριθμών. Ένα γράμμα είναι ένας "γενικός αριθμός",  μια "μεταβλητή" δηλαδή μια ποσότητα ή ένα μέγεθος που οι τιμές του μεταβάλλονται, παραδείγματος χάριν το βάρος μου, ο μισθός μου, η θερμοκρασία της ατμόσφαιρας), ..."

Ακριβώς εκεί ήταν που με διέκοψε ένας μαθητής λέγοντας: 
"Δηλαδή, κυρία, μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει;"
"Ακριβώς, μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει", είπα καταβάλλοντας προσπάθεια να διατηρήσω την ψυχραιμία μου... Δεν είναι εύκολο να συνειδητοποιείς ότι προσπαθείς να διδάξεις σε παιδιά τη λειτουργία της μεταβλητής, όταν αυτά δεν κατανοούν τη σημασία του ρήματος "μεταβάλλω" και "μεταβάλλομαι".
Κι ενώ στην εποχή μας τα περισσότερα σχολεία είναι πλέον πολιπολιτισμικά και τα πάντα ραγδαία μεταβάλλονται, εμείς δεν αλλάζουμε απολύτως τίποτα στον τρόπο  που διδάσκουμε τα Μαθηματικά!
Νομίζω πως ο μικρός μαθητής που μου έκανε σήμερα το πρωί την ερώτηση: 
"Μεταβάλλεται σημαίνει αλλάζει;" έχει περισσότερες ελπίδες από μας να καταλάβει τι σημαίνει "ΑΛΛΑΖΕΙ"...



6 σχόλια:

  1. Καλή χρονιά Κατερίνα.
    Νάμαστε ...!
    Πολύ σωστά εντόπισες και ανοίγεις ένα σημαντικό πρόβλημα στην διδασκαλία των Μαθηματικών Γυμνασίου στις μέρες μας.
    Η γλώσσα
    Και δεν είναι μόνο οι όροι πχ, παραπληρωματικές, άρρητοι και τέτοια. Αυτά τα μαθαίνουν τα παιδιά διότι είναι -για τα παιδιά-νέα ακούσματα , νέοι όροι και αφού τους εξηγούμε και απαιτούμε να μαθευτούν, αφενός διότι θα εξετασθούν, αφετέρου για να συνεννοούμαστε στην τάξη ...τα μαθαίνουν . ¨Αλλοι με την πρώτη, άλλοι αργότερα.
    Όμως,
    εμεις-οι μεγάλοι- θεωρούμε ότι τα μικρά του Γυμνασίου νοιώθουν όλες τις λέξεις και πατάμε σε λάθος όρους μερικές φορές.
    Αντικείμενες ημιευθείες,
    επιμεριστικη ιδιότητα,( ωχ, ωχ )
    παράγοντας
    ...μια φορά μάλιστα έκανα το λάθος να πώ "τετριμμένη περίπτωση",... τα μικρά μου το ξεφούρνιζαν ως απάντηση σε άσχετες ερωτήσεις, πιστεύοντας ότι το τετριμμένη είναι κάτι σαν το αδύνατο, αόριστο
    άρα:
    Γηράσκω αεί διδασκόμενος.
    με την ευχή <>
    χαιρετώ.
    .
    Κωνσταντάρας Γιώργος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. με την ευχή " Να είσαι πάντα νέα στην δουλειά σου"
    Χαιρετώ
    . . .
    το έφαγε ο Δαίμων...το καλύτερο, το έφαγε!
    Κ.Γ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Σχετικά με αυτό που γράφετε για την απομνημόνευση των τετραγώνων των αριθμών 1 - 20, ένας καλός τρόπος για να βρίσκουμε εύκολα τα τετράγωνα από το 11 μέχρι 19, ίσως και χωρίς χαρτί και μολύβι, είναι με χρήση της ταυτότητας (α+β)^2 = α^2 + β^2 + 2αβ, όπου στο α αναθέτουμε πάντα την τιμή 10 και στο β αναθέτουμε τις τιμές 1, 2, 3,..., 9, σύμφωνα με την εκάστοτε ανάγκη.

    Το α^2 βγαίνει πάντα 100, το β^2 υπολογίζεται εύκολα ως τετράγωνο μονοψηφίου φυσικού, ενώ το 2αβ υπολογίζεται σχετικά εύκολα αφού είναι πάντα 20β.

