Πέμπτη, 18 Ιανουαρίου 2018

Η ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Φύσηξε, φύσηξε, φύσηξε, τα πήρε και τα σήκωσε... Όλο το βράδυ λυσομανούσε ο βοριάς και   στο μπαλκόνι πήγαιναν κι έρχονταν διάφορα θορυβώδη αντικείμενα κι ακούγονταν τρεχαλητά που δεν μας άφησαν να χορτάσουμε τον ύπνο μας. Χαρήκαμε όμως το πρωί, από την καθαρότητα της μέρας. Εγώ, τουλάχιστον, χάρηκα πολύ επειδή απ' το παράθυρό μου αντίκρυσα τον Όλυμπο να λαμπυρίζει πασπαλισμένος με τα χιόνιά του. Επιτέλους! 

Δέκα μέρες τώρα το πρωί δεν έβλεπα στα τρία μέτρα. Έξω από το παράθυρο σαν τοίχος η ομίχλη. Ντουβάρι αδιαπέραστο. Αυτή η θεσσαλονικιώτικη ομίχλη, που αλλάζει το τοπίο, που καθηλώνει τα αεροπλάνα στο έδαφος, που ακυρώνει τα ταξίδια των ανθρώπων, που κάνει τους οδηγούς να κόβουν ταχύτητα και να σφίγγουν τα δόντια, που αναβάλλει τα σχέδια των μικρών και των μεγάλων. Δέκα μέρες μούλιασε το κοκκαλάκι μας, σε μια πόλη που έλιωνε μέσα σε κόσμο απόκοσμο. Η θάλασσα κι ο ουρανός αδιαχώριστα. Να μη βρίσκει το βλέμμα κάτι στεγνό να ακουμπήσει πάνω του. Βροχή παντού και ας μην πέφτει ούτε σταγόνα. Πώς το αντέχουν αυτοί που ζούνε στον Βορά, τούτο το υγρό μαρτύριο; 
Εμένα με κουράζει. Με εξαντλεί. Με λιώνει. Ακόμη και το μάθημα μοιάζει να επιβραδύνεται. Χάνεται η λάμψη στο βλέμμα των παιδιών. Τη σβήνει η ομίχλη που ακουμπάει στο τζάμι, όσο εμείς κοπιάζουμε στην υγρή γνώση και στην αβέβαιη κατανόηση του πώς και του γιατί των Μαθηματικών. Διαφοροποιημένη διδασκαλία. Ποιος είναι ο σκοπός, πώς επιμερίζονται οι στόχοι, ποια μέθοδος θα επιφέρει το καλύτερο αποτέλεσμα; Πόσα παιδιά; Πόσες διαφορετικές απαντήσεις; Πόσα λάθη, διαχειρίσιμα και μη;

Στην Α' Γυμνασίου, γράφω στον πίνακα μια παράσταση της μορφής: 3*2-4+12:3.
"Πόσους όρους έχει;", ρωτάω.
Πέντε! Τρεις! Τέσσερις! Τέσσερις! Τρεις! Πέντε!
"Ποιοι είναι οι τρεις όροι, Ν.;", ρωτάω τον Ν., που φαίνεται να διακατέχεται από βεβαιότητα. "Το επί, το πλην και το συν", μου απαντάει.
Φύσηξε αέρας στα μηνίγγιά μου...
Πάμε πάλι απ' την αρχή. "Πώς λέγεται το "α+β"; Λέγεται άθροισμα και οι αριθμοί α και β, πώς λέγονται; Λέγονται όροι του αθροίσματος... Γράψτε...".

Τα είχαμε γράψει και παλιότερα. Φαίνεται πως δεν αρκεί, κι ας τα χρησιμοποιούμε συνέχεια.
"Θα αγοράσετε ένα μικρό τετράδιο, θα το λέμε "γλωσσάρι των Μαθηματικών" και θα γράφετε τις καινούριες λέξεις! Και όσες σας φαίνονται καινούριες...".
Είναι από κείνες τις φορές που - θα το πω κι αυτό - απελπίζομαι. Σαν να μην υπάρχει ελπίδα καμιά. Κάθε χρόνο και πιο δύσκολα. Πού πήγε η μνήμη των παιδιών; Χάθηκε! Την κατάπιε η ομίχλη! Μαζικά; Δεν αρκούν αυτά που έκανα μέχρι τώρα. Χρειάζεται κάτι περισσότερο. Πώς ορίζεται αυτό το "περισσότερο"; Από τι οριοθετείται; Πού οφείλεται η μικρότερη κατά μέσο όρο επίδοση; Πώς λειτουργεί η μνήμη αυτών των παιδιών; Σχετίζεται το πρόβλημα με την επικράτηση της οθόνης και την αλόγιστη χρήση της τεχνολογίας; Φταίει που το βιβλίο δεν είναι μέρος της εκτός τάξης ζωής τους;
Φταίω εγώ που δεν έχω κατανοήσει σε βάθος τον "ριζοσπαστικό κονστροκτουβισμό" και πιθανόν δεν τον εφαρμόζω κατά πως πρέπει;
Αν είναι αυτό το φταίξιμο, τότε πώς να εξηγήσω που χρόνια πριν μάθω για θεωρίες μάθησης και εκπαιδευτικά μοντέλα, τα παιδιά που δίδασκα είχαν μνήμη, που κατέγραφε, αν όχι με την πρώτη, με την δεύτερη, όσα έλεγα;
Τώρα, σε κάποια τμήματα, ούτε η τρίτη ούτε η τέταρτη επιφέρει το ποθητό αποτέλεσμα.
Είναι και θέμα σχολείου, δεν λέω. Είναι θέμα γειτονιάς, θέμα προέλευσης.
Όμως το επίδικο είναι το ίδιο.

-Όλα τα παιδιά, ανεξαρτήτως υποβάθρου, πρέπει να μάθουν αυτά και αυτά.
-Πώς να τα μάθουν; Πώς;
-Εσύ είσαι ο δάσκαλος. Εσύ να βρεις τον τρόπο...

Εγώ είμαι ο δάσκαλος. Μόνος και έρημος, φίλη μου που θεωρείς πως μονάχα καλά και όμορφα πράγματα συμβαίνουν στην τάξη μου και που πιστεύεις ότι όλες οι μέρες είναι ηλιόλουστες και όλα τα βλέμματα των μαθητών γελαστά. Όχι, δεν είναι. Υπάρχουν μέρες που η ομίχλη σκεπάζει τα πάντα. Αυτή η θεσσαλονικιώτικη ομίχλη που καθηλώνει τα αεροπλάνα στο έδαφος και εξανεμίζει την ελπίδα απ' την καρδιά μου. Και η καρδιά χωρίς ελπίδα δεν δουλεύει. Και χωρίς καρδιά δεν λειτουργεί ο δάσκαλος, που καθημερινά-ανεξαρτήτως καιρού- υποχρεούται να παίζει μέσα στην τάξη την δική του παράσταση, χωρίς  καμιά ουσιαστική συμπαράσταση... Γι' αυτό αναγκάζεται να αντλεί από τον εαυτό του μέχρι να τον εξαντλήσει, γιατί αλλιώς δεν του μένει παρά να τα παρατήσει...



Δευτέρα, 15 Ιανουαρίου 2018

ΑΛΛΑΓΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑΣ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΟΥ "ΓΙΑΝΝΗ ΠΟΥ ΑΓΑΠΗΣΑ"

Αγαπητές φίλες, αγαπητοί φίλοι εξ Αθηνών

ενημερώνω και από εδώ ότι η ημερομηνία της παρουσίασης του βιβλίου "Ο Γιάννης που αγάπησα. Ιστορίες ανατροπής στην τάξη των μαθηματικών" άλλαξε, λόγω των κινητοποιήσεων που έχουν εξαγγελθεί για σήμερα στο Σύνταγμα και της απεργίας των ΜΜΜ.

Θέλω να ευχαριστήσω όσες και όσους εκδηλώσατε την επιθυμία να παραβρεθείτε στην παρουσίαση και ειλικρινά ελπίζω να μην ακυρώσατε ή αλλάξατε τις συνήθεις δραστηριότητες σας, χάρη του "Γιάννη που αγάπησα".

Η νέα ημερομηνία της παρουσίασης είναι η ερχόμενη Δευτέρα, 22 Ιανουαρίου, στις 19.00 στην αίθουσα εκδηλώσεων του Public Συντάγματος.
Μετράω μέρες και ... χιλιόμετρα, επειδή θα πρέπει να επιστρέψω στη Θεσσαλονίκη και να έρθω εκ νέου στην Αθήνα! Μακάρι να μπορούσα να μείνω ολόκληρη την εβδομάδα εδώ, για να σας συναντήσω και να σας δω! :)

Για περισσότερα δείτε στον σύνδεσμο της λεζάντας.

http://blog.public.gr/event/o-giannis-pou-agapisa-public-syntagmatos/



Δευτέρα, 8 Ιανουαρίου 2018

Το φάντασμα του καπετάνιου....

Σήμερα,  πρώτη μέρα στο σχολείο, μετά από τις πολυήμερες διακοπές των Χριστουγέννων, ένιωσα στο μάθημα πως ο στοχασμός και ο αναστοχασμός της εκπαιδευτικής διαδικασίας και της διδακτικής αποτελεσματικότητας, συνδυάστηκαν με τις ευχές για την Καλή Χρονιά, όπως συνδυάζεται ο σκέτος ελληνικός με το λουκούμι!
Είχα πει στους μικρούς μαθητές να κάνουν επανάληψη στις γωνίες, ώστε αμέσως μόλις επιστρέψουν από τις διακοπές να γράψουν (κάτι σαν) τεστ. Έτσι, σήμερα, αφού τους έδωσα πρώτα τις ευχές μου για τη νέα χρονιά και διατύπωσα ρητά τις προσδοκίες μου από το μάθημά μας και από τους ίδιους για τον τρόπο μελέτης τους και τη συμπεριφορά τους στο μάθημα κατά το υπόλοιπο της σχολικής χρονιάς, μοίρασα το φύλλο που είχα, επί τούτου, ετοιμάσει. 

Κάθε φορά που γράφουν τεστ (ή "κάτι σαν τεστ"), όποιος τελειώνει σηκώνει το χέρι και εγώ πηγαίνω στο θρανίο του, για να πάρω το γραπτό του, επειδή έχουμε συμφωνήσει να μη σηκώνονται ούτε να μιλάνε, για να μην ενοχλούν όσους προσπαθούν να σκεφτούν. 
Το ίδιο έγινε και σήμερα. Σταδιακά μαζεύτηκαν όλα τα γραπτά, ενώ ελάχιστοι συνέχιζαν να γράφουν μέχρι τη λήξη του χρόνου. Έχουν συνηθίσει όμως, όταν ακούσουν "Λήξη χρόνου, δώστε όλοι τα γραπτά σας", να υπακούν χωρίς διαμαρτυρίες. Με τον τρόπο αυτόν έχω πάντα τη δυνατότητα να ρίχνω μια γρήγορη ματιά στις απαντήσεις και να κάνω μια πρώτη εκτίμηση.
Το σημερινό τεστ (ή  το "κάτι σαν τεστ"), που πρωτίστως σκοπό είχε να μας επαναφέρει ομαλά στην καθημερινότητα του σχολείου, απομακρύνοντάς μας σιγά σιγά από τη νωπή γεύση του μελομακάρονου και του κουραμπιέ, έφερε στο προσκήνιο το "φάντασμα του καπετάνιου"! Ή τουλάχιστον έτσι μου φάνηκε, όταν είδα πώς είχαν απαντήσει πολλά παιδιά στο 3ο ερώτημα. Είδα τη σκιά του καπετάνιου να πλανάται στην αίθουσα. Το κουδούνι, ευτυχώς, αργούσε ακόμη. Διάβασα γρήγορα και ανώνυμα τις απαντήσεις του 4ου ερωτήματος, για να αντηχήσουν στην τάξη οι ευχές που έδινε ο καθένας στους συμμαθητές και στις συμμαθήτριές του. Τελειώνοντας, ευχήθηκα να πραγματοποιηθούν όλα όσα είχα διαβάσει.
Στο μεταξύ το φάντασμα του καπετάνιου δεν με άφηνε να ησυχάσω. Μου έγνεφε ασταμάτητα μέσα από τις απαντήσεις του 3ου ερωτήματος. Κατάλαβα πως με έναν τρόπο μόνο θα μπορούσα να το ... ξορκίσω.
Ζωγράφισα κάτι σαν καράβι στον πίνακα και τους είπα:

Κάποτε μια δασκάλα ρώτησε τους μαθητές της το εξής:
"Πάνω σε ένα πλοίο υπάρχουν 5 κότες, 12 κατσίκες και 10 αγελάδες. Ποια είναι η ηλικία του καπετάνιου;". Αν σας έκανα την ίδια ερώτηση τι θα απαντούσατε;

Πολλά χέρια σηκώθηκαν, αλλά έκανα το λάθος να δώσω το λόγο σε μια πολύ καλή μαθήτρια, η οποία μας είπε αμέσως πως δεν φτάνουν αυτά που δίνει η άσκηση (συγκεκριμένα είπε: οι πληροφορίες που δίνει η άσκηση), για να βρούμε την ηλικία του καπετάνιου. Μετά από αυτό κανένα χέρι δεν ξανασηκώθηκε, αλλά έβλεπα στο βλέμμα αρκετών εκείνην την ανεπαίσθητη έλλειψη ικανοποίησης από την απάντηση που είχε δωθεί. 
"Εσύ Κ. τι θα έλεγες, αν σε ρωτούσε η δασκάλα την ηλικία του καπετάνιου;", ρώτησα τον Κ., που -εκτός από την έλλειψη ικανοποίησης στο βλέμμα- έγερνε δεξιά και αριστερά το κεφάλι, για να εκφράσει τη διαμαρτυρία του.
"Θα πρόσθετα τα  νούμερα και θα την έβρισκα!", απάντησε.
"Δηλαδή, θα έκανες αυτό;" ρώτησα, γράφοντας στον πίνακα, κάτω από τη ζωγραφιά μου την προτεινόμενη λύση.

 "Ναι", μου απάντησε όλο βεβαιότητα το παιδί.
Κάποιοι πήγαν να διαμαρτυρηθούν.
"Και γιατί θα πρόσθετες κότες με κατσίκες και αγελάδες;", επέμενα μην επιτρέποντας στους υπόλοιπους να διακόψουν τη συνομιλία μου με τον Κ.
"Επειδή πρέπει να απαντήσω στη δασκάλα", μου είπε ο μαθητής, δικαιώνοντάς με που τόση ώρα έβλεπα το φάντασμα του καπετάνιου να πλανιέται στην αίθουσα, παρ' όλο που το 3ο ερώτημα του δικού μου "κάτι σαν" τεστ καθόλου ασαφές και αόριστο δεν ήταν, όπως ήταν το παραπάνω γνωστό πρόβλημα με τον καπετάνιο. 
Όμως πολλές από τις απαντήσεις των παιδιών (και μάλιστα των καλών μαθητών) ήταν ακριβώς στην ίδια λογική. Πήραν όσους αριθμούς εμφανίζονταν έμμεσα στην άσκηση και τους πολλαπλασίασαν, με αποτέλεσμα να απαντήσουν ότι μια γωνία που είναι διπλάσια από την παραπληρωματική της ισούται με 2 επί 180 μοίρες, δηλαδή με 360 μοίρες!
Προφανώς το 2 προέκυψε από το "διπλάσια" και το 180 από το "παραπληρωματικές". 
(Για τους μη μαθηματικούς να πω ότι: δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές, όταν έχουν άθροισμα μέτρων ίσο με 180 μοίρες). 
Αναρρωτιέμαι πώς θα απαντούσαν στην ερώτηση, αν ζητούσα να βρούν το μέτρο της γωνίας που είναι τριπλάσια από την παραπληρωματική της; Διόλου απίθανο να έγραφαν πως είναι 3 επί 180 μοίρες, δηλαδή 540 μοίρες. Ίσως όμως το 540 να τους έβαζε σε σκέψεις... Δεν ξέρω.
Αυτό που ξέρω είναι ότι στα προβλήματα πολλά παιδιά κάνουν "τυχαία" πράξεις με τα "νούμερα" που περιέχονται στην άσκηση και απαντούν χωρίς διόλου να ελέγχουν αν η απάντησή τους έχει λογική υπόσταση.
Κάθε φορά που πέφτω σε τέτοιες απαντήσεις, προβάλλει το φάντασμα του καπετάνιου  απ' τα παλιά. Η εικόνα του με αναγκάζει να στοχάζομαι και να αναθεωρώ το διδακτικό συμβόλαιο με τα παιδιά...

Είναι σίγουρο πως στην εκπαίδευσή μας -σε βάθος χρόνου- πρέπει να αλλάξουμε πολλά.

Τρίτη, 2 Ιανουαρίου 2018

Για το καλό του Χρόνου....

"[...] Μέσα στη δεδομένη διάρθρωση της κοινωνικής ζωής - επιμένουμε: στην Ελλάδα - όπου ο υποτυπώδης κρατικός προγραμματισμός, η έλλειψη κάθε ορθολογιστικής μέριμνας για το σύνολο, αυτό τούτο τελικά το αντιδραστικό κράτος, διαιωνίζουν και υποθάλπτουν κάθε ανισότητα, ο άνθρωπος που για τον ένα ή τον άλλο λόγο κατορθώνει και μαθαίνει απλώς "περισσότερα γράμματα" από τους άλλους είναι ήδη ένας μικρός π ρ ο ν ο μ  ι ο ύ χ ο ς, και δεν πρέπει να μας πτοεί η "προκλητική" λέξη αν θέλουμε να είμαστε μέσα στην πραγματικότητα. 
"Προνομιούχος" λοιπόν από την άποψη αυτή είναι κι ο δάσκαλος κι ο φοιτητής κι ο επιστήμονας κι ο καλλιτέχνης, "προνομιούχοι" είμαστε και όλοι εμείς που μπορούμε και διαβάζουμε και γράφουμε και συζητάμε τα ατομικά μας πάθη και τη μοίρα του κόσμου. [...]"
Μανώλης Αναγνωστάκης, Αντιδογματικά, 1960*

Από το 1960, που έγραψε ο Μανώλης Αναγνωστάκης το κείμενο από το οποίο αντέγραψα το παραπάνω απόσπασμα, αναμφιβόλως, έχουν αλλάξει πολλά πράγματα. 
Μπήκε, για παράδειγμα, το διαδίκτυο στη ζωή μας και έφερε τα πάνω κάτω. 
Μπήκε το διαδίκτυο και στον κρατικό μηχανισμό και πάει να του αλλάξει την εικόνα. Χρόνο με τον χρόνο οι βάσεις δεδομένων αυξάνουν και καταχωρίζονται όλα τα κοινωνικά και ατομικά δεδομένα σε τεράστια αρχεία, βάσει των οποίων - υποτίθεται; - γίνεται και ο κρατικός προγραμματισμός. Υπολογίζονται άμεσα αριθμητικά στοιχεία όπως, για παράδειγμα, τα ποσοστά της ανεργίας, της διακοπής φοίτησης από τα σχολεία ή και νούμερα, όπως ο μέσος όρος ηλικίας, το προσδόκιμο ζωής, το όφελος από τη μείωση του ΕΚΑΣ κι άλλα πολλά. Παρ' όλους όμως τους ακριβείς -κατά τα φαινόμενα- αριθμητικούς υπολογισμούς, η κοινωνική ανισότητα διαιωνίζεται και υποθάλπτεται με τρόπους που σαν τα υπόγεια ρεύματα μεταφέρουν την αδικία από το ένα άκρο του πλανήτη στο άλλο. Και επιμένω στο "από το ένα άκρο του πλανήτη στο άλλο", γιατί από την εποχή που έγραψε ο Μανώλης Αναγνωστάκης το παραπάνω κείμενο μέχρι σήμερα, εκείνο που έχει κυρίως αλλάξει είναι η επικράτηση αυτού που κατ' ευφημισμόν λέμε "παγκοσμιοποίηση", αλλά πρωτίστως αφορά την οικονομία και τη μετακίνηση του χρέους ή της φούσκας του Χρηματιστηρίου από την μια Ήπειρο στην άλλη. Τέλος πάντων. Αυτά είναι μεγάλα θέματα και επιδέχονται πολλές και διαφορετικές προσεγγίσεις. Είναι και στενάχωρα, για να τα συζητάει κανείς σε ένα post  που κατά βάση σκοπό είχε να δώσει ευχές για τη Νέα Χρονιά, γι' αυτό επιστρέφω σε μένα...
Η δική μου η ζωή δεν είχε ξεκινήσει ακόμη το 1960 και όσο για το διαδίκτυο, ε, δεν ήμουν και από τους πρώτους που το συμπεριέλαβαν στην καθημερινότητά τους. Μου πήρε κάποια χρόνια, μέχρι να αποδεχτώ αυτή τη νέα πραγματικότητα, την καινούρια δυνατότητα, μέχρι να την δω με καλό μάτι και να δώσω έτσι στη ζωή μου αυτήν την άλλη  διάσταση που προσέφερε η αλληλεπίδραση, η έκθεση, η blog-όσφαιρα, και τα υπόλοιπα μέσα κοινωνικής δικτύωσης και επικοινωνίας. Σαν μπήκαν όμως στη ζωή μου, την άλλαξαν για τα καλά! Τίποτε δεν έμεινε ίδιο. Ο ελεύθερος χρόνος μου εξανεμίστηκε. Ο χρόνος που αφιέρωνα στην ανάγνωση λογοτεχνικών κειμένων, δυστυχώς, περιορίστηκε, η κοινωνική μου ζωή μεταμορφώθηκε, η ανταλλαγή τηλεφωνημάτων εξελίχτηκε σε ανταλλαγή γραπτών μηνυμάτων κι αυτή με τη σειρά της σε ανταλλαγή emotions, gifs κι άλλων τινών ακίνητων ή κινούμενων εικόνων και γραφημάτων.
Και αναρρωτιέμαι πώς να νοείται ο κατά Αναγνωστάκη "προνομιούχος" άνθρωπος σήμερα.
Είναι προνόμιο να κοινοποιείς τη ζωή σου, να ανεβάζεις φωτογραφίες από το σαλόνι σου,  από την οικογένειά σου, από τις εξόδους σου, από τις διακοπές σου; Είναι η μετεξέλιξη της δυνατότητας που είχαν οι εγγράμματοι του 1960, οι κατά Αναγνωστάκη προνομοιούχοι δηλαδή, να συζητούν τα ατομικά τους πάθη και τη μοίρα του κόσμου; 
Πιθανόν και να είναι...
Όπως και να' χει, θεωρώ ότι είναι μέγα προνόμοιο που γνωρίζω ανάγνωση και γραφή και που έχω τη δυνατότητα να πληκτρολογώ αυτή τη στιγμή...
Και ακόμη μεγαλύτερο προνόμιο θεωρώ πως είναι που ό,τι γράφω θα φτάσει στον κόσμο, θα φτάσει σε σας, και θα διαβαστεί!
Γι' αυτό, για το καλό του Χρόνου, θέλω να κάνω μια ευχή:  
Εύχομαι από καρδιάς να μάθουμε όλοι .... περισσότερα γράμματα και να γίνουν ορθά οι  υπολογισμοί, ώστε η (μαθηματική ανισότητα, που οδηγεί σε) κοινωνική ανισότητα στην Ελλάδα - και όχι μόνο - μια για πάντα να εξαλειφθεί!
.....................................................................................................
*Μανώλης Αναγνωστάκης, Αντιδογματικά 1946-1977,  Δεύτερη έκδοση, Πλειάς, Αθήνα. 
Απρίλιος 1979.

Δευτέρα, 18 Δεκεμβρίου 2017

Περί δημόσιας συζήτησης...

Διαβάζω τον τελευταίο καιρό το βιβλίο του Φρανσουά Ζυλλιέν (François Jullien) "ΕΓΚΩΜΙΟ ΤΗΣ ΑΠΡΑΞΙΑΣ η αποτελεσματικότητα στην κινεζική σκέψη",  που (πρωτο)εκδόθηκε από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης το Νοέμβριο του 2012 και έφτασε στην 4η ανατύπωσή τον Ιανουάριο του τρέχοντος έτους. Καθώς το διαβάζω -και φτάνω πλέον στο τέλος-  αναρρωτιέμαι πώς και δεν είχε πέσει στα χέρια μου νωρίτερα! Είμαι σίγουρη πως αν το είχα διαβάσει τουλάχιστον δύο χρόνια πριν, θα είχα καταφέρει να απαντήσω σε αυτούς που απογοητευμένοι όντες από την Κυβέρνηση, επειδή  δεν κάνει αυτά που είχε υποσχεθεί, καταφέρονται εναντίον της ίδιας τους της αρχικής επιλογής, να ψηφίσουν δηλαδή αυτό που ψήφισαν... 
Θα επανέλθω στο θέμα με ένα απόσπασμα από το βιβλίο, αλλά πρώτα θέλω να κάνω μια αναφορά σε αυτό που ο Ζυλλιέν αποκαλεί "προτυπολογική σκέψη" και εξηγεί πώς η σκέψη αυτή καθορίζει και διαμορφώνει ολόκληρη την Ευρωπαϊκή ιδιοσυγκρασία, η οποία, βεβαίως, εκπήγασε από την αρχαία Ελληνική Φιλοσοφία.
Η "προτυπολογική σκέψη", η σκέψη δηλαδή η οποία στοχεύει σε ένα συγκεκριμένο σκοπό (πρότυπο) και τον οποίον συστηματικά επιδιώκει με την επιλογή των κατάλληλων μέσων, δεν είναι τίποτε άλλο από αυτό που κάνουμε και στο σχολείο μας, τηρουμένων των αναλογιών, είτε ως απλοί διδάσκοντες, ως μαχόμενοι εκπαιδευτικοί, είτε ως ΚΕΕ (Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων) είτε ως ΟΟΣΑ (Οργανισμός Οικονομικής Συνεργασίας και Ανάπτυξης).  
Το βιβλίο του Ζυλλιέν, που δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια ομιλία του σε διευθυντικά στελέχη επιχειρήσεων, πίστευα πως δεν θα είχε να μου δώσει κάτι σχετικό με την τάξη και με το σχολείο γενικότερα, όπως εγώ - η προοδευτική δασκάλα - τα οραματίζομαι. Έπεσα έξω. Έχω συλλέξει αρκετά σημεία, τα οποία σκοπεύω στο μέλλον να επεξεργαστώ είτε πειραματικά στη διδασκαλία είτε θεωρητικά, για να στηρίξω τυχόν προϊόντα αναστοχασμού  πρακτικών και  μεθόδων που έχω κατά καιρούς ακολουθήσει.
Αποτέλεσμα εικόνας για φρανσουά ζυλλιένΕπιστρέφω όμως στο συγκεκριμένο απόσπασμα, τέσσερις μόλις σελίδες πριν από το τέλος του βιβλίου,  το οποίο με ώθησε να γράψω δυο λόγια για ένα σύγγραμμα, που το είδος του δεν φιλοξενείται συνήθως σ΄αυτό το ιστολόγιο.

Γράφει ο Ζυλλιέν στη σελίδα 115:

"[...] Γιατί, όπως πολύ καλά γνωρίζουμε, ο λόγος που στην πολιτική, ιδίως στη Γαλλία, προβαίνουμε σε σχηματοποιήσεις και στη διαμόρφωση ιδεατών προτύπων, όχι μόνο σε αναφορά με τα συντάγματα, αλλά ακόμα και στα προεκλογικά προγράμματα των πολιτικών κομμάτων (γιατί και τα προεκλογικά προγράμματα δεν είναι τίποτε άλλο παρά βραχυπρόθεσμες ή μεσοπρόθεσμες ιδεατές προβολές), δεν είναι ενόψει του περιγραφόμενου μελλοντικού αποτελέσματος: ο λόγος που τα κόμματα συντάσσουν τα προγράμματά τους, όπως "πολύ καλά γνωρίζουμε" δεν είναι για να τα εφαρμόσουν. Διότι κατόπιν θα έλθουν οι "περιστάσεις"... Αυτό το ξέρει όλος ο κόσμος, κανείς δεν είναι τόσο ανόητος... Σε τι λοιπόν χρησιμεύει η διαμόρφωση ιδεατών προτύπων στην πολιτική; Διαμορφώνουμε πρότυπα, όχι για να τα εφαρμόσουμε, αλλά για να συνομιλήσουμε και να συνεννοηθούμε, για να παράξουμε δημοκρατία. Τα προεκλογικά προγράμματα δεν συντάσσονται για να υλοποιηθούν, αλλά για να αντιπαρατεθούμε. Με λίγα λόγια, χρησιμεύουν για να οργανωθεί μια δημόσια συζήτηση."

Κι εγώ, ως μια απλή δασκάλα των Μαθηματικών, αναρρωτιέμαι:
Γιατί, τάχα, δεν αποδεχόμαστε όλοι μας αξιωματικά αυτό που μας λέει ξεκάθαρα ο Ζυλλιέν σχετικά με τον ρόλο και τη λειτουργία των προεκλογικών προγραμμάτων;
Ένα τέτοιο πολιτικό αξίωμα, θεωρώ, θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο και βολικό. Και, υπό μία έννοια θα  μας επανέφερε στην τάξη, επειδή θα μας υποβίβαζε -επί τέλους- στη χοϊκή μας διάσταση, από την οποία θεωρώ ότι έχουμε προ πολλού ξεφύγει.
Πώς αλλιώς να εξηγήσω ότι όταν εγώ ο (άγνωστος) X, εσύ ο Y ή ο πολιτικός Z, σχεδιάζοντας  το αύριο (το εγγύς ή το απώτερο), θεωρούμε πως είμαστε ικανοί (σαν μικροί ή  μεγάλοι θεοί) να προβλέψουμε τα πάντα, να λάβουμε υπόψη όλες τις "περιστάσεις", να (προ)αξιολογήσουμε τις (μελλοντικές) συνθήκες και να δράσουμε όχι στο εδώ, αλλά στο εκεί, ένα "εκεί" που συντελείται μέσα στις ασύλληπτα δυναμικές καταστάσεις; 
Για τούτο τον λόγο συμφωνώ, στο σημείο αυτό, με τον Φρανσουά Ζυλλιέν.
Τα προεκλογικά προγράμματα των κομμάτων ένα βασικό σκοπό εξυπηρετούν: την οργάνωση της δημόσιας συζήτησης, μέσα από την οποία μπορεί (θεωρητικά μιλώντας) να επιτευχθεί η Δημοκρατία.
Με την ίδια ακριβώς λογική και τα σχέδια μαθήματος, που ετοιμάζουμε εμείς οι δάσκαλοι για την τάξη μας, ένα βασικό σκοπό εξυπηρετούν: την οργάνωση της "συζήτησης" μέσα από την οποία μπορεί να επιτευχθεί η μάθηση, με την ευρύτερή της σημασία.

Σάββατο, 9 Δεκεμβρίου 2017

Συζητώντας με τη Βάλια για τον Πυθαγόρα!

Σήμερα, μετά από πάρα πολύ καιρό, είχα την ευκαιρία να κάνω μια μεγάλη βόλτα στο κέντρο της πόλης και να περάσω από τα βιβλιοπωλεία. Παλιότερα τα πρωινά του Σαββάτου ήταν αφιερωμένα αποκλειστικά σε αυτήν τη δραστηριότητα. Παλιότερα όμως ήταν αλλιώς. Υπήρχαν τα "μικρά" βιβλιοπωλεία του κέντρου, όπου εργάζονταν άνθρωποι που γνωρίζαμε το μικρό τους όνομα, όπως και αυτοί γνώριζαν το δικό μας. Γνώριζαν εμάς, αλλά και τα ενδιαφέροντά μας, τις αναγνώσεις μας και τις αναγνωστικές μας ανησυχίες. Συχνά, μόλις δρασκελίζαμε την πόρτα του βιβλιοπωλείου, μας προλάβαιναν. Κουβαλώντας δυο τρεις καινούριους τίτλους, μαζί με το εγκάρδιο καλωσόρισμα, μας ενημέρωναν για τις νέες εκδόσεις. "Αυτό το έχεις δει;", ρωτούσαν και, ενώ εμείς ξεφυλλίζαμε τα βιβλία που ανέδιδαν ακόμη τη μυρωδιά του φρεσκοκομμένου ξύλου, ξεκινούσε η κουβέντα, που συνήθως συνοδευόταν με μια κούπα ζεστού καφέ. Ήταν σήμα κατατεθέν η καφετέρια. Σε κεντρική θέση, πάντα γεμάτη και αχνιστή ερέθιζε τα ρουθούνιά μας, όπως και οι πολύχρωμες στριμωγμένες ράχες των καινούριων βιβλίων στα ράφια ερέθιζαν τη φαντασία μας. Στα πατάρια και στα υπόγεια τέτοιων βιβλιοπωλείων έχω περάσει πολλά χειμωνιάτικα πρωινά Σαββάτου. Όμως εκείνες οι όμορφες και ξέγνοιαστες εποχές χάθηκαν, όπως χάθηκαν τα "μικρά" βιβλιοπωλεία του κέντρου με τη ζεστή τους ατμόσφαιρα και τη διαπροσωπική επικοινωνία... Στη θέση τους τα πολυκαταστήματα, οι μεγάλες αλυσίδες και οι νεαροί -συνήθως- υπάλληλοι με το καρτελάκι που γράφει το όνομά τους και που σχεδόν ποτέ δεν χρειάζεται να διαβάσουμε. Άλλωστε ο χρόνος που συνδιαλεγόμαστε είναι ελάχιστος. "Μπορώ να βοηθήσω;". "Ναι, παρακαλώ. Θα ήθελα το...". "Από δω. Αν θέλετε κάτι άλλο, μου λέτε.". Τι νόημα έχει να γνωρίζεις το όνομα του συνομιλητή σε μια τέτοια στιχομυθία; Δεν πα να τον λένε Χαράλαμπο ή Γιάννη ή Μαρία; Τέλος πάντων... Ας είναι.
Η σημερινή βόλτα, όμως, ήταν ξεχωριστή και είχε κάτι από το άρωμα και την ομορφιά εκείνης της περασμένης εποχής, επειδή την έκανα με τη φίλη μου τη Βάλια. Η Βάλια είναι νέα, είναι φιλόλογος, είναι ενθουσιώδης και αγαπάει πολύ τα Μαθηματικά. Είναι από τις πλέον ένθερμες αναγνώστριες του ιστολογίου μου. Διαβάζει διεξοδικά όλες τις αναρτήσεις, ακόμη και αυτές που ξεφεύγουν κάπως στα Μαθηματικά και περιγράφουν λεπτομέρειες μη οικείες σε μη μαθηματικούς. Η Βάλια τα διαβάζει όλα. Δεν αφήνει τίποτα. Συχνά, μάλιστα, παίρνει μολύβι και χαρτί, για να λύσει τις ασκήσεις που παραθέτω στα κείμενά μου. "Αν δεν τις λύσω μόνη μου, πώς θα τις καταλάβω;", μου λέει κάθε φορά που της εκράζω τον θαυμασμό μου, για την επιμονή της. Άλλοτε, πάλι, προστρέχει στα σχολικά βιβλία για να θυμηθεί κάποιες από καιρό ξεχασμένες έννοιες, όπως για παράδειγμα τα διανύσματα. Μακάρι να έκαναν το ίδιο και οι μαθητές μας. Να άνοιγαν δηλαδή τα βιβλία προηγούμενων τάξεων, όποτε διαπίστωναν ότι δεν θυμούνται κάτι...
Η Βάλια, που μένει  σε άλλη πόλη, ήρθε στη Θεσσαλονίκη για Σαββατοκύριακο. Κανονίσαμε να βρεθούμε, για να τα πούμε. Και βρεθήκαμε. Επί δύο ώρες μπαίναμε και βγαίναμε στα βιβλιοπωλεία του κέντρου. Καθοδόν ανοίγαμε μια συζήτηση και πριν την ολοκληρώσουμε μπαίναμε σε ένα βιβλιοπωλείο και εκεί ανοίγαμε βιβλία, χανόμασταν η καθεμια στις δικές της αναζητήσεις, ξαναβρισκόμασταν. Σχολιάζαμε, σκαρφαλώναμε στα ράφια. Μου κατέβαζε όσα εγώ δεν έφτανα. Δείχναμε η μια στην άλλη ποια βιβλία διάβασε και ποια θέλει να διαβάσει. Όλα! Όλα τα θέλαμε! 
"Γιατί κρατάει τόσο λίγο η ζωή μας, όταν υπάρχουν τόσα πολλά βιβλία που θέλουμε να διαβάσουμε;". "Γιατί να ζούμε μόνο μια ζωή;".  "Τι να χωρέσει μια ζωή μόνο;"
Μας έπιασε μια κάπως ελαφρά απελπισία. Τότε αποφασίσαμε να πάμε κάπου για καφέ, να συζητήσουμε τα θέματα που είχαμε καθοδόν ανοίξει... Να πούμε, τέλος πάντων, αυτά που λένε δυο φίλες, όταν βρίσκονται για να τα πούνε. 
Πριν ακόμη έρθουν τα ροφήματα που παραγγείλαμε μου λέει η Βάλια "Με αφορμή την ανάρτησή σου στις 6-12, να σου πω. Το δεύτερο μέρος δεν το κατάλαβα... Το πρώτο το κατάλαβα. Τα σημεία Κ, Λ, εντάξει. Είδα που έλεγε ευθεία. Στην αρχή δεν το είχα δει και δεν μου' βγαινε, αλλά μετά το ξαναδιάβασα. Το δεύτερο μέρος όμως δεν το κατάλαβα...". (Για το σχετικό κείμενο βλέπε εδώ)

Απόρησα. Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος; Ποιος δεν το κατάλαβε; Η φίλη μου η Βάλια; Η Βάλια, η οποία -διαβάζοντας το βιβλίο μου, "Ο Γιάννης που αγάπησα" - λύνει μόνη της, με μολύβι και χαρτί τις ασκήσεις της Γεωμετρίας που συναντάει; Περίεργο.












"Το Πυθαρόγειο θεώρημα μας λέει...". Δεν πρόλαβα να τελειώσω τη φράση μου."Μας λέει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών",  είπε. "Ωραία. Ένα θεώρημα έχει την υπόθεση, το δεδομένο του δηλαδή, έχει και το συμπέρασμα. Στο αντίστροφο...", πάλι δεν πρόλαβα να τελειώσω τη φράση μου. Φωτίστηκε το πρόσωπό της! "Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο!", είπε με ένα πλατύ χαμόγελο, που όμως δεν στάθηκε αρκετό να νεύσω καταφατικά και να το προσπεράσω. 
"Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς (όχι της υποτείνουσαςισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία αυτήν που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.", είπα, καθώς η μαθηματική επαγγελματική μου ... διαστροφή -ακόμη και σε μια τέτοια χαλαρή συζήτηση, με μια αγαπημένη φίλη μη μαθηματικό και δη φιλόλογο- απαιτεί την ακριβή διατύπωση... 
Είπαμε με τη Βάλια κι άλλα για τον Πυθαγόρα, για το θεώρημά του, το ευθύ και το αντίστροφο, αλλά κυρίως είπαμε, δηλαδή εγώ ήμουν που, με αφορμή τη δυσκολία της να κατανοήσει το δεύτερο μέρος της τελευταίας μου ανάρτησης, είπα ότι εμείς -οι δάσκαλοι των Μαθηματικών- έχουμε μεγάλη δυσκολία στο να κατανοούμε ποιο σημείο ακριβώς είναι αυτό που δυσκολεύει τους μη μαθηματικούς να κατανοήσουν κάτι που λέμε. 
 Γι' αυτό - και όχι μόνο - είναι πολύτιμοι οι φίλοι σαν τη Βάλια, που καίτοι μη  μαθηματικοί αγαπούν τα Μαθηματικά, κοπίαζουν να τα καταλάβουν και συζητούν μαζί μας ό,τι απορίες τους προκύπτουν σχετικά. Μας βοηθάνε έτσι να φτάσουμε στον πυρήνα της δυσκολίας, αυτής της δυσκολίας που συνήθως οι μαθητές μας δεν είναι σε θέση να διατυπώσουν και να εξωτερικεύσουν ρητά, οπότε μας δίνουν εσφαλμένα την  εντύπωση πως τα κατάλαβαν καλά. 
Τελικά, Βάλια, πιστεύω πως πρέπει να έρχεσαι στη Θεσσαλονίκη πιο συχνά. :)
Να είσαι πάντα καλά και να μου δίνεις - όπως σήμερα - χαρά!

Τετάρτη, 6 Δεκεμβρίου 2017

(απο)Δομώντας και "διερευνώντας" το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Φέτος διδάσκω στην Α' και στη Β' Γυμνασίου. Στην Α' δίδαξα και τα δύο προηγούμενα χρόνια σε αρκετά τμήματα, ενώ στην Β' είχα ένα μόνο τμήμα πρόπερσι. Παρόλο που έχω πλέον μια (έστω και μικρή) εμπειρία στο Γυμνάσιο, συχνά βρίσκομαι μπροστά σε ερωτήματα που έχουν να κάνουν με τον τρόπο διδασκαλίας μιας καινούριας έννοιας, ενός θεωρήματος ή μιας διαδικασίας. Θα μου πει κάποιος - και ενδεχομένως να έχει δίκαιο - γιατί δεν μελετώ προσεκτικά τις οδηγίες διδασκαλίας και γιατί δεν τις εφαρμόζω κατά γράμμα ή έστω στο βαθμό που μου το επιτρέπουν οι συνθήκες, ώστε να ξεπεράσω τις τυχόν απορίες, δυσκολίες ή ό,τι άλλο προκύπτει κατά την πορεία της διδασκαλίας. Και τότε εγώ - που έχω έτοιμη την απάντηση - θα του πω: επειδή οι οδηγίες διδασκαλίας θεωρούν a priori  δεδομένη την αποτελεσματική επικοινωνία του εκπαιδευτικού με τα παιδιά, καθώς και την επικοινωνία των παιδιών με τα κείμενα, τα γραπτά και τα προφορικά, μέσω των οποίων γίνεται η προσέγγιση της νέας γνώσης. Η επικοινωνία αυτή όμως ούτε αυτονόητη είναι ούτε πάντα εφικτή, επειδή δεν μιλάμε όλοι την ίδια γλώσσα. Μπορεί το θέμα της γλώσσας να το θίγω συχνά, είτε διδάσκω σε Λύκειο είτε σε Γυμνάσιο, αλλά το ζητούμενο είναι να ξεπεραστεί το επικοινωνιακό πρόβλημα που υπάρχει στις τάξεις των σχολείων μας και όχι να παρουσιάζω σε τούτο το ιστολόγιο ... πρωτότυπα θέματα! 
Για τον λόγο αυτό, επειδή δηλαδή διαπιστώνω πως τα επικοινωνιακά μας θέματα  στο μάθημα όχι μόνο δεν ξεπερνιούνται, αλλά δείχνουν να αυξάνονται, κάθε χρόνο ολοένα και περισσότερο επιχειρώ - ειδικά τώρα που διδάσκω σε μικρά παιδιά - να βάλω κάποιες βάσεις στα Μαθηματικά, που δομούνται πάνω σε γλωσσικές / φιλολογικές αναλύσεις, με όλες τις επιφυλάξεις που πρέπει να έχει ο μη ειδικός - όπως εγώ - όταν επεκτείνεται σε ... ξένα χωράφια.  Τώρα μπαίνει πάλι το θέμα ποια χωράφια είναι ξένα και ποια οικεία; Πού μπαίνουν τα όρια και πόσο αδιαπέραστα ή απαράβατα είναι τα όρια αυτά; 
Προτιμώ να αφήσω το ερώτημα ανοιχτό και αντί οποιασδήποτε απάντησης να παραθέσω δύο περιστατικά από την σχολική τάξη.

Στην Α' Γυμνασίου έδωσα για εργασία στο σπίτι, μεταξύ άλλων,  την άσκηση:
Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4,5 cm. Πάνω στην ευθεία ΑΒ πάρε ένα σημείο Κ, τέτοιο ώστε ΑΚ=3 cm και ένα άλλο σημείο Λ, τέτοιο ώστε ΒΛ=3,5 cm. (α) Να βρεις το μήκος του ΚΛ, (β) Σε ποια περίπτωση συμβαίνει να είναι ΚΛ=11 cm; (γ) Να διερευνήσεις σε ποιες περιπτώσεις το ΚΛ είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 11 cm. (Άσκηση 11, σελίδα 164 σχολικού).
Την επομένη τα παιδιά ζήτησαν να την εξηγήσω στον πίνακα, επειδή δεν την κατάλαβαν. Στην ίδια σελίδα του σχολικού, όλες οι προηγούμενες ασκήσεις, που είχαν γίνει ήταν ανάλογες. Τι ήταν αυτό που έκανε την άσκηση 11 δυσνόητη; Ήταν αυτό το "Να διερευνήσεις...". Τι πάει να πει;  Πώς γίνεται; Τι πρέπει να κάνει ένας μικρός μαθητής προκειμένου να "διερευνήσει", όταν δεν γνωρίζει την λέξη;
Ή να το θέσω αλλιώς: τι πρέπει να κάνω εγώ, ο μαθηματικός, όταν οι μαθητές μου συναντούν τέτοιες δυσκολίες, κάτι μάλιστα που συμβαίνει συχνά;
Αναγκάστηκα να αφιερώσω χρόνο, για να εξηγήσω τι σημαίνει "διερευνώ". Και φυσικά αξιοποίησα την ευκαιρία που μου δόθηκε να μιλήσω όχι μόνο γενικά για τη διερεύνηση, αλλά και ειδικά για τη διερεύνηση στα Μαθηματικά. 
"Η διερεύνηση στα Μαθηματικά είναι μια πολύ σημαντική δραστηριότητα. Διερευνώ σημαίνει..." Και κάθε φορά που έλεγα κάτι ρωτούσα αν ήξεραν την επόμενη λέξη που χρησιμοποιούσα. Τους είχα πάρει από φόβο. Αποκατάσταση. Ξέρετε τι σημαίνει; Όχι,  δεν ήξεραν. Γράψτε, αποκατάσταση είναι... 
Και ο χρόνος φεύγει και δεν ξέρω ποιο είναι το πιο χρήσιμο. Να τους δείξω να χρησιμοποιούν το μοιρογνωμόνιο ή να κάνω ό,τι περνάει από το χέρι μου για να διασφαλίσω τη λεκτική μας επικοινωνία;
Και για την Α' Γυμνασίου, λέω: Είναι Α' Γυμνασίου, ας τους βάλω σιγά σιγά στο πνεύμα, ας τους "καλοπιάσω", ας τους καλλιεργήσω τις απαραίτητες δεξιότητες για διερευνητική μάθηση, ας ξεκλέψω λίγο χρόνο από τη μέτρηση γωνιών με το μοιρογνωμόνιο, που ούτως ή άλλως σε λαθεμένα αποτελέσματα καταλήγει. Από την άλλη όμως δεν είναι και η χρήση των γεωμετρικών οργάνων, των οργάνων γενικότερα, μια απαραίτητη δεξιότητα; Τι προέχει; Πού να καταναλώσω τον λίγο χρόνο μου; Τέλος πάντων. Χτυπάει κουδούνι. Ό,τι προλάβαμε προλάβαμε. 

Πάμε στη Β'. 
Πυθαγόρειο θεώρημα. Πόσο όμορφα Μαθηματικά! Διαχρονικά, καθολικά και αδιάσειστα! Τριακόσιες και βάλε αποδείξεις πιστοποιούν ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών! Κάτι που και λέγεται και συμβολίζεται, α^2=β^2+γ^2, και ζωγραφίζεται. Όπως και να το δεις είναι πανέμορφο! Μέχρι που έρχεται η ώρα να το αντιστρέψουμε. Έρχεται, δηλαδή, η ώρα να διδάξω το αντίστροφο του Πυθογορείου θεωρήματος. Και τότε ζητάω από τα παιδιά να αντιστρέψουν το θεώρημα. "Να κάνετε την υπόθεση συμπέρασμα και το συμπέρασμα υπόθεση" τους λέω, με τη βεβαιότητα πως ζητώ το αυτονόητο. 
Και αρχίζουν να ακούγονται διάφορα. "Να γράψουμε β^2+γ^2=α^2", λέει ένας. "Αυτό δεν είναι αντιστροφή του θεωρήματος, είναι η ανακλαστική ιδιότητα της ισότητας" απαντώ εγώ. Κουνάει το παδί το κεφάλι, προσποιούμενο πως κατάλαβε... Ακούστηκαν κι άλλα παρόμοια. Μέχρι που μια μαθήτρια είπε: "Να γυρίσουμε το τρίγωνο ανάποδα"! Αστειευόμενη θα το είπε, θέλω να πιστεύω, αλλά ποτέ δεν ξέρεις τι βλέπουν και πώς σκέφτονται. Τι στ' αλήθεια κατανοούν αυτά τα μικρά παιδιά, που γεμίζουν τις τάξεις μου και τον χρόνο μου;
Κάθε χρόνο, έχω την εντύπωση, κατανοούν διαφορετικά πράγματα. Ή μήπως είμαι εγώ που κατανοώ διαφορετικά το τι κατανοούν τα παιδιά; Όπως και να έχει, σήμερα αναγκάστηκα να μιλήσω στη Β' Γυμνασίου για τη "δομή" του θεωρήματος. Αναγκάστηκα, επειδή δεν μπορούσαν ούτε κατά διάνοια να βρουν τι να κάνουν για να αντιστρέψουν το Πυθαγόρειο θεώρημα.Έπρεπε τάχα να γνωρίζουν; Και αν ναι, από πού; Πού έμαθαν, πού άκουσαν για αυτό που στα Μαθηματικά λέμε "θεώρημα". Πώς τους έφερα έτσι ... άγαρμπα σε επαφή με ένα θαυμαστό θεώρημα, χωρίς να τους έχω πρώτα εξηγήσει τι είναι ένα θεώρημα; Γιατί δεν το σκέφτηκα νωρίτερα;  
Πάμε πάλι. Η δομή ενός θεωρήματος είναι η εξής: υπόθεση, τα δεδομένα δηλαδή, και συμπέρασμα, αυτό που προκύπτει, που συνεπάγεται από την υπόθεση. Μεσολαβεί, βεβαίως, η απόδειξη...

Απόδειξη; Άλλη πονεμένη ιστορία. Η μαθηματική απόδειξη στα γυμνασιακά Μαθηματικά...

Τι τους μαθαίνουμε τελικά; Πώς να το διδάξουμε σωστά;
Κάθε χρόνο, εδώ και τρία χρόνια, συνειδητοποιώ πόσο πιο δύσκολο είναι να διδάσκεις στα μικρά παιδιά... Όμως είναι θέμα χρόνου, ελπίζω, να βρω πώς θα το κάνω σωστά...