ΆπειρΟ. Τα μαθηματικά της αθανασίας.

  Ο Μάρτιος έφερε την Άνοιξη κι αυτή, μέρα τη μέρα, πρασίνισε τον τόπο. Προ ολίγου το κατάλαβα, όταν σήκωσα το βλέμμα από το βιβλίο μου, έκανα  με τα μάτια μια στροφή 43 μοιρών κι αντίκρισα μιαν ανθισμένη αμυγδαλιά, πενήντα εξήντα μέτρα απ' το παράθυρό μου. Απόρησα! Δεν γίνεται να φούντωσε έτσι μέσα σε μια ώρα ολόκληρο το δένδρο! Σιγά σιγά θα μεταλλάχθηκε, αλλά εγώ ούτε που αντιλήφθηκα ότι από ξερόδεντρο ξανάγινε νυφούλα! Και πώς να το αντιληφθώ; Δυο μήνες τώρα δεν σήκωσα κεφάλι. 

Μια οι εργασίες του μεταπτυχιακού, μια το πρόγραμμα για τα project, μια οι παράλληλες δραστηριότητες... Μια τα συλλαλητήρια και οι πορείες. Και φυσικά κάθε μέρα ανελλιπώς ο προγραμματισμός των σχολικών μαθημάτων. Πού να βρεθεί  χρόνος για να χαρώ  τον ερχομό της Άνοιξης, παρατηρώντας τα κλαδιά των δένδρων που φουντώνουν γύρω τριγύρω σε μια τόσο μικρή ακτίνα από το σπίτι μου; Από την άλλη βέβαια,  όταν οι υποχρεώσεις μου επιτρέπουν, που και που, να πάρω μιαν ανάσα, αντί να βγω έξω να μυρίσω την Άνοιξη, σπεύδω να αρπάξω κάποιο από τα βιβλία που περιμένουν στη ντάνα αδιάβαστα, να το μυρίσω, να το διαβάσω βιαστικά, να το ξεφυλλίσω, να κάνω τα φύλλα του να φτεροκοπήσουν μπροστά στα μούτρα μου, σαν λευκά πουλιά που 'ρχονται από μακριά, τιτιβίζοντας  ελπίδες και υποσχέσεις...
Έτσι έκανα και σήμερα, λίγο πριν σηκώσω το βλέμμα μου κι αντικρίσω την φουντωμένη αμυγδαλιά,  αυτήν της  παραπάνω φωτογραφίας :)

Είχα πάρει στα χέρια μου το βιβλίο του John D. Barrow, "'ΑπειρΟ Τα μαθηματικά της αθανασίας" και διάβαζα ανάκατα τα κεφάλαια. Είχα απορροφηθεί και δεν θα σήκωνα κεφάλι, αν δεν έφτανα στη σελίδα 103 όπου διάβασα για τον μεγάλο μου έρωτα, τον Bernhard Bolzano, (1781-1848), για τον οποίον έχω ξαναγράψει παλιότερα εδώ.
Αντιγράφω ένα μικρό απόσπασμα από όσα διάβασα:

"Ο Bernhard Bolzano άρχισε να μελετά τα παράδοξα του απείρου το 1847, στα 67 του χρόνια. Κατά τον Bolzano όλα τα άπειρα ήταν ίσα. Ο απλούστερος τρόπος να καταλάβουμε πώς κατέληξε σε αυτό το συμπέρασμα είναι να εξετάσουμε ένα άλλο από τα "παράδοξα", που ο Γαλιλαίος και οι μαθηματικοί του Μεσαίωνα επικαλούνταν συχνά, όταν ήθελαν να αμφισβητήσουν το λογικό υπόβαθρο της έννοιας του απείρου. Πάρτε ένα κομμάτι κλωστή και σχηματίστε ένα ημικύκλιο με διάμετρο ενός μέτρου. Φανταστείτε τώρα ότι κάτω από το ημικύκλιο παράλληλα προς τη διάμετρό του, περνάει μια άπειρη ευθεία γραμμή (βλ. Εικόνα 4.7). Όλες οι δυνατές ευθείες που ενώνουν το κέντρο του ημικυκλίου με την άπειρη ευθεία, θα τέμνουν το ημικύκλιο σε κάποιο σημείο της περιφέρειάς του. Το εκπληκτικό είναι ότι, όπως φαίνεται και στην Εικόνα 4.7, υπάρχει μια ευθεία που συνδέει κάθε σημείο της περιφέρειας του ημικυκλίου με ένα, και μόνο ένα, σημείο της άπειρης ευθείας. Επομένως, τα σημεία που συγκροτούν την περιφέρεια του ημικυκλίου πρέπει να είναι ισάριθμα με τα σημεία που αποτελούν την άπειρη ευθεία. Έστω, τώρα, ότι σχεδιάζουμε κι άλλα ημικύκλια, με το ίδιο κέντρο αλλά με μικρότερες ακτίνες. Το σύνολο όλων των ευθειών που μπορούν να χαραχτούν από το κέντρο θα διέρχονται από κάθε σημείο της περιφέρειας όλων των κύκλων και η καθεμιά ευθεία θα βρίσκεται σε αντιστοιχία με κάθε σημείο της περιφέρειας κάθε άλλου κύκλου. Επομένως, όλοι αυτοί οι κύκλοι περιέχουν στις περιφέρειες τους άπειρα σημεία και τα σημεία αυτά είναι ισάριθμα."

Κάπως δύσκολο; Ο.K.! Παραθέτω την εικόνα 4.7, την οποία έφτιαξα  με χρήση GeoGebra, για να διαφωτίσω όσους μπερδεύτηκαν, και μαζί με την εικόνα παραθέτω και την υποσημείωση που τη συνοδεύει στο βιβλίο και καθιστά απολύτως κατανοητή τη διαδικασία με την οποία η άπειρη ευθεία έρχεται σε ένα -προς - ένα αντιστοιχία με ένα πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα μήκους μόλις μιας μονάδας!!!

Εικόνα 4.7 Η ένα-προς-ένα αντιστοιχία ανάμεσα σε μια ευθεία μήκους μίας μονάδας που εκτείνεται οριζόντια από το 0 ως το 1, και σε ολόκληρη την άπειρη ευθεία από το πλην άπειρο (αριστερά) ως το συν άπειρο (δεξιά). Διαλέξτε ένα οποιοδήποτε σημείο της ευθείας που συνδέει το πλην άπειρο με το συν άπειρο. Στη συνέχεια χαράξτε μια ευθεία που να ενώνει αυτό το σημείο με το κέντρο του ημικυκλίου. Από το σημείο όπου η ευθεία αυτή τέμνει το ημικύκλιο, σχεδιάστε μια κατακόρυφη διακεκομμένη γραμμή προς ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος μεταξύ 0 και 1. Μέσω αυτής της διαδικασίας, βλέπουμε πως κάθε σημείο της αρχικής άπειρου μήκους ευθείας καταλήγει σε ένα σημείο του πεπερασμένου ευθύγραμμου τμήματος από το 0 ως το 1. (Σελ. 106)

Φανταστικό, σωστά; Με μια απλή κίνηση, μια κίνηση που μοιάζει με αναδίπλωση, κάθε σημείο της άπειρης ευθείας "ζευγαρώνει" με ένα μόνο σημείο του ημικυκλίου κι αυτό το σημείο στη συνέχεια "πέφτει" ευλαβικά, σαν σταγόνα βροχής, μέσα στο διάστημα που οριοθετείται από το μηδέν και το ένα, για να βρει εκεί την εικόνα του σε ένα άλλο μοναδικό σημείο...
Πόσο ερωτικό και πόσο ανοιξιάτικο συνάμα! Όταν πρωτοδιάβασα, μερικά χρόνια πριν, αυτή την τολμηρή και ερωτική αναδίπλωση του απείρου στο πεπερασμένο, όπως την είχε περιγράψει ο Bolzano, ένιωσα μιαν απέραντη ευγνωμοσύνη γι' αυτόν. Η φράση "Ας το αποδεχτούμε κι ας προχωρήσουμε" του Bolzano άνοιξε το δρόμο, ρίχνοντας τον τοίχο που όρθωνε το άπειρο με τα παράδοξά του  στον Γαλιλαίο και τους άλλους μαθηματικούς του Μεσαίωνα. Μια απλή παραδοχή ήταν αρκετή για νέες κατακτήσεις...Και παρόλο που ο Cantor αργότερα, με ένα ωραίο παράδειγμα, απέδειξε πως τελικά τα άπειρα δεν είναι όλα ίσα (και όμοια), ο Bolzano παραμένει για μένα ο πιο αγαπημένος ήρωας του μαθηματικού μου κόσμου, για πολλούς και διάφορους λόγους, κυρίως όμως επειδή ήταν πάντα τολμηρός, θαρραλέος και κοινωνικά δίκαιος... Γι' αυτό κάθε φορά που διαβάζω κάτι σχετικά με τον Bernhard Bolzano, νιώθω την ανάγκη να ονειροπολήσω, να συλλογιστώ, να ελπίσω, και τότε σηκώνω το βλέμμα από το ανάγνωσμα και το περιφέρω έξω από το παράθυρο, στον γαλάζιο ή στον γκρίζο ουρανό, ανάλογα με τον καιρό..
Κάπως έτσι και σήμερα, διαβάζοντας το βιβλίο του Barrow, ένιωσα την ελπίδα να φουντώνει μέσα μου και τότε, σηκώνοντας το βλέμμα, είδα την ανθισμένη αμυγδαλιά, κι είδα τον ερχομό της Άνοιξης, είδα την αναγέννηση και νόμισα πως αφουγκράστηκα την ... μπουμπουκιασμένη αθανασία, αυτήν που κρύβουν μέσα τους τα ...  Μαθηματικά του απείρου και της φαντασίας μου :)

----------------------------------------------------------------------------------------
Συμπληρωματικά παραθέτω μιαν άλλη εκδοχή της ΕΙΚΟΝΑΣ 4.7, της σελίδας 106, η οποία είναι πιο κοντά στην περιγραφή της υποσημείωσης, με την έννοια πως παίρνει ένα σημείο Κ της άπειρης ευθείας, το ενώνει με το κέντρο Ο του ημικυκλίου και οριζέται έτσι το σημείο Ρ, ως σημείο τομής του ΚΟ με το ημικύκλιο. Στη συνέχεια το Ρ προβάλλεται στο Η, το οποίο βρίσκεται -πάντα υπό περιορισμό :)-,  ανάμεσα στο 0 και στο 1...