    Π.χ. Εφαρμόζοντας το τέχνασμα στο 17^2, κάνουμε με τον νου τους υπολογισμούς: 17^2 = 100 + 49 + 140 = 289

    Οι μαθητές της Α' Γυμνασίου μάλλον δεν γνωρίζουν την ταυτότητα, ωστόσο όταν την μάθουν αργότερα, το παραπάνω τέχνασμα θα τους αποβεί χρήσιμο, στις περιπτώσεις που η μνήμη τους δεν τους εξυπηρετεί. Επιπλέον, η χρήση του τεχνάσματος με το νου νομίζω πως είναι μια καλή άσκηση, όσο καλή είναι και η απομνημόνευση.

    Τώρα, σχετικά με την εισαγωγή της αναπαράστασης αριθμών με γράμματα (για μεταβλητές και αγνώστους), νομίζω πως εδώ η βασική δυσκολία που έχουν οι μαθητές στην κατανόηση έγκειται στο ότι (πέρα από το ότι κάποιοι δεν ξέρουν τι σημαίνει 'μεταβάλλεται') δεν μπορούν πολύ καλά να συλλάβουν αυτήν την διαδικασία της μεταβολής της τιμής ή της 'ελευθερίας' που χαρακτηρίζει ένα γράμμα όσον αφορά την τιμή που έχει (δηλ. ότι τώρα μπορεί να είναι δ = 1, αργότερα δ = 51 και μετά δ = -34 κ.ο.κ.)

    Ίσως εδώ να βοηθάει μια ιδέα που έχει τις ρίζες της στην Πληροφορική: ότι τα γράμματα τα χρησιμοποιούμε σαν "κουτάκια" (μεταξύ μας και πιο επίσημα: καταχωρητές δεδομένων). Σε κάθε κουτάκι μπορούμε να τοποθετήσουμε, να βάλουμε (επίσημα: να αναθέσουμε) έναν αριθμό που θα μείνει εκεί για όσο θέλουμε, μέχρι να τον αλλάξουμε βάζοντας μέσα στο κουτάκι έναν καινούριο αριθμό. Κάθε κουτάκι ονομάζεται με κάποιο γράμμα π.χ. x, y, α, β...

    Είναι σημαντικό να καταλάβουν οι μαθητές ότι χρησιμοποιούμε τα γράμματα/κουτάκια, διότι μ' αυτά μπορούμε πιο εύκολα να διατυπώσουμε αλήθειες που διέπουν τα μεγέθη που χρησιμοποιούμε στα Μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες. Π.χ. αντί να λέμε με λόγια ότι το εμβαδό ενός κύκλου ισούται με το γινόμενο του αριθμού π επί την ακτίνα του κύκλου, γράφουμε τον τύπο:

    Ε = πρ^2

    Παίρνουμε έναν οποιονδήποτε κύκλο, βάζουμε στην μεταβλητή (στο κουτάκι) ρ την τιμή της ακτίνας, κάνουμε τους υπολογισμούς και τότε η μεταβλητή (το κουτάκι) Ε θα περιέχει την τιμή του εμβαδού. Παίρνουμε έναν άλλον κύκλο, βάζουμε στην μεταβλητή ρ την ακτίνα του και τότε το Ε θα περιέχει το εμβαδό του. Ο τύπος παραμένει πάντοτε ο ίδιος για όλους τους κύκλους και για όλους τους ανθρώπους που θα ασχοληθούν με το θέμα.

    Από την άλλη μεριά, στις εξισώσεις έχουμε μια σχέση ισότητας που περιλαμβάνει αριθμούς και γράμματα και αναρωτιόμαστε: Ποιόν αριθμό πρέπει να περιέχει το κουτάκι x για να ισχύει η σχέση αυτή; Το κουτάκι x είναι ελεύθερο να περιέχει όποιον αριθμό θέλει, αλλά ποιόν αριθμό ή ποιούς αριθμούς θα πρέπει να περιέχει εάν θέλουμε να ισχύει η σχέση;

    Σας ευχαριστώ για τον χρόνο σας, επειδή ήμουν εκτενής.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Εγώ θα πρέπει να σας ευχαριστήσω και για τον χρόνο σας και για τα χρήσιμα σχόλιά σας!

      Σε λίγο καιρό που θα διδάξω τις αλγεβρικές ταυτότητες στη Γ' θα τους βάλω να ξαναγράψουν στα τετράδιά τους τα τέλεια τετράγωνα των αριθμών (από το 11 ως το 20 αυτή τη φορά) με χρήση της ταυτότητας. :)

      Σας ευχαριστώ και πάλι για το εκτενές και ενδιαφέρον σχόλιο.

      Διαγραφή
  4. Να είστε καλά. Χαίρομαι που σας φάνηκαν χρήσιμα αυτά που έγραψα. :)

    ΑπάντησηΔιαγραφή