Πέμπτη, 23 Φεβρουαρίου 2017

Η ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΗ ΤΗΣ ΧΑΡΑΣ!

Είναι η δεύτερη χρονιά φέτος που διδάσκω τους ρητούς αριθμούς στην Α' Γυμνασίου και αντιμετωπίζω όλες εκείνες τις δυσκολίες που αντιμετωπίζει ο δάσκαλος κάθε φορά που βρίσκεται απέναντι από παγιωμένες αντιλήψεις των μαθητών του. 
"Στην αφαίρεση μπροστά μπαίνει ο μεγάλος και πίσω ο μικρός!" λένε τα πρωτάκια, αν στην αρχή της χρονιάς τους γράψεις στον πίνακα 5-10, για παράδειγμα.
Τον προηγούμενο Σεπτέμβριο το είχα κάνει μια φορά κατά λάθος και ξεσηκώθηκε όλη η τάξη. "Λάθος κάνατε, κυρία!". "Δεν γίνεται αυτή η αφαίρεση ..." κι άλλες διάφορες διαμαρτυρίες. 
Έχοντας την περσινή εμπειρία, φέτος από την αρχή κιόλας της χρονιάς έκανα από καιρού εις καιρόν μια νύξη σε τέτοιες φοβερές πράξεις που δεν γίνονται,  όπως 5-10, για παράδειγμα. 
Στις διαμαρτυρίες των μικρών μαθητών έλεγα πως η πράξη γίνεται και πως πολύ σύντομα θα  μάθουν να την κάνουν. "Αρνητικοί αριθμοί" σχολίασαν καναδυο, που μάλλον έχουν μεγαλύτερα αδέρφια. "Ναι, αρνητικοί αριθμοί και θα τους μάθουμε πολύ σύντομα", απάντησα. Και οι αναφορές γίνονταν σκόπιμα για να προετοιμάζεται το έδαφος, αλλά κυρίως για να δημιουργούνται οι προσδοκίες.  
Το να αντιληφθούν τους αρνητικούς ως οντότητες δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο, επειδή η γενιά τους μεγαλώνει σε ένα περιβάλλον με υψηλή τεχνολογία και ευρύτατη χρήση συμβόλων. Όλα τα παιδιά έχουν δει το σύμβολο "-1" σε κουμπί ανελκυστήρα και μπορούν να εξηγήσουν αμέσως τι δηλώνει το σύμβολο. Και με τις θερμοκρασίες είναι εξοικειωμένοι. Γι' αυτό όταν έρχεται η ώρα της επέκτασης της "αριθμογραμμής" που ξέρουν από το Δημοτικό, χαιρόμαστε όλοι πολύ. Βάζουμε το 0 στη μέση και συμπληρώνουμε στη γραμμή τους αρνητικούς. Μετά κάνουμε κι εκείνη την ωραία δραστηριότητα της σελίδας 116 που μας ζητάει να θεωρήσουμε πως ο χρόνος ξεκινάει από τη στιγμή της γέννησής μας και περνάμε τέλεια! (Την δραστηριότητα τη δίνω ως εργασία στο σπίτι και μετά βλέπω προσεκτικά τι έχει σημειώσει κάθε παιδί.  Από τα γεγονότα που σημειώνει αποκαλύπτονται διάφορα στοιχεία του χαρακτήρα του και της ψυχοσύνθεσής του, που καλόν είναι να τα γνωρίζει ο δάσκαλος.)
Επειδή μας αρέσει γενικά η "διευρυμένη" αριθμογραμμή κάνουμε όλες τις ασκήσεις του σχολικού και μερικές δικές μας εκτός βιβλίου. Ενθουσιάζονται πραγματικά. Και δημιουργείται έτσι ένα πολύ όμορφο κλίμα για να περάσουμε στις πράξεις των ρητών και χαιρόμαστε όλοι για λίγο ακόμη, μέχρι να φτάσουμε στην αφαίρεση! Εκεί εμφανίζεται ένα προβληματάκι. Μια αμφιβολία για το αποτέλεσμα, μια αμφισβήτηση. Και χρειάζεται προσπάθεια για να κατανοηθεί η όλη διαδιακασία. Πότε το "+" δηλώνει την πράξη της πρόσθεσης, πότε είναι πρόσημο και πότε γίνεται το πλην συν και το συν πλην... Παίρνει λίγο χρόνο, πολλή εξήγηση, ενθάρρυνση και φύλλα εργασίας ειδικά φτιαγμένα για τους μαθητές που παλεύουν να μην μείνουν πίσω από τους άλλους.
Πόσο ευαίσθητες ισορροπίες! Μια μικρή απογοήτευση σε αυτήν τη φάση μπορεί να πυροδοτήσει μια... απέχθεια για το μάθημα των Μαθηματικών. Θέλει πολλή προσοχή. Θέλει στοργή και φροντίδα. Υπομονή και επιμονή. Ενθάρρυνση και υποστήριξη.
Φαίνεται πως το παρακάνω; Καθόλου! Έτσι ακριβώς το αντιλαμβάνομαι.
Και από ό,τι φαίνεται έτσι ακριβώς το εισπράτουν και τα παιδιά και το εκδηλώνουν με διάφορους τρόπους.
Χθες, για παράδειγμα, όταν για πολλοστή φορά τους εξηγούσα ότι ενώ στο σύνολο των Φυσικών αριθμών δεν μπορούν να κάνουν την αφαίρεση 5-10, όπως έμαθαν στο Δημοτικό, στο σύνολο των ακέραιων μπορούν. Τότε θυμήθηκα ότι δεν μιλάμε για ακέραιους, αλλά για ρητούς! Ένιωσα κάπως περίεργα. 
Μαθαίνετε πρώτα τους φυσικούς, μετά τους θετικούς ρητούς, αφού κάνετε κλάσματα, που όπως έχετε καταλάβει είναι το ίδιο με τους δεκαδικούς και τα ποσοστά και τώρα κάνετε και τους αρνητικούς ρητούς. "Του χρόνου, αν είμαστε καλά,  θα σας μάθω και τους άρρητους!"
"Είναι σαν να ανεβαίνουμε πίστα!", τους είπα και έγραψα από κάτω προς τα πάνω Ν, Ζ, Q.
"Κυρία Καλφοπούλου", ακούστηκε τότε ο Ρότζερ με γάργαρη και βροντερή φωνή, "θυμόσαστε που σας είχα πει στην αρχή πως δεν μου αρέσουν τα Μαθηματικά; Έχουν γίνει  το αγαπημένο μου μάθημα!" Τον πιστεύω. Την προηγούμενη εβδομάδα που το τμήμα του είχε κενό και όλοι οι συμμαθητές του έπαιζαν μπάλα, ο Ρότζερ με παρακάλεσε να μπει μαζί μου σε ένα άλλο τμήμα της Α, για να παρακολουθήσει το μάθημα. Και το παρακολούθησε με προσοχή! Όπως και σήμερα. Όπως και τα υπόλοιπα παιδιά κι ας ήταν η 7η ώρα.
Ένιωθα πολύ κουρασμένη. Από την 1η ώρα μέχρι και την 7η είναι πολύ βαρύ.
Ειδικά σήμερα που είχαμε κι άλλες δουλειές στο σχολείο. Όταν χτύπησε το κουδούνι κατέρρευσα. Κάθησα στην έδρα, όπου σχεδόν ποτέ δεν κάθομαι στη διάρκεια του μαθήματος, και αφού τα παιδιά έφυγαν και η  αίθουσα άδειασε άρχισα να γράφω το βιβλίο ύλης. Τότε έπεσε το μάτι μου πάνω σε ένα χαρτάκι.
"ΓΙΑ ΤΗΝ κ. ΚΑΛΦΟΠΟΥΛΟΥ"

Ποιος το άφησε; Δεν είδα. Και πότε το άφησε; Μήπως την ώρα που σηκώθηκαν όλοι να φύγουν κι εγώ  μάζευα τα βιβλία μου; Μήπως όταν έγραφα ακόμη στον πίνακα;  
Το πήρα στα χέρια μου. Πόσο γλυκό! Ένα φύλλο διπλωμένο σε φακελάκι, με μια μπλε αυτοκόλλητη καρδούλα! Πόσο τρυφερό!



Το άνοιξα προσεκτικά και διάβασα ένα κωδικοποιημένο μήνυμα!
Μια αριθμογραμμή,  πολλοί  ρητοί αριθμοί και ...
Δύο ζεστά δάκρυα θάμπωσαν το βλέμμα μου και η κούραση που ένιωθα εξανεμίστηκε με μιας!

Όταν είσαι δάσκαλος, έχεις το προνόμιο να μιλάς για την ... αριθμογραμμή της ζωής και της χαράς!

Τετάρτη, 25 Ιανουαρίου 2017

Ο χρόνος περνάει γρήγορα...

Περνάει ο χρόνος πιο γρήγορα από ποτέ. Περνάει και φεύγει τρέχοντας καθώς οι μαθητές μας μεγαλώνουν και άλλοι, καινούριοι μαθητές, τρέχουν να πάρουν τη θέση τους...
Έτσι τον νιώθω τον χρόνο αυτόν τον καιρό. Ανάλγητο, σα βιτσιά στον παγωμένο αέρα. Σα μαστίγωμα στην κυρτή μου πλάτη. Κι αναρωτιέμαι αν φταίει το κρύο και ο μουντός ουρανός, που αισθάνομαι έτσι. Αν φταίει που, όπως κάθε χρόνο όταν μπαίνουμε στον Υδροχόο, όλα τριγύρω αλλάζουνε,  μα όλα τα ίδια μένουν. 
Και αναρωτιέμαι πολλά και διάφορα, αλλά στο βάθος ξέρω... 

Ξέρω πως για ό,τι  νιώθω φταίει που μέρα με τη μέρα χάνεται η ανθρωπιά από τον άνθρωπο. Και φταίει που οι εικόνες της απώλειας αυτής παίζουν στα media συνοδεία τυμπανοκρουσιών και εν μέσω ιαχών, για να αντανακλούν απαστράπτουσα την κατάντια του πολιτισμού μας. 
Πού να χάθηκε τάχα η ποίηση; 
Μήπως χάθηκε στην ανάπτυξη ενός στίλβοντος ποδηλάτου ή μήπως στην κλαγγή των όπλων που δεν παύουν ποτέ; 

Παρηγοριά είναι το μάθημα. Είναι η σχολική τάξη. Είναι τα μάτια των παιδιών, όσων παιδιών συναισθάνονται, εν πάση περιπτώσει... Την ώρα του μαθήματος οι συμφορές του έξω κόσμου συρρικνώνονται, καθώς ανοίγει διάπλατα μπροστά μας ένας κόσμος αναπαραγόμενης γνώσης, που ωστόσο δεν στερείται εκπλήξεων και δυνατοτήτων. Εκεί ποντάρω. Σε αυτό ελπίζω. Και έχω την τύχη να είμαι φέτος σε Γυμνάσιο. Μου κακοφάνηκε στην αρχή, μέχρι που κατάλαβα ότι είναι μια ηλικία πολύ κρίσιμη, πολύ γόνιμη, πολλά υποσχόμενη. Και αξιοποιώ τους πειραματισμούς και απολαμβάνω τις συνέπειες και τα σπινθηροβόλα βλέμματα, τα κλεφτά χαμόγελα και τον έντονο προβληματισμό. Τι θα βγει; Θα δείξει. Το άμεσα παρατηρούμενο είναι η μέγιστη δυνατή συμμετοχή και η αλλαγή στάσης απέναντι στη διαδικασία της μάθησης. Τα υπόλοιπα θα φανούν στην πορεία. Εγώ το χαίρομαι. Το σχεδιάζω. Το σκέφτομαι. Μερικές φορές προκύπτει από μόνο του και είναι πολύ όμορφο.
Χθες και στα δύο τμήματα της Γ' το κουδούνι με βρήκε να ρωτάω "Θυμάται κανείς τι είναι η "μεσοκάθετος";". Έτσι το είπα. "Μεσοκάθετος". Σκέτη, πάντα, για να δω ποιοι θα συμπληρώσουν με την απαραίτητη γενική, "του ευθύγραμμου τμήματος". Κανείς! Ποτέ! Έχω ξαναγράψει γι' αυτό, αλλά ήταν σε Λύκειο τότε. (Η σχετική ανάρτηση εδώ).
Σήμερα μπήκα στα δύο τμήματα της Γ' τάξης, δεύτερη και τρίτη ώρα στη σειρά. Ξεκίνησα το μάθημα, όπως συχνά κάνω, ρωτώντας: "Θυμάται κανείς ποια ήταν η τελευταία μου ερώτηση χθες;". Κανείς! (Η αδύναμη μνήμη των παιδιών είναι κάτι που πρέπει να μας προβληματίζει και να συζητιέται συνεχώς, αλλά τώρα δεν είναι της ώρας).  
Υπενθύμισα πως τους είχα  ρωτήσει τι είναι η μεσοκάθετος.  Κάποιοι το θυμήθηκαν.
Και τότε ξαναρώτησα. "Τι είναι η μεσοκάθετος;"
Δόθηκαν δυο τρεις ατελείς ορισμοί, έγιναν κάποιες άκαρπες προσπάθειες περιγραφής, οπότε  μου δόθηκε η ευκαιρία να το πιάσω το πράγμα από την αρχή. 
"Τι είναι το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος;"
Πιθανόν πολλοί να θεωρούν την ερώτηση αυτή τετριμμένη, αλλά δεν είναι καθόλου αυτονόητο πως το παιδί (ακόμη και στη Γ' Γυμνασίου) θα πει πως  το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι το σημείο  εκείνο που... Το σημείο!
Προχωρήσαμε σιγά σιγά, στον ορισμό της μεσοκαθέτου. 
Μετά τους είπα τη χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου. Δηλαδή στην αρχή ζήτησα να τη θυμηθούν ή να τη μαντέψουν, αλλά μετά από μερικές ατελέσφορες προσπάθειες, αναγκάστηκα να την πω εγώ. 
Και ύστερα ζήτησα να την αποδείξουν αυτήν την ιδιότητα. Την αποδείξαμε μαζί στον πίνακα.  (Τους είπα να κάνουν προαιρετικά και το αντίστροφο στο σπίτι. )

Μετά ζήτησα να λύσουν στα τετράδια την άσκηση 18 σελίδα 196. Δηλαδή ζήτησα να κάνουν το σχήμα για να περάσω να το δω.



Στο πρώτο τμήμα ξαφνιάστηκα όταν σε όλα τα τετράδια (μα σε όλα μηδενός εξαιρουμένου), αντί να υπάρχει μια από τις άπειρες ευθείες που μπορούμε να φέρουμε από το μέσον Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ υπήρχε παντού φαρδιά, πλατιά, κακοφερμένη αλλά γεμάτη αυτοπεποίθηση, η μεσοκάθετος! 
Τα είδα όλα τα τετράδια ένα προς ένα. Ακουμπώντας με το δάχτυλο το σχήμα, έλεγα "Όχι! Όοχι! Όοοχι...". Μετά πέρασα και τα ξαναείδα. Δεν είχε αλλάξει τίποτα. 
Η μεσοκάθετος ακλόνητη στη θέση της! 
Τους εξήγησα. Πρότεινα να ξαναδιαβάσουν προσεκτικά το κείμενο. Να ψάξουν πού είναι γραμμένο ότι η ευθεία που διέρχεται από το Μ είναι κάθετη στο τμήμα ΑΒ. Οι περισσότεροι το κατάλαβαν. Κάποιοι λίγοι επέμεναν πως δεν έχει σημασία πώς θα τη φέρουν.
Μου δόθηκε η ευκαιρία να τους εξηγήσω ότι πρέπει να προσέχουν το μυαλό! 
Το μυαλό τους. Δηλαδή τη λειτουργία του μυαλού τους. 
Εξήγησα πως έτσι λειτουργεί το  μυαλό, όταν είναι ακατέργαστο. 
Σκέφτεται άκριτα, ακατέργαστα. Παρασύρεται.  Και πολύ εύκολα χειραγωγείται.

Την επόμενη ώρα στο άλλο τμήμα επανέλαβα (περίπου κατά γράμμα) το μάθημα.
Πήρα τα ίδια ακριβώς αποτελέσματα. Από τόσα παιδιά, μεταξύ των οποίων και μερικά άριστα, δεν βρέθηκε ούτε ένα να διαβάσει και να κατανοήσει το κείμενο των δυο γραμμών.
Πόσο εύκολα ξεγελιέται ο εγκέφαλος; Πόσο εύκολα παρασύρεται; Πόσο καλά το γνωρίζουν κάποιοι αυτό; Ποιοι το αξιοποιούν σε βάρος μας;

Και ενώ όλα τριγύρω αλλάζουνε, τελικά όλα τα ίδια μένουν.
Το σχολείο παραμένει ταμπουρωμένο πίσω από μια (ενίοτε στείρα) αναπαραγόμενη γνώση. Γι' αυτό το σχολείο έχει αποτύχει. Έτσι λεν αυτοί που ξέρουν. 
Αλλά και αυτοί που δεν ξέρουν το ίδιο λένε.

Αλλά οι μαθητές μεγαλώνουν και φεύγουν. 
Άλλοι, καινούριοι μαθητές, τρέχουν να πάρουν τη θέση τους. 
Ανάμεσά τους και αυτοί που μια μέρα θα πάρουν τη δική μας τη θέση, τη θέση του δάσκαλου.  
Θα γίνουν δάσκαλοι, για να διδάσκουν τα γραμμένα, μέσα στ' άστρα τα σβησμένα...

Οι καιροί νερό θα φέρουν, έτσι λεν αυτοί που ξέρουν.

Και όλα τα ίδια μένουν.
Γι' αυτό αισθάνομαι έτσι.
Αλλά ο χρόνος περνάει γρήγορα.
  

Δευτέρα, 12 Δεκεμβρίου 2016

ΑΠΟΥΣΙΑ ΦΩΝΗΣ...

Την Παρασκευή, όταν επέστρεψα από το σχολείο διαπίστωσα ότι είχα πυρετό. Σχεδόν όλη την προηγούμενη εβδομάδα δεν ένιωθα καλά, αλλά οι πολλές υποχρεώσεις δεν μου άφηναν περιθώριο να ασχοληθώ με το θέμα αυτό. Μετά από ένα διήμερο με πυρετό και πονόλαιμο, την Κυριακή ο πυρετός έπεσε. Και ο πονόλαιμος υποχώρησε αισθητά, αλλά μαζί του υποχώρησε ολοσχερώς και η δυνατότητα λεκτικής έκφρασης. Μόνο κάτι άναρθρους ήχους παράγω από χθες το βράδυ και αυτούς με υπερπροσπάθεια και με έντονο τσούξιμο  που παραμένει ενοχλητικό στο λάρυγγά μου αρκετή ώρα μετά την προσπάθεια που κάνω για να   μιλήσω. Αναγκαστικά σταμάτησα να μιλώ και, από χθες το βράδυ, μόνο εφόσον υπάρχει ισχυρή απαίτηση επικοινωνίας ψιθυρίζω.   
Μπήκα το πρωί στην Α΄ τάξη, χωρίς να πω "Καλλλημέρρραααα παιδιάαα!", που ειδικά το πρωί της Δευτέρας συνοδεύεται και με το "Καλλλή εβδομάδα! Είσαστε καλλλά;" και ακούγεται δυνατά, ενώ προχωρώ από την πόρτα μέχρι την έδρα. 
Σήμερα μπήκα αθόρυβα, έτρεξα στον πίνακα και έγραψα:
"Καλημέρα! Έχει κλείσει ο λαιμός μου. Θα γράψω ασκήσεις να τις κάνουμε..."
Άκρα του τάφου σιωπή...
Από κείνη τη στιγμή και μέχρι να χτυπήσει το κουδούνι, όλοι μιλούσαμε ψιθυριστά και δουλεύαμε με πολλή συγκέντρωση. Κάναμε μια γερή επανάληψη για το αυριανό τεστ και δεν καταλάβαμε πώς πέρασε η ώρα.
Ούτε ένας δεν διερωτήθηκε γιατί μιλάμε ψιθυριστά, δηλαδή για ποιο λόγο μιλάνε και όλοι  οι άλλοι ψιθυριστά, αφού μόνο ο δικός μου ο λαιμός έχει κλείσει.
Οι δυο μαθητές του πρώτου θρανίου από την πλευρά των παραθύρων, του θρανίου δηλαδή  που είναι κολλημένο στην έδρα, σε κάθε άσκηση που κάνουμε βρίσκουν συνήθως διαφορετικά αποτελέσματα και μετά ξεκινούν μεταξύ τους μια έντονη αντιπαράθεση για το ποιος έχει κάνει λάθος. Το ό,τι βρίσκομαι σε απόσταση μόλις σαράντα πόντων και ακούω όσα λένε καθόλου δεν τους πτοεί και σχεδόν ποτέ δεν σκέφτονται να με συμπεριλάβουν στην κουβέντα τους, μέχρι να τους ρωτήσω ποιο είναι το πρόβλημά τους. Όμως ακόμη και αυτοί οι δύο νεαροί σήμερα μιλούσαν μεταξύ τους ψιθυριστά και έδειχναν να μην έχουν έντονες διαφωνίες.  Ίσα που ακούγονταν. Έφτασαν στο σημείο να κουνάνε μόνο τα χείλη τους. Και ήταν τόσο χαριτωμένοι, επικοινωνώντας κατ' αυτόν τον τρόπο μεταξύ τους. 

Μετά μπήκα στη Γ'. Έκανα την ίδια είσοδο. "Αφού έπιασε την προηγούμενη ώρα, θα πιάσει και τώρα", σκέφτηκα. Αλλά δυο χρόνια διαφορά σε αυτήν την ηλικία είναι μια αβυσσαλέα απόσταση...
'Όχι πως δεν σεβάστηκαν το πρόβλημά μου και την αδυναμία μου να μιλήσω, αλλά δεν προσαρμόστηκαν στα νέα δεδομένα. Ήταν εκρηκτικοί και χειμαρρώδεις όπως συνήθως. Απαιτούσαν να λύσουν την απορία τους. Ρωτούσαν συνεχώς κι εγώ ψιθύριζα και εξηγούσα. Κι όταν κάποιος ξεχνιόταν και ψιθύριζε κι αυτός όταν με ρωτούσε κάτι, τότε οι υπόλοιποι  γελούσαν και τον ρωτούσαν: "εσύ τώρα γιατί ψιθυρίζεις;", οπότε δυνάμωνε αυτομάτως τη φωνή του και συνέχιζε κανονικά. Άλλοι πάλι προλάβαιναν να το σχολιάσουν από μόνοι τους και να αυξήσουν την ένταση της φωνής τους, πριν καλά καλά ολοκληρώσουν ψιθυριστά την πρώτη τους λέξη.

Στο διάλειμμα, μιλώντας (ας το πούμε "μιλώντας") στο γραφείο με συναδέλφους, διαπίστωσα πως όλοι μιλούσαν κανονικά και δεν παρασύρονταν συνομιλώντας μαζί μου, να ψιθυρίσουν ή έστω να χαμηλώσουν τον τόνο της φωνής τους. Με εξαίρεση μία μόνο συνάδελφο, που βιάστηκε όμως να προβεί σε αυτορρύθμιση, σχολιάζοντας περιπαιχτικά τον εαυτό της και να συνεχίσει μεγαλοφώνως αυτό που μου έλεγε.

Έτσι, απουσία φωνής, σήμερα στο σχολείο μου δόθηκε η ευκαιρία να απολαύσω αυτήν τη γνήσια παιδικότητα, που μιμητικά προσαρμόζεται και αναπαράγει τα πρότυπα. 
Κι ύστερα ένιωσα την ευθύνη να βαραίνει πάνω μου, καθώς είδα - για μιαν ακόμη φορά- πόσο μεγάλη επιρροή ασκεί η στάση μας και η συμπεριφορά μας στα μικρά παιδιά!

Σάββατο, 10 Δεκεμβρίου 2016

Η ... (ΣΥΜ)ΠΛΗΡΩΣΗ ΤΗΣ ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ!

με τη "θεά των μικρών θριάμβων" της Γ. Γκρανέκ

Τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ είναι αναμφιβόλως από τα πιο πολυσυζητημένα θεωρήματα στην ιστορία των σύγχρονων Μαθηματικών. Η φαινομενικά εύκολη ερμηνεία του πρώτου θεωρήματος σε συνδυασμό με την ανθρωπίνως πολυπόθητη παντός είδους πληρότητατα του τίτλου, προσδίδουν στο θεώρημα μυστηριακή γοητεία, σε βαθμό που του επιτρέπει να ξεπερνά τους στενούς μαθηματικούς κύκλους, στους οποίους εκ των πραγμάτων περιορίζονται τα των Ανωτέρων Μαθηματικών θεωρήματα. 
Το θεώρημα της μη πληρότητας έχει εμπνεύσει και συνεχίζει να εμπνέει μαθηματικούς, φιλοσόφους, καλλιτέχνες, ποιητές, περισπούδαστους ανθρώπους, καθώς και μέγα πλήθος αδαών,  παντελώς ασχέτων με το χώρο της φιλοσοφίας και των Μαθηματικών.   
Και ο ίδιος ο Κουρτ Γκέντελ, που στα 25 του χρόνια διατύπωσε και απέδειξε τα θεωρήματά του, λόγω της αμφιλεγόμενης προσωπικότητάς του και της περιπετειώδους του ζωής  έχει γίνει θέμα μυθιστορημάτων, θεατρικών έργων και φυσικά πολλών βιβλίων εκλαΐκευσης της επιστήμης, τα περισσότερα από τα οποία έχουμε διαβάσει και συζητήσει σχολαστικά στις Λέσχες Ανάγνωσης της Ομάδας Θαλής+Φίλοι, γιατί σε όλους μας, ειδικούς και μη, δεν παύει να ασκεί απέραντη γοητεία η μυστηριώδης μορφή με την τόσο μεγάλη ιστορία.
Προσωπικά είχα πρωτοδιαβάσει και είχα αναζητήσει σχετικό υλικό εννιά χρόνια πριν, όταν για τις ανάγκες του πενθήμερου εργαστηρίου λεσχών της Ομάδας Θαλής+Φίλοι μου είχε ανατεθεί ο συντονισμός εργαστηρίου με θέμα το βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη, "Από την παράνοια στους αλγορίθμους, η 17η νύχτα και άλλες διαδρομές". 
Είχα ενθουσιαστεί με τον Κουρτ Γκέντελ, με τη ζωή  του, με την προσωπικότητά του, με το θεώρημά του (στο βαθμό που το κατάλαβα... :) ), με την επίδραση του θεωρήματός του στα Μαθηματικά του προηγούμενου αιώνα. Φυσικά μέσα από τα σχετικά με τον Κουρτ Γκέντελ αναγνώσματα διάβηκα όλο το χωροχρονικό ιστορικό πλαίσιο μιας ταραγμένης  και (για μια ακόμη φορά) αιματοκυλισμένης Ευρώπης, που ώθησε ένα πλήθος Ευρωπαίων επιστημόνων να μεταναστεύσουν στις Η.Π.Α., με αποτέλεσμα το Ινστιτούτο Προχωρημένων Μελετών του Πρίνστον να σωρρεύσει  την αφρόκρεμα των εβραιο-γερμανικών μυαλών. 
Ανεξάντλητο το περιβάλλον του θεωρήματος, από κάθε άποψη. Πολύ υλικό (κάποιο από το οποίο υπάρχει εδώ) για συζήτηση σε Λέσχες Ανάγνωσης και όχι μόνο. Θέματα για πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις, για κάθε επίπεδο δυσκολίας και για κάθε λογής ενδιαφέροντα.
Ένα από αυτά τα ενδιαφέροντα είναι ο γάμος του Κουρτ Γκέντελ με την κατά εφτά χρόνια μεγαλύτερή του αυστριακή χορεύτρια Αντέλ Νιμπέρσκυ, (Πόρκερτ) η οποία  δεν διέθετε ιδιαίτερη πνευματική καλλιέργεια και απείχε πολύ από το να κατανοεί τις γκεντελίστικες θεωρίες και μεθόδους λογικής.
Ήταν όμως η Αντέλ η γυναίκα που επί πενήντα χρόνια στήριξε με πάθος τον ιδιόρρυθμο σύζυγό της, αφού πρώτα εγκατέλειψε την προσωπική της ζωή για χάρη του και έγινε μια (αντι)ηρωίδα στη δύσκολη καθημερινότητα του Κουρτ Γκέντελ. 
Η  χήρα Αντέλ Γκέντελ, η μέχρι τώρα ελάχιστα συζητημένη στις Λέσχες Ανάγνωσης μας, έρχεται δυναμικά να διεκδικήσει τη θέση που της αναλογεί, ως ηρωίδα, όχι πλέον στη ζωή του αποθανόντα συζύγου της, αλλά στο μυθιστόρημα της Γιανίκ Γκρανέκ "Η θεά των μικρών θριάμβων", που κυκλοφόρησε πέντε μέρες πριν από τις εκδόσεις αλεξάνδρεια σε μετάφραση Τεύκρου Μιχαηλίδη. Η κυρία Γκέντελ έρχεται να αφηγηθεί με τη δική της οπτική -μέσα από τη μυθιστορηματική ματιά της Γκρανέκ- τα επί μισό αιώνα βιώματά της στο πλευρό του μεγάλου (παράλογου;) λογικιστή.

Το 1980 η Άννα Ροθ, μια νεαρή και άσημη αρχειοθέτρια, αναλαμβάνει να εξασφαλίσει για λογαριασμό του Ινστιτούτου Προχωρημένων Μελετών, στο οποίο εργάζεται, το αρχείο του Κουρτ Γκέντελ, το οποίο -μετά τον θάνατό του το 1978- έχει περιέλθει στη σύζυγό του Αντέλ. Η αποστολή της Άννας είναι ιδιαίτερα δύσκολη, επειδή η κυρία Γκέντελ φαίνεται πως παίρνει την όψιμη εκδίκησή της απέναντι στους πνευματικούς ηγέτες του Πρίνστον, οι οποίοι καθόλη τη διάρκεια της ζωής της την απαξίωναν.
Όμως η Άννα καταφέρνει να προσεγγίσει την "περιβόητη μέγαιρα" Αντέλ και να αναπτύξει μια ιδιαίτερη σχέση μαζί της, με αποτέλεσμα η δεύτερη "να αφηγηθεί μια ιστορία που κανείς μέχρι τότε δεν θέλησε να ακούσει. Από τη λαμπερή Βιέννη της δεκαετίας του 1930 στο μεταπολεμικό Πρίνστον, από το Άνσλους* στον Μακαρθισμό κι από το τέλος του θετικιστικού ιδεώδους στην επέλαση των πυρηνικών εξοπλισμών. Η Άννα, εν τέλει, ανακαλύπτει τη διαδρομή μιας γυναίκας η οποία βρέθηκε αντιμέτωπη σ' όλη της τη ζωή με την αδύνατη εξίσωση που συνδέει την ιδιοφυΐα, τον έρωτα και την τρέλα."

Σήμερα το πρωί άρχισα να το διαβάζω.
Δεν έχω φτάσει ούτε στη μέση και προβληματίζομαι ήδη για το ποια από τις σελίδες που έχω επιλέξει θα αντιγράψω εδώ. Δεν μπορώ να διαλέξω τι να πρωτοπώ, και τι να περιγράψω. Γέρνω μάλλον σε εκείνη τη σκηνή από την αφήγηση της Αντέλ, που περιμένει υπομονετικά τον σύζυγό της στην έξοδο του  καφέ Reichsrat, απέναντι από το Πανεπιστήμιο. Έξω από "Το καφέ της μη πληρότητας", όπως ονομάζει το κεφάλαιο η Γκρανέκ...
Ενώ μέσα ο "Κύκλος της Βιέννης" συναθροίζεται για να χτίσει ξανά έναν κόσμο, που η Αντέλ δεν υποπτεύεται καν ότι χρειάζεται αναδόμηση, αυτή περιμένει από έξω, νιώθοντας την υγρασία και την ταπείνωση να τις ποτίζουν το κόκκαλο. Περιμένει τον Κουρτ να φανεί...
Ναι, δεν υπάρχει αμφιβολία, θα την αντιγράψω αυτή τη σκηνή.

Προς το παρόν θα διαβάσω τα υπόλοιπα κεφάλαια του βιβλίου και θα απολαύσω την "πληρότητα" που παρέχει το απόγευμα του Σαββάτου, με ένα φλυτζάνι ζεστό καφέ συντροφιά με ένα μυθιστόρημα περί "μη πληρότητας", που θα τη συμπληρώνει...

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Τεύκρο, σε ευχαριστούμε  για την ωραία μετάφραση, ακόμη ενός πολύ ωραίου βιβλίου.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
*Με την ονομασία Anschluss (Άνσλουσ) είναι γνωστή η προσάρτηση της Αυστρίας το 1938 στο Γερμανικό Ράιχ (Deutsches Reich), που δημιούργησε στη χώρα το καθεστώς των Εθνικοσοσιαλιστών του Χίτλερ.  (εδώ)


Τετάρτη, 7 Δεκεμβρίου 2016

ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΓΑΠΗΣ...

Παίρνει καιρό να βάλει ο καθηγητής τους μαθητές και τις μαθήτριες της Α' Γυμνασίου σε μια σειρά. Να τους βάλει σε τάξη και να τους οργανώσει με κάποιον τρόπο για να πάψουν να ρωτούν κάθε λίγο και λιγάκι "Σε ποιο τετράδιο να τα γράψουμε, κυρία; Στο καθαρό ή στο πρόχειρο;" Και χρειάζεται ιώβεια υπομονή, για να μη χάσει ο διδάσκων την ψυχραιμία του, ώστε να επαναλάβει για χιλιοστή φορά με γλυκιά και τρυφερή φωνή: "Στο πρόχειρο παιδιά. Στο πρόχειρο! Ό,τι γράφετε στην τάξη το γράφετε στο πρόχειρο. Τις ασκήσεις που κάνετε στο σπίτι τις γράφετε στο καθαρό, εντάξει;" Και πάνω  εκεί που θα έλεγε κανείς ότι επιτέλους το κατάλαβαν όλοι και δεν θα το ξαναρωτήσουν ποτέ ξανά, ακούγεται κάποιος σχολαστικός: "Στο πρόχειρο των μαθηματικών ή στο άλλο το πρόχειρο;" 
Έτσι καταλαβαίνω πως ήταν λάθος επιλογή να ζητήσω για το μάθημά μου δυο τετράδια, ένα "καθαρό" για τις ασκήσεις που κάνουν στο σπίτι και ένα "πρόχειρο μαθηματικών" όπου θα γράφουν μόνο ό,τι κάνουμε μαζί στο σχολείο. Δεν είναι λάθος τα δύο τετράδια. Είναι λάθος ο τρόπος που ονομάστηκαν. Το "πρόχειρο των μαθηματικών" συγχέεται με το άλλο το πρόχειρο Από του χρόνου θα τα λέω: Τετράδιο Μαθηματικών σπιτιού και Τετράδιο Μαθηματικών σχολείου, μήπως και αποφύγουμε το μπέρδεμα που κάνει την ερωτήση "σε ποιο τετράδιο, κυρία;" να ακούγεται σαν ηχώ μέχρι και λίγο πριν από τον Δεκέμβρη... :)
Όμως τώρα φτάσαμε στο μήνα Δεκέμβριο και τα πράγματα έχουν μπει σε σειρά. Έχοντας την περσινή εμπειρία από το Γυμνάσιο, φέτος πρόβλεψα τουλάχιστον τι πρέπει να κάνω για να μη ρωτάνε: "Τα γράφουμε αυτά, κυρία;", μια ερώτηση που εννιά στις δέκα φορές προηγείται της "Σε ποιο τετράδιο, κυρία;"
Όπως και να έχει όμως η μακρά περίοδος προσαρμογής των μικρών παιδιών από την "οικογενειακή" ατμόσφαιρα του Δημοτικού στην "ακαδημαϊκή" τυπικότητα του Γυμνασίου είναι μια δύσκολη περίοδος που απαιτεί την αμέριστη συμμετοχή του εκπαιδευτικού και του γονέα. Και αν οι γονείς το βιώνουν αυτό  μια, δυο, τρεις φορές,  οι καθηγητές το ζουν ξανά και ξανά. Κι εγώ πέρυσι βρέθηκα σε Γυμνάσιο για πρώτη φορά. Και εντυπωσιάστηκα με τον αυθορμητισμό των μικρών παιδιών, με τις εκδηλώσεις αγάπης, με τις κάρτες που μου έφτιαχναν, για να εκφράσουν τα συναισθήματά τους, με τον τρόπο που με κοίταζαν μες στα μάτια...Ενθουσιάστηκα με το "Καλημέρα κυρία Καλφοπούλου!!!" που μου έλεγαν πέντε και δέκα φορές τη μέρα, όπου και αν με συναντούσαν! Πόσο διαφορετικά από το Λύκειο, όπου ... μια καλημέρα είναι αυτή, πες την κι ας πέσει χάμω... Τέλος πάντων.
Μέχρι τώρα είχα την αίσθηση πως αυτό που έζησα πέρυσι δεν πρόκειται να το ξαναζήσω. Έλεγα πως έτυχε, πως έπεσα σε αγαπησιάρικα παιδιά, πως το τμήμα είχε πολλά κορίτσια ίσως, πως μάλλον ξέχασα πώς φέρονται τα δωδεκάχρονα παιδιά. Και η αλήθεια είναι ότι στο σχολείο μου φέτος δεν υπήρχαν τέτοιου είδους εκδηλώσεις, ούτε ιδιαίτερες συναισθηματικές εξάρσεις. Οι καλημέρες βέβαια παίρνουν και δίνουν.  Τα χαμογελαστά "γεια σας κυρία Καλφοπούλου", ακούγονται βροντερά από την άλλη άκρη της (πολύ πολύ μεγάλης) αυλής του σχολείου μας, αλλά  τα "Σ' αγαπώ", τα "LOVE MATHS"  και οι καρδούλες στον πίνακα δεν έκαναν την εμφάνισή τους όπως στον περσινό πίνακα.
Μια καρδιά από τον περσινό πίνακα...
Έλα όμως που όταν ο δάσκαλος καλομάθει σε εκδηλώσεις συμπάθειας και αγάπης τις αποζητά... Είδα και απόειδα φέτος. Πολύ καλά τα παιδιά, δεν λέω. Έστρωσαν. Άρχισαν σιγά σιγά να ενθουσιάζονται με το μάθημα. Άρχισαν κάποια να λένε: "Μαθηματικά, το καλύτερο μας!", αλλά μόνο στα λόγια... Γραπτή απόδειξη καμιά. Ούτε μια καρδιά...
Πριν λίγο καιρό, καθώς εξηγούσα μια δύσκολη έννοια, έγραψα ένα παράδειγμα στον πίνακα και αντί να το υπογραμμίσω ή να το κυκλώσω, όπως κάνω συνήθως για να δώσω έμφαση, το έβαλα μέσα σε μια καρδιά! "Καρδιά, κυρία!!!" Παραξενεύτηκαν κάποια παιδιά! "Ναι, παιδιά! Καρδιά!", υπερασπίστηκα την επιλογή μου. Και έκτοτε την επανέλαβα και την είδα να πολλαπλασιάζεται στα τετράδια των παιδιών, να πλαισιώνει έννοιες και παραδείγματα. Γεμίσαμε τον τόπο καρδούλες! Και θα συνεχίσουμε μέχρι να γεμίσουμε και την καρδιά μας με αγάπη για τη γνώση και για τα Μαθηματικά, επειδή και τα Μαθηματικά ξεκινούν απ' την καρδιά.

Σήμερα, στην επανάληψη της Γεωμετρίας, ο πίνακας γέμισε καρδιές! Οι γωνίες έγιναν ζεύγη κι αγαπήθηκαν, οι μοίρες τους μετρήθηκαν και οι ασκήσεις λύθηκαν!

Και, πριν χτυπήσει το κουδούνι, νέες σχέσεις αγάπης αναπτύχθηκαν...  <3


--------------------------------------------------------------------------------------------
Επανέρχομαι στην ανάρτηση, τρεις μέρες μετά, για να συμπληρώσω με μια φωτογραφία από τον πίνακα ενός άλλου σχολείου, από την Αθήνα.
Μια φωτογραφία που μου έστειλε η αγαπημένη φίλη και πολύ καλή συνάδελφος Άννα,  την επομένη της ανάρτησης... αλλά μόλις προ ολίγου την είδα και χάρηκα διπλά, επειδή όπως φαίνεται οι σχεσεις αγάπης φτερουγίζουν πέρα  από την πόρτα της σχολικής τάξης και ταξιδεύουν μακριά!
Σε ευχαριστώ πολύ Άννα για την τόσο όμορφη φωτογραφία!

Πέμπτη, 1 Δεκεμβρίου 2016

ΑΓΩΓΗ ΑΝΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ...

  Καθώς οι μέρες περνούν και ο χειμώνας προχωράει βαρύς και παγερός η σχολική καθημερινότητα αποκτά, φαινομενικά τουλάχιστον, τις κανονικότητές της, δηλαδή εκείνα τα μοτίβα που την καθιστούν επαναλαμβανόμενη και κατά συνέπεια προβλέψιμη, αλλά όχι κατ' ανάγκη διαχειρίσιμη. Από το σύνολο της πολύπλοκης σχολικής ζωής όμως θα περιοριστώ στα όσα συμβαίνουν εντός των τειχών της σχολικής τάξης, εκεί όπου καθημερινά με τους μαθητές μου, τουλάχιστον με όσους εμπλέκονται στο μάθημα -και ευτυχώς για μένα είναι σχεδόν όλοι τους- παλεύουμε με ... τα σημεία και τα τέρατα της Άλγεβρας. Με τους παράγοντες και τους όρους και γενικά με τις μαθηματικές έννοιες, που ένας θεός οίδε πού θα φανούν χρήσιμες! Και καθόλου δεν αστειεύομαι λέγοντάς το αυτό. Σοβαρολογώ. 
Διδάσκω σε δύο τμήματα της Γ' Γυμνασίου, με πολύ χαμηλό μέσο όρο και μεγάλο εύρος επίδοσης. Όσα τα εικοσάρια, τόσα και τα μηδενικά στο ωριαίο διαγώνισμα του τετραμήνου σε θέματα μέσης δυσκολίας και μετά από επανάληψη όπου λύθηκαν αναλυτικά και με πολλές υπογραμμίσεις πανομοιότυπες ασκήσεις... Ο λόγος που το έκανα αυτό ήταν πως ήθελα να τους παράσχω ψυχολογική υποστήριξη και να γράψουν σχεδόν όλοι έναν αξιοπρεπή διψήφιο βαθμό! Δυστυχώς το αποτέλεσμα ήταν πολλοί από τους μέσους μαθητές να γράψουν άριστα και σχεδόν όλοι οι χαμηλότερης επίδοσης να πάρουν περίπου μηδέν. (Δικόρυφη κατανομή με δύο επικρατούσες τιμές, το 3 και το 19!).
Τίθεται τώρα το τετριμμένο ερώτημα:
Τι κάνει ο δάσκαλος σε μια τέτοια περίπτωση; Αφήνει τους μισούς στο έλεος του θεού και συνεχίζει (ανεβάζοντας το επίπεδο) με τους άλλους μισούς; 
Πώς διαχειρίζεται κανείς τη μεγάλη ανομοιογένεια των τμημάτων; 
Στα Αγγλικά χωρίζουν τους μαθητές σε επίπεδα. Στα Μαθηματικά all together... 
Όμως αυτό δεν είναι κατ' ανάγκη κακό. Είναι σίγουρα περιοριστικό για τους "καλούς" μαθητές, αλλά όχι κακό. Ειδικά όταν το μάθημα γίνεται με συζήτηση μεταξύ των μαθητών, οπότε αναδύονται όλα τα υφέρποντα, πλην πασίγνωστα, προβλήματα, όπως η παντελής αδυναμία κατανόησης των αλγεβρικών συμβόλων, η τυφλή τους διαχείριση, η άκριτη "αναπαραγωγή" διαδικασιών σε περιπτώσεις, στις οποίες είναι ανεφάρμοστες και άλλα τέτοια, τα οποία  έχουν όλα κοινή βάση: τη δυσλειτουργία της γλώσσας γενικά και την ένδεια της αλγεβρικής γλώσσας ειδικότερα. 
Προς επίρρωση του ισχυρισμού μου, θα αναφέρω μερικά σχετικά παραδείγματα. Δικά μου  αλλά και ένα παράδειγμα συναδέλφου, το οποίο αναρτήθηκε σε ομάδα μαθηματικών σε κοινωνικό δίκτυο, με σκοπό να συμβάλει στη συζήτηση που διατηρούμε ανοιχτή όσοι διδάσκουμε Μαθηματικά και ενδιαφερόμαστε για τα αποτελέσματα της διδασκαλίας μας.
Τον καιρό αυτό, όπως και οι περισσότεροι συνάδελφοι στη Γ' Γυμνασίου, διδάσκω την παραγοντοποίηση, δηλαδή "τη διαδικασία μετατροπής ενός αλγεβρικού αθροίσματος σε γινόμενο πρώτων παραγόντων". Προφανώς για να καταλάβει κανείς τι σημαίνει όλο αυτό απαιτείται να γνωρίζει τουλάχιστον τι σημαίνει "άθροισμα", τι "γινόμενο" και τι οι άλλες έννοιες που συνδέονται με αυτές τις λέξεις. Οι "όροι" του αθροίσματος δηλαδή και οι "παράγοντες" του γινομένου. Σχετικά εύκολες λέξεις, που  τα παιδιά διδάσκονται ήδη από το Δημοτικό και τις ακούν κάθε χρόνο σε κάθε μάθημα Άλγεβρας, άρα θεωρητικά τις γνωρίζουν όλοι οι μαθητές. Θεωρητικά! Και μόνο θεωρητικά, όμως. Τι εμποδίζει τους μαθητές μας να μάθουν μερικές τόσο απλές λέξεις; Δεν γνωρίζω! Υποθέτω μόνο... Άλλωστε το θέμα πρέπει να απασχολήσει τους ειδικούς και πρέπει να διερευνηθεί.
Αυτό που γνωρίζω εγώ είναι ότι η άγνοια τέτοιων απλών, λειτουργικών και επαναλαμβανόμενων λέξεων εμποδίζει τους μαθητές να εφαρμόσουν στοιχειώδεις(;)  αλγοριθμικές διαδικασίες, όπως η εφαρμογή των ταυτοτήτων και η παραγοντοποίηση. 
Σε ένα από τα τελευταία μαθήματα, όπου κάναμε ασκήσεις παραγοντοποίησης έχοντας ολοκληρώσει τη θεωρία, ζήτησα να παραγοντοποιήσουν την παράσταση:  x^3-2x^2+x-2.


Σηκώθηκαν πολλά χέρια, για να πουν τι θα κάνουμε. Έδωσα το λόγο στη Σ. η οποία  ήταν πολύ χαρούμενη, επειδή είχε καταλάβει πώς παραγοντοποιούνται αυτές οι παραστάσεις και τότε εγώ, που ήμουν επίσης πολύ χαρούμενη με τη χαρά της, την άκουσα να λέει "Επειδή υπάρχουν ... όμοιοι όροι θα τους πάρουμε δύο δύο". Αυτό το "όμοιοι όροι" το ένιωσα  να περιστρέφεται βαρύ στον αέρα και να πέφτει σαν χαστούκι στο μάγουλό μου! Σλάααατσ! Με έτσουξε! "Όμοιοι όροι;!", ρώτησα με φωνή που ίσα που ακούστηκε. "Ναι!", είπε όλο ενθουσιασμό η μαθήτρια. "Ε, άμα υπάρχουν όμοιοι όροι, τότε γιατί δεν κάνουμε  αναγωγή όμοιων όρων...", είπα μονολογώντας για να προκαλέσω αντιδράσεις.  Καμία αντίδραση δεν προκάλεσα στο σύνολο της τάξης. Αναγκάστηκα για εκατομμυριοστή φορά να πω τη διαφορά ανάμεσα στο "όμοιοι όροι" και "κοινός παράγοντας", μένοντας με την αίσθηση πως δεν τους αγγίζει και πολύ το θέμα. Όλοι βιάζονταν να τελειώσουν την άσκηση.
Τέλος πάντων, κάναμε κι άλλες ασκήσεις. 
Αλλά εμένα μου είχε σταθεί πολύ στραβά αυτό το "τι όμοιοι όροι, τι κοινός παράγοντας...", οπότε κάποια στιγμή ενώ συζητούσαμε την 12x^2-8xy-15x+10y και είχαμε κάνει τη μερική ενδιάμεση παραγοντοποίηση, επειδή κάποιος από κάτω είπε πάλι: "υπάρχουν όμοιοι όροι, οι παρενθέσεις (3x-2y)", σταμάτησα απότομα την άσκηση στη μέση. "Περιμένετε!", είπα, σχεδόν αγριεμένη. "Για κάντε λίγο αυτό: 3α-β+6α-2β". Και τα παιδιά το έκαναν.
Εγώ γύριζα πάνω κάτω στην τάξη και έβλεπα τα τετράδια. Με ελάχιστες εξαιρέσεις, όπου έκαναν κανονικά την αναγωγή των όμοιων όρων, οι περισσότεροι μαθητές έκαναν  κάποιες κινήσεις/αλλαγές και έδωσαν ως τελική απάντηση ένα αμφιλεγόμενο αποτέλεσμα με εμφανή τα ίχνη της ... παραγοντοποίησης ! Υπήρχαν και μια δυο σωστές απαντήσεις, όπου η αναγωγή των όμοιων όρων είχε γίνει με την "ανάποδη επιμεριστική", όπως ακριβώς στην Α' Γυμνασίου και όχι με τον άμεσο τρόπο που συνήθως εφαρμόζουν τα μεγάλα παιδιά της Γ' ή όσα από αυτά μπορούν, τέλος πάντων!




Όταν εξήγησα στη συνέχεια πόσο είχαν παραπλανηθεί και πόσο άκριτα λειτούργησαν, μια μαθήτρια χτύπησε το κεφάλι της στο θρανίο σε ένδειξη δυσαρέσκειας για τον τρόπο που είχε εφαρμόσει! Η μαθήτρια αυτή ήταν ένα από τα εικοσάρια του ωριαίου!

Δυστυχώς αυτά τα φαινόμενα είναι είναι πολύ συχνά. Είναι επαναλαμβανόμενα και τείνουν αυξανόμενα όχι μόνο στη δική μου σχολική  τάξη.  Παντού! Όπως φαίνεται και στις φωτογραφίες 1 και 2.  Τις έχει αναρτήσει ένας άλλος προβληματισμένος με το ζήτημα συνάδελφος στη σελίδα της διαδικτυακής ομάδας "Εφαρμοσμένη Διδακτική Μαθηματικών". Ο συνάδελφος   διδάσκει (νομίζω) σε φροντιστήριο και όχι σε Δημόσιο σχολείο. 

ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ 1
ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ 2

Θεωρώ ότι το υπόβαθρο του λάθους, που έχει κάνει το παιδί που έλυσε τις ασκήσεις στις παραπάνω φωτογραφίες, διόλου δεν διαφέρει από το λάθος που έκαναν τα δικά μου παιδιά , όταν υπολόγισαν το άθροισμα "3α-β+6α-2β", κάνοντας τρόπον τινά παραγοντοποίηση. Και στις δύο περιπτώσεις το λάθος προκύπτει από την εφαρμογή μιας μεθόδου ενός άλλου παραδείγματος, είναι δηλαδή ένα λάθος "αναλογικότητας",  με τη διαφορά ότι οι λάθος απαντήσεις των μαθητών μου δεν ήταν τόσο ... ανατριχιαστικά λάθος όσο το -8=x=4, στο οποίο κατέληξε ο μαθητής του συναδέλφου.
Δεν πρέπει να κρίνουμε εκ του αποτελέσματος όμως.
Θα πρέπει να διερευνούμε τον τρόπο που σκέφτεται ή που δεν σκέφτεται ο μαθητής, καθώς εκεί, στον τρόπο σκέψης και στη "γλώσσα" που χρησιμοποιεί σκεπτόμενος, ελλοχεύει η βάση του προβλήματος, ενός αξεπέραστου προβλήματος για το μεγάλο όγκο των μαθητών, των οποίων καλούμαστε να αναλάβουμε τη ... μαθηματική αγωγή. Ενός προβλήματος που είναι ο μόνιμος πονοκέφαλος των εκπαιδευτικών...

-------------------------------------------------------------------------------------------
Ως μια μικρή παρηγοριά θα αναφέρω ένα παρόμοιο λάθος "αναλογικότητας" που είχε κάνει μια μαθήτριά μου μερικά χρόνια πριν, στην Α' Λυκείου. Ήταν το μοναδικό εικοσάρι που είχα βάλει (σε Άλγεβρα και σε Γεωμετρία) στο 1ο τετράμηνο. Μια μέρα μετά την παράδοση της βαθμολογίας του τετραμήνου, η μαθήτρια σηκώθηκε στον πίνακα και έλυσε μια εξίσωση. Η λύση με είχε αφήσει άναυδη! 

(Ολόκληρη η σχετική ανάρτηση υπάρχει εδώ )
Θα αναρωτηθεί κανείς πού βρίσκεται η παρηγοριά... :)
Η παρηγοριά βρίσκεται στο ότι η  μαθήτρια της οποίας η λύση φαίνεται στον παραπάνω πίνακα είναι σήμερα τριτοετής στην Ιατρική και απέχει πολύ από εκείνη την εποχή που μελετούσε την Άλγεβρα τη σχολική, πιθανότατα χωρίς να πολυκαταλαβαίνει τι κάνει και γιατί.
Μελετούσε συστηματικά τούτο το άνευ νοήματος παιχνίδι  συμβόλων, που επιβάλλεται για την αγωγή όλων ανεξαιρέτως των παιδιών και των ... ανόμοιων όρων.

Τετάρτη, 23 Νοεμβρίου 2016

ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΛΕΥΡΑ ΤΟΥ ΣΥΝΟΔΗΓΟΥ

ΚΙ ΑΛΛΑ ... ΠΑΡΑ-ΠΛΕΥΡΑ ΣΧΟΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Συμβαίνει να πιάνω τη σκέψη μου αξημέρωτα να μιλάει μόνη της, συνεχίζοντας το μάθημα της προηγούμενης μέρας και τότε, παριστάνοντας την κοιμισμενη, άλλοτε την αφήνω να μονολογεί και να ξεμακραίνει κι άλλοτε πάω από κοντά και καταγράφω τα λόγια της. Μερικές φορές, όταν έχω χορτάσει τον ύπνο μου, ξεκινώ την κουβέντα μαζί της.
Ειδικά τον τελευταίο καιρό, στερούμενη τη διέξοδο που παρέχει η εξωστρέφεια του ιστολογίου, αφού έχω σταματήσει να γράφω εδώ όσα βιώνω στο σχολείο μου, συχνά πέφτω στην παγίδα του πρωινού ημικοιμισμένου μονόλογου, που αντλεί τη θεματολογία του από τη σχολική τάξη και επεκτείνεται πέρα από το χώρο και το χρόνο του σχολείου σε εικασίες ουτοπικές και ταυτόχρονα καθολικές και πανανθρώπινες.
Πώς μπορεί να ξεκινήσει κανείς από το περιορισμένο σαρανταπετάλεπτο της διδακτικής ώρας και τα λίγα κυβικά της σχολικής αίθουσας και να φτάσει σε θέματα πέρα από τον  τόπο και τον χρόνο, εκτός τόπου και χρόνου δηλαδή, είναι μια εγκεφαλική διεργασία για την οποία λίγα γνωρίζω και ακόμη λιγότερα κατανοώ. 
Αυτό που κατανοώ καλά όμως είναι πως για να γνωρίσω το ο,τιδήποτε, το οποίο ο,τιδήποτε χάριν ευκολίας στο εξής θα αποκαλώ Χ, δεν αρκεί μονάχα να το δω και να το αγγίξω. Χρειάζονται και αυτά, δεν λέω... Αλλά δεν φτάνουν. Για να γνωρίσω το Χ και για να το κρατήσω μέσα στο κεφάλι μου, ώστε να μπορώ να το ξανασκεφτώ, να το ανακαλέσω από τη μνήμη μου, να το φανταστώ και να το χρησιμοποιήσω είτε για να λύσω μια άσκηση των Μαθηματικών είτε για να γράψω ένα κείμενο είτε για να φτιάξω, ας πούμε, μια μηλόπιτα, θα πρέπει να μπορώ να το ονομάσω και να το περιγράψω με λόγια. Θα πρέπει να μπορώ να αντιστοιχίσω την εικόνα του σε μια ή περισσότερες λέξεις και να φτιάξω στο κεφάλι μου ένα "νοηματικό σύνολο", μια συγκεκριμένη δομή, αφενός διακριτή αφετέρου πολυσήμαντη! 
"Διακριτή", επειδή πