Τα λάθη των μαθητών στα Μαθηματικά έχουν μελετηθεί πολύ και από πολλούς. Έχουν αναλυθεί, έχουν κατηγοριοποιηθεί, έχει προταθεί η αξιοποίησή τους στη διδασκαλία, κι όλα αυτά σε τόσο μεγάλη έκταση και σε τόσο βάθος, που θα πίστευε κανείς ότι αν ένας εκπαιδευτικός ασχοληθεί εκτενώς με το θέμα σε θεωρητικό και σε πρακτικό επίπεδο θα μπορεί στη συνέχεια να τα διαχειρίζεται, να τα προβλέπει, να τα προκαλεί, να τα αξιοποιεί και, εν τέλει, να τα εξαλείφει ή έστω να τα περιορίζει.
Κι εγώ ασχολήθηκα με το θέμα επισταμένως, έκανα μια έρευνα σε θεωρητικό επίπεδο, έκανα δυο τρεις πρακτικές έρευνες και, κατά συνέπεια, κάποιες σχετικές δημοσιεύσεις, οπότε έφτασα στο σημείο να θεωρώ τις μεθόδους μου αποτελεσματικές στον τρόπο διαχείρισης των λαθών για ένα μεγάλο μέρος των μαθητών μου, τουλάχιστον για όσους ανήκουν στις "ιάσιμες" περιπτώσεις.
Στις "ιάσιμες" περιπτώσεις θεωρώ ότι ανήκουν όσοι από τους μαθητές επιθυμούν να βελτιωθούν και προσπαθούν συνειδητά να το πετύχουν, μελετώντας και κοπιάζοντας, οπότε, όταν έχουν την κατάλληλη παρακολούθηση και υποστήριξη, (εφόσον το επιτρέπουν οι συνθήκες) το πετυχαίνουν, άλλοι λιγότερο και άλλοι περισσότερο.
Βέβαια, η εμπειρία μου περιορίζεται στις Λυκειακές τάξεις. Αλλά οι ελπίδες βελτίωσης μετά την πρώτη χρονιά στο Λύκειο σχεδόν εκμηδενίζονται, με αποτέλεσμα οι "ιάσιμες" περιπτώσεις στη Β' και Γ' να είναι συνήθως πιο σπάνιες και από τους ... τέλειους αριθμούς! (Τέλειος αριθμός λέγεται ο αριθμός που ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του. Σχετική ανάρτηση εδώ).
Το όλο πρόβλημα διογκώνεται ακόμη περισσότερο, όταν στην τρίτη τάξη τρέχουμε για να ολοκληρώσουμε μια ύλη που στηρίζεται σε έναν τεράστιο όγκο προαπαιτούμενων γνώσεων. Και ακόμη μεγαλύτερη δυσκολία προκαλεί το γεγονός πως η ύλη αυτή στηρίζεται σε ένα συγκεκριμένο τρόπο επαγωγικής ή παραγωγικής σκέψης, που είναι εντελώς, μα εντελώς άγνωστος ειδικά στους, ας τους πούμε, αγύμναστους μαθητές.
Σε αυτό το συμπέρασμα έχω καταλήξει φέτος από τα απίθανα και επαναλαμβανόμενα λάθη των μαθητών μου.
Στην Α' και Β' Λυκείου οι μαθητές υπόκεινται συχνά σε σύντομη γραπτή εξέταση, που αντικαθιστά τη χρονοβόρα και αναποτελεσματική εξέταση στον πίνακα. Τα τεστ είναι πάντα προειδοποιημένα και τα θέματα είναι ακριβώς ίδια με τα παραδείγματα που έχουμε κάνει στα δύο ή και τρία μαθήματα πριν την εξέταση, σε μια μόνο παράγραφο. Οι περισσότεροι μαθητές δέχονται την εξέταση αδιαμαρτύρητα, επειδή, όπως έχουμε συμφωνήσει, η διαδικασία αποσκοπεί στην αυτοαξιολόγηση και στην προσπάθεια να βελτιωθούμε ένθεν κακείθεν. Βελτιωνόμαστε όμως; Η αλήθεια είναι ότι κάποια φιλότιμα παιδιά, που συμμερίζονται την αγωνία μου και την προσπάθειά μου, στρώνονται στο διάβασμα και καταφέρνουν να μάθουν(;) τα παραδείγματα τόσο καλά, ώστε τα γράφουν -σχεδόν άριστα- στο τεστ, με τη διαφορά πως στο τεστ τα "νούμερα" είναι -αναγκαστικά- διαφορετικά από ότι στα παραδείγματα κι άρα η λύση των μαθητών είναι σωστή μεν, αλλά για άλλη εκφώνηση! Αυτό το φαινόμενο παρατηρείται από την αρχή της χρονιάς και με έχει αναγκάσει, τουλάχιστον στη Γ' Λυκείου, να καταφύγω σε μεταγνωστικές προσεγγίσεις, για να βοηθήσω τα παιδιά, να ξεπεράσουν τις παρανοήσεις τους.
Χθες, ας πούμε, όταν στα Μαθηματικά Επιλογής κάναμε μονοτονία και ακρότατα [Μαθηματικά Επιλογής στο ΕΠΑΛ είναι τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας του ΓΕΛ] συνέβη το εξής αξιοσημείωτο περιστατικό. Όταν ζήτησα να αποδείξουν ότι η συνάρτηση f(x)=x^3+1 δεν έχει ακρότατα, μετά από λίγο μια μαθήτρια σχεδόν ενθουσιασμένη μου είπε: "Κυρία, να σας δείξω τι έκανα;". Είδα το τετράδιό της και προσπάθησα να καταλάβω τι ακριβώς είχε κάνει, χωρίς να τα καταφέρνω.
Είχε γράψει f' (x) = -3*2*x. "Πώς το βρήκες αυτό;", ρώτησα. "Αμάν πια, κυρία! Μια φορά έκανα κι εγώ κάτι μέχρι το τέλος και δεν είναι σωστό! Τι πού το βρήκα!? Εδώ το βρήκα!", μου είπε δείχνοντας μου την προ-προηγούμενη άσκηση, που ήταν μια άσκηση από το σχολικό βιβλίο και είχαν να την κάνουν, για εξάσκηση στο σπίτι. Είχε αντιγράψει ακριβώς τα ίδια νούμερα. Προσπάθησα να της εξηγήσω ότι για να υπολογίσει την παράγωγο μιας συνάρτησης θα πρέπει να βρει το "γενικό τύπο" από τη λίστα των παραγώγων και να τον εφαρμόσει στην ειδική περίπτωση της συνάρτησης που παραγωγίζει. Έκανα ένα σχήμα περίπου τέτοιο στο τετράδιό της.
Το παιδί με κοίταζε με μάτια διάπλατα. "Μπορείτε να τα πείτε πιο απλά, κυρία;" με ρώτησε.
Στις "ιάσιμες" περιπτώσεις θεωρώ ότι ανήκουν όσοι από τους μαθητές επιθυμούν να βελτιωθούν και προσπαθούν συνειδητά να το πετύχουν, μελετώντας και κοπιάζοντας, οπότε, όταν έχουν την κατάλληλη παρακολούθηση και υποστήριξη, (εφόσον το επιτρέπουν οι συνθήκες) το πετυχαίνουν, άλλοι λιγότερο και άλλοι περισσότερο.
Βέβαια, η εμπειρία μου περιορίζεται στις Λυκειακές τάξεις. Αλλά οι ελπίδες βελτίωσης μετά την πρώτη χρονιά στο Λύκειο σχεδόν εκμηδενίζονται, με αποτέλεσμα οι "ιάσιμες" περιπτώσεις στη Β' και Γ' να είναι συνήθως πιο σπάνιες και από τους ... τέλειους αριθμούς! (Τέλειος αριθμός λέγεται ο αριθμός που ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του. Σχετική ανάρτηση εδώ).
Το όλο πρόβλημα διογκώνεται ακόμη περισσότερο, όταν στην τρίτη τάξη τρέχουμε για να ολοκληρώσουμε μια ύλη που στηρίζεται σε έναν τεράστιο όγκο προαπαιτούμενων γνώσεων. Και ακόμη μεγαλύτερη δυσκολία προκαλεί το γεγονός πως η ύλη αυτή στηρίζεται σε ένα συγκεκριμένο τρόπο επαγωγικής ή παραγωγικής σκέψης, που είναι εντελώς, μα εντελώς άγνωστος ειδικά στους, ας τους πούμε, αγύμναστους μαθητές.
Σε αυτό το συμπέρασμα έχω καταλήξει φέτος από τα απίθανα και επαναλαμβανόμενα λάθη των μαθητών μου.
Στην Α' και Β' Λυκείου οι μαθητές υπόκεινται συχνά σε σύντομη γραπτή εξέταση, που αντικαθιστά τη χρονοβόρα και αναποτελεσματική εξέταση στον πίνακα. Τα τεστ είναι πάντα προειδοποιημένα και τα θέματα είναι ακριβώς ίδια με τα παραδείγματα που έχουμε κάνει στα δύο ή και τρία μαθήματα πριν την εξέταση, σε μια μόνο παράγραφο. Οι περισσότεροι μαθητές δέχονται την εξέταση αδιαμαρτύρητα, επειδή, όπως έχουμε συμφωνήσει, η διαδικασία αποσκοπεί στην αυτοαξιολόγηση και στην προσπάθεια να βελτιωθούμε ένθεν κακείθεν. Βελτιωνόμαστε όμως; Η αλήθεια είναι ότι κάποια φιλότιμα παιδιά, που συμμερίζονται την αγωνία μου και την προσπάθειά μου, στρώνονται στο διάβασμα και καταφέρνουν να μάθουν(;) τα παραδείγματα τόσο καλά, ώστε τα γράφουν -σχεδόν άριστα- στο τεστ, με τη διαφορά πως στο τεστ τα "νούμερα" είναι -αναγκαστικά- διαφορετικά από ότι στα παραδείγματα κι άρα η λύση των μαθητών είναι σωστή μεν, αλλά για άλλη εκφώνηση! Αυτό το φαινόμενο παρατηρείται από την αρχή της χρονιάς και με έχει αναγκάσει, τουλάχιστον στη Γ' Λυκείου, να καταφύγω σε μεταγνωστικές προσεγγίσεις, για να βοηθήσω τα παιδιά, να ξεπεράσουν τις παρανοήσεις τους.
Χθες, ας πούμε, όταν στα Μαθηματικά Επιλογής κάναμε μονοτονία και ακρότατα [Μαθηματικά Επιλογής στο ΕΠΑΛ είναι τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας του ΓΕΛ] συνέβη το εξής αξιοσημείωτο περιστατικό. Όταν ζήτησα να αποδείξουν ότι η συνάρτηση f(x)=x^3+1 δεν έχει ακρότατα, μετά από λίγο μια μαθήτρια σχεδόν ενθουσιασμένη μου είπε: "Κυρία, να σας δείξω τι έκανα;". Είδα το τετράδιό της και προσπάθησα να καταλάβω τι ακριβώς είχε κάνει, χωρίς να τα καταφέρνω.
Είχε γράψει f' (x) = -3*2*x. "Πώς το βρήκες αυτό;", ρώτησα. "Αμάν πια, κυρία! Μια φορά έκανα κι εγώ κάτι μέχρι το τέλος και δεν είναι σωστό! Τι πού το βρήκα!? Εδώ το βρήκα!", μου είπε δείχνοντας μου την προ-προηγούμενη άσκηση, που ήταν μια άσκηση από το σχολικό βιβλίο και είχαν να την κάνουν, για εξάσκηση στο σπίτι. Είχε αντιγράψει ακριβώς τα ίδια νούμερα. Προσπάθησα να της εξηγήσω ότι για να υπολογίσει την παράγωγο μιας συνάρτησης θα πρέπει να βρει το "γενικό τύπο" από τη λίστα των παραγώγων και να τον εφαρμόσει στην ειδική περίπτωση της συνάρτησης που παραγωγίζει. Έκανα ένα σχήμα περίπου τέτοιο στο τετράδιό της.
Αποφάσισα, με την ευκαιρία που μου δινόταν να εξηγήσω με απλά λόγια σε όλο το τμήμα τη διαφορά μεταξύ "επαγωγικού" και "παραγωγικού" συλλογισμού. Τους εξήγησα και πώς θα σκέφτονται "απλά", για να παραγωγίζουν σωστά, περνώντας από την ειδικό τύπο της συνάρτησης που έχουν να παραγωγίσουν στο γενικό τύπο, να τον εφαρμόζουν στην ειδική περίπτωση, κλπκλπ. Και φυσικά όλα αυτά τα λέγαμε για σχεδόν νιοστή φορά (με το ν να τείνει στο άπειρο...).
Η Μ, μια από τις μαθήτριες που προσπαθούν, κυριολεκτικά κρεμόταν από τα χείλη μου. "Αν καταλάβει έστω και ένα παιδί τον τρόπο σκέψης, κάτι θα έχω πετύχει", σκέφτηκα για να δώσω κουράγιο στον εαυτό μου και να μην καταρρεύσω...
Μετά από λεπτομερή και με όσο το δυνατόν απλούστερα λόγια εξήγηση της διαδικασίας (για απειροστή φορά, το τονίζω), τους πρότεινα να ξαναδούν πιο προσεκτικά την άσκηση που τους είχα βάλει και να τη λύσουν χωρίς να αντιγράψουν τη λύση της προηγούμενης άσκησης, επειδή τώρα η συνάρτηση έχει διαφορετικό τύπο. Μετά από αρκετή ώρα η Μ. τέλειωσε και με φώναξε. Πήγα να δω το τετράδιό της, με μιαν ελπίδα να τρεμοπαίζει στην καρδιά... Στη θέα της λύσης της η καρδιά μου, προς στιγμή, σταμάτησε να χτυπά... Το χέρι μου αυτόματα διέγραψε δυο γραμμές. Αμέσως το μετάνιωσα. Τα λάθη της, πέρα από κάθε αμφιβολία, αποκαλύπτουν τα αιτία της ... ανήκεστου βλάβης στον τρόπο της μαθηματικής -και όχι μόνο- σκέψης μιας μεγάλης μερίδας μαθητών.
Αποκαλύπτεται πλήρης αδυναμία γενίκευσης, αφαίρεσης, αναλογίας, εφαρμογής, λύσης, επίλυσης και εντέλει ίασης του προβλήματος.
Αποκαλύπτεται πλήρης αδυναμία γενίκευσης, αφαίρεσης, αναλογίας, εφαρμογής, λύσης, επίλυσης και εντέλει ίασης του προβλήματος.
Η λύση της άσκησης 1ii είναι αυτή που μου είχε δείξει η πρώτη μαθήτρια, όταν ρωτήθηκε πώς βρήκε ότι η παράγωγος της f(x)=x^3+1 είναι -3*2*x. Από κει την είχε αντιγράψει.
Όσο για τη Μ., αφού είχε ακούσει πολύ προσεκτικά όσα είχα πει περί επαγωγικής-παραγωγικής και αναλογικής σκέψης, για να υπολογίσει τη μονοτονία και τα ακρότατα της f(x)=x^3+1, αντέγραψε τις παραγώγους των συναρτήσεων και των δύο προηγούμενων ασκήσεων.
Οι συγκεκριμένοι μαθητές, όπως και όλοι οι μαθητές, απαιτείται να διδαχτούν και το επόμενο κεφάλαιο, τα ολοκληρώματα, και να τελειώσουν την ύλη, παλεύοντας με έναν αμείλικτο μαθηματικό φορμαλισμό, που δεν τους βοηθάει σε τίποτε και τους γεμίζει απογοήτευση, παρόλες τις φιλότιμες προσπάθειές μου και τις δικές τους προσπάθειες. Και με γεμίζει απογοήτευση κι εμένα. Γιατί υποχρεώνουμε τους αδύναμους μαθητές να ασχολούνται με τόσο δύσκολες μαθηματικές διεργασίες, αποστραγγίζοντάς την πίστη στον εαυτό τους, στις δυνατότητές τους και στο μέλλον τους;
Μπορεί τα λάθη που κάνουν οι μαθητές στα Μαθηματικά να έχουν μέχρι τώρα μελετηθεί σε βάθος και σε πλάτος, αλλά, τελικά, όπως δείχνουν τα πράγματα δεν είναι δυνατόν να τα διαχειριστεί κάποιος αποτελεσματικά, αν δεν αλλάξουν πρώτα οι εκπαιδευτικές δομές μας ριζικά.
Γιατί σ' αυτές βρίσκονται θαμμένα τα αίτια του επαναλαμβανόμενου λάθους...
Γιατί σ' αυτές βρίσκονται θαμμένα τα αίτια του επαναλαμβανόμενου λάθους...
Πιθανολογώ ότι δεν έχει καταλάβει τίποτα από αφηρημένη σκέψη, τύπους, μεταβλητές. Γενικά η σκέψη του μαθητή είναι απλή αντιγραφή και μίμηση.Επίσης μπερδεύει την παράγωγο με την ίδια τη συνάρτηση. Γενικά το λάθος προέρχεται από παρανοήσεις, προκαταλήψεις που στοιχειώνουν τη σκέψη του μαθητή. Πρέπει να χρησιμοποιούμε το λάθος για να στεριώνουμε το σωστό.Κυρίως όταν παραδίδουμε έναν ορισμό ή μια πρόταση πρέπει να ξεκινάμε από το τι δεν είναι πρώτα ένα πράγμα παρά από τι είναι. Επίσης χρήσιμο είναι κατά την παράδοση να κάνουμε συνειδητά λάθη που να τα διορθώνουν οι μαθητές. Παραδείγματα ακλόνητων παρανοήσεων είναι ότι το 3^2 είναι το 3Χ2. ¨Αλλο παράδειγμα είναι ότι το κλάσμα μεγαλώνει όταν μεγαλώνουν οι όροι του. Στα γραπτά που μας έδειξες κλασική παρανόηση είναι το -x σημαίνει ότι ο x είναι αρνητικός.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτράτο καλησπέρα!
ΔιαγραφήΕίχα κάνει παλιότερα μια έρευνα γύρω από τα επαναλαμβανόμενα λάθη των μαθητών. Σε μια σχετική έρευνα υπήρχε μια αναφορά σε μια άλλη έρευνα που είχε γίνει το 1910 στην Αμερική, όπου μεταξύ των επαναλαμβανόμενων λαθών εμφανιζόταν το λάθος που αναφέρεις παραπάνω, καθώς και το (α+β)^2=α^2+β^2. Πάντως φέτος στο ΕΠΑΛ βρίσκομαι μπροστά σε πολύ μεγαλύτερες δυσκολίες από αυτές που είχα να αντιμετωπίσω τα προηγούμενα χρόνια. Πιστεύω ότι δεν θα έπρεπε να διδάσκονται τα ίδια Μαθηματικά στο Γενικό και στο Επαγγελματικό Λύκειο. Το ίδιο αφηρημένα και χωρίς αναφορικό πλαίσιο. Στο ΕΠΑΛ θα ήταν πιο χρήσιμα κάποια εφαρμοσμένα Μαθηματικά, συνδυασμένα με τις διάφορες ειδικότητες των μαθητών..
Aγαπητοί φίλοι,συνταξιοδοτήθηκα τον Σεπ.2009,και θέλω να σας πω τι έγκλημα έχει γίνει με τα νέα βιβλία που μπήκαν τότε στο Γ/σιο(το διαπίστωσα όταν χρειάσθηκε πρόσφατα να βοηθήσω δύο αδελφάκια Γ'Γυμν/σιου και Γ' Λυκείου)....Οι μαθητές του Γ/σιου ΔΕΝ μαθαίνουν καθόλου σχεδόν τις πράξεις με τους ρητούς αριθμούς-είναι στο τέλος της ύλης της Α' με πολύ υποτυπώδεις ασκήσεις...Παλιά ,το βιβλίο της Β' Γ/σιου(Αλιμπινίση κλπ)είχε ένα ολόκληρο πλήρες κεφάλαιο για το θέμα αυτό που επέτρεπε σε έναν καθηγητή να κάνει σωστά την δουλειά του....συν το γεγονός ότι κατά μέσο όρο τα παιδιά στα 14 αρχίζουν να διαχειρίζονται νοητικά την αφαίρεση, τις αφηρημένες έννοιες -κατά Piaget-...προσωπικά έτρωγα δύο μήνες πριν μπω στις εξισώσεις,στις οποίες εφάρμοζα όσα είχα πει στο πρώτο κεφάλαιο... ...θυμάμαι,την τελευταία μου χρονιά το 2008-09, εγώ έκανα στην Α΄και στην Β' έκανε συνάδελφος νέος που είχε έλθει με απόσπαση από Λύκειο...τον πιάνω και του λέω "μη διανοηθείς να παραδόσεις εξισώσεις...τα παιδιά δεν έχουν διδαχθεί καθόλου πράξεις, δυνάμεις, προτεραιότητα πράξεων, χρήση παρενθέσεων στους ρητούς(σημειωτέον ότι τα προηγούμενα έτη ήμουν αποσπασμένη αλλού-σε πειραματικό-....ο άνθρωπος, φάνηκε έκπληκτος...μία εβδομάδα αργότερα ήρθε διαταγή από το υπουργείο να διδαχθούν τα αντίστοιχα κεφ. που υπήρχαν στο βιβλίο -το νέο-της Α' γ/σιου Είναι έγκλημα αυτό που γίνεται...τα παιδιά, χωρίς τριβή στις απλές πράξεις κλπ, δυσκολεύονται και καταλήγουν να μισούν τα μαθηματικά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν έχω διδάξει σε Γυμνάσιο, θεωρώ όμως ότι εκεί μπαίνουν ή δεν μπαίνουν οι σωστές βάσεις. Ελάχιστα παιδιά στην Α' Λυκείου καταφέρνουν να καλύψουν το έδαφος και να κατανοήσουν έννοιες και διαδικασίες που έπρεπε να έχουν αφομοιώσει στο Γυμνάσιο. Τα περισσότερα από όσα έρθουν στο Λύκειο με αδυναμίες και παρανοήσεις, ακριβώς όπως το λες, καταλήγουν να μισούν τα μαθηματικά.
ΔιαγραφήΕπειδή εγώ κάνω τα τελευταία χρόνια γυμνάσιο και είμαι πολύ ευτυχής γι αυτό νομίζω ότι μπορώ να διατυπώσω μια γνώμη. Τα βιβλία τα καινούργια --σχετικά- έχουν πολλές αδυναμίες αλλά νομίζω ότι είναι καλύτερα από τα πιο παλιά παρ' όλο που δεν τα έχω δουλέψει τόσο πολύ τα παλιά. Κυρίως στα κλάσματα έχω διαπιστώσει ασάφειες, και παραβίαση της διάταξης των ιδιοτήτων πράξεων. Βασικά το πρόβλημα υπάρχει στην Α γυμνασίου διότι δεν είναι σίγουρο τι ακριβώς κάνουν στην έκτη δημοτικού. Έτσι κι αλλιώς το να παραδόσεις κλάσματα και να γίνουν κατανοητά πιστεύω ότι είναι πιο δύσκολο από το να παραδώσεις ολοκληρώματα στη γ λυκείου. Εκεί που διαπιστώνω μεγάλα γνωστικά εμπόδια είναι στο πέρασμα στην ευθεία των αριθμών, στο κλάσμα κλάσματος ή αριθμού και στα καταχρηστικά κλάσματα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓενικά λένε ότι τα βιβλία είναι γραμμένα από διδακτικούς οι οποίοι δεν είναι και πολύ εξασκημένοι στα μαθηματικά.
Για να μην κουράσω, θα ήθελα να συμπληρώσω ότι πράγματι οι γυμνασιακές τάξεις είναι σπουδαίες στο να δώσουν έναυσμα, έμπνευση, αγάπη για το μάθημα αρκεί να μη γίνουν ρουτίνα, τυπολατρεία, πλήξη...