Τα σχόλια της μαθηματικού κυρίας Μαλβίνας Παπαδάκη* το βιβλίο μου "Ο Γιάννης που αγάπησα" έχουν βαρύνουσα σημασία, αφενός λόγω της πολυετούς της εμπειρίας και αφετέρου λόγω της ενασχόλησής της με μια ευρύτατη θεματολογία που αφορά τη Διδακτική των Μαθηματικών, από τη συμβολή της Ιστορίας των Μαθηματικών στη διδασκαλία τους έως και τη διδασκαλία Μαθηματικών με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές.
Γι' αυτό, πιστεύοντας ότι όσα γράφει θα συμβάλλουν στον ευρύτερο διάλογο για τη βελτίωση της παρεχόμενης μαθηματικής εκπαίδευσης, δημοσιεύω το κείμενο που μου έστειλες χθες και για το οποίο θερμά την ευχαριστώ.
Γι' αυτό, πιστεύοντας ότι όσα γράφει θα συμβάλλουν στον ευρύτερο διάλογο για τη βελτίωση της παρεχόμενης μαθηματικής εκπαίδευσης, δημοσιεύω το κείμενο που μου έστειλες χθες και για το οποίο θερμά την ευχαριστώ.
"Αγαπητή Κατερίνα
Διαβάζοντας το ωραίο βιβλίο σου, «Ο Γιάννης που αγάπησα Ιστορίες ανατροπής στην τάξη των Μαθηματικών» απόλαυσα τους ζωντανούς διαλόγους που μεταφέρει. Τους διαλόγους που ζει κανείς όταν διδάσκει στην τάξη, που είναι μοναδικοί, δεν επαναλαμβάνονται γιατί είναι αποτέλεσμα της στιγμής, εξαρτώνται τόσο πολύ από το ίδιο το μάθημα, τη σχέση που έχει αποκαταστήσει κάθε δάσκαλος με τους μαθητές του …
Διαβάζοντας, λοιπόν, το βιβλίο έκανα κάποιες σκέψεις που θα ήθελα να μοιραστώ μαζί σου. Τις παρακάτω:
α) Τα ερωτήματα που θέτεις στο κεφάλαιο «Πού υπάρχει λάθος» σελ 131, με έχουν βέβαια απασχολήσει και εμένα, όπως χιλιάδες ακόμα δάσκαλους μαθηματικών, ερευνητές της διδακτικής ή μη.
άρχισα να ανακαλύπτω ότι δεν βλέπουμε όλοι τις παραστάσεις, τις αλγεβρικές κυρίως, με τον ίδιο τρόπο. Γιατί δεν βλέπουμε τις ίδιες πράξεις!
Στις αριθμητικές παραστάσεις, όσο πολύπλοκες και αν είναι, πράξεις γίνονται παντού και πάντα. Πολλές φορές οι παρενθέσεις και η επιμεριστική υπάρχουν χωρίς λόγο, για να δυσκολεύουν τα πράγματα. Στις αλγεβρικές όμως;
Παρατηρώντας, έτσι, λίγο πιο προσεκτικά, άρχισα να ανακαλύπτω ότι οι μαθητές μας δεν βλέπουν τις ίδιες με εμάς πράξεις. Ξεκίνησα, λοιπόν, να ρωτώ: «Ποιες πράξεις βλέπετε εδώ;» Οι απαντήσεις που έπαιρνα με έκαναν να καταλάβω μια άλλη πλευρά, που δεν είχα δει μέχρι τότε. Για παράδειγμα:
Στην παραπάνω ερώτηση για την παράσταση 2x+1, τι βλέπετε, οι μαθητές θα απαντήσουν ότι βλέπουν ισότιμα ένα πολλαπλασιασμό και μία πρόσθεση, αλλά και στην παράσταση 2(x+1) βλέπουν πάλι πολλαπλασιασμό και πρόσθεση. Στις αλγεβρικές παραστάσεις άλλωστε ο κανόνας πρώτα οι πολλαπλασιασμοί και μετά οι προσθέσεις»δεν δουλεύει πάντα. Γιατί πώς να εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό 2xαφού είναι ήδη έτοιμο το γινόμενο: 2x
Αν οι μαθητές, λοιπόν βλέπουν στις παραστάσεις πράξεις όπως προηγουμένως, εμείς ποιες πράξεις βλέπουμε αντίστοιχα; Όταν έθεσα αυτό το ερώτημα στον εαυτό μου, αιφνιδιάστηκα. Εμείς έχουμε εκπαιδευτεί να βλέπουμε στην μεν 2x+1 ένα άθροισμα, ενώ στην άλλη 2(x+1) βλέπουμε ένα γινόμενο. Δεν πρόκειται δηλαδή για λάθος στη σειρά των πράξεων όπως συνηθίζουμε να πιστεύουμε, αλλά για λάθος στην αναγνώριση των πράξεων.
Πρόκειται επομένως για ένα φαινόμενο που έχει σχέση με τα σύμβολα – γράμματα και όσα σιωπηλά εννοούμε χωρίς να τα κουβεντιάζουμε. Κάτι αντίστοιχο με αυτό που εξαιρετικά περιγράφεις ότι στα μαθηματικά διαβάζουμε 2 επί άλφα επί βήτα και όχι το διπλάσιο του αβ, ως εάν διαβάζαμε τη λέξη, λέξη, ως «λάμδα έψιλον ξι ήττα».
β) Στην σελίδα 193 αναρωτιέσαι «πόσο δυσκολεύονται να κατανοήσουν μια εκφώνηση, ακόμη και στις πιο απλές περιπτώσεις» Εκφώνηση ενός γεωμετρικού θέματος, εννοείται.
Εμπειρικές παρατηρήσεις χρόνων στη διδασκαλία της Γεωμετρίας που αγαπούσα και αγαπώ, με έχουν οδηγήσει στο πιο κάτω συμπέρασμα:
Ένας από τους λόγους που οι μαθητές όλο και περισσότεροι, ακόμα και οι καλοί στα Μαθηματικά δεν καταφέρνουν να κατανοήσουν την εκφώνηση, να αναγνωρίσουν στην πραγματικότητα τα δεδομένα και τα ζητούμενα, είναι ότι δεν τους ζητείται πια να κατασκευάσουν, μόνοι τους, με γεωμετρικά όργανα το σχήμα. Το έτοιμο τέλειο σχήμα που δίνεται στις εξετάσεις, σε φωτοτυπίες, βρίσκεται στις σελίδες των βιβλίων, είναι ο ένοχος του προβλήματος που εντοπίζεις.
Πολλοί παιδαγωγοί έχουν μιλήσει για την σχέση που συνδέει το χέρι με το μυαλό. Με αποκορύφωμα την Μαρία Μοντεσόρι. Και οι γεωμετρικές κατασκευές, όπως και η γραφή γενικότερα τις νοητικές λειτουργίες οξύνει και καλλιεργεί. Ένας από τους λόγους για τους οποίους η τεχνολογία δεν πρέπει να χρησιμοποιείται ως πανάκεια.
Με τα σχόλια αυτά θέλω πάλι να σε συγχαρώ για το βιβλίο, για την ζωντανή αφήγηση πάνω και πέρα από όλα, όπως γράφει στο επίμετρο και ο Γιάννης Θωμαΐδης.
Μαλβίνα Παπαδάκη"
___________________________________________________
*Σύντομο βιογραφικό
*Σύντομο βιογραφικό
Γεννήθηκε στο Ρέθυμνο, Κρήτης
Σπούδασε Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Αθηνών.
Μεταπτυχιακό δίπλωμα MSc στο University of Illinois at Urbana Champaign, USA
Επί 35 χρόνια καθηγήτρια σε δημόσια σχολεία, Γυμνάσια και Λύκεια
Μέλος της Συντακτικής επιτροπής του περιοδικού της ΕΜΕ Ευκλείδης α΄
κα. Καλφοπούλου, καλημέρα σας.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιατί καταργείτε τα δυαλυτικά;
Γράψατε: Θωμαίδης.
Μην το κάνετε. Και να το επισημαίνετε όπου βλέπετε να γίνεται.
Ευχαριστώ για την προσοχή σας!
Με Εκτίμηση,
Παναγιώτης Ευθυμιάδης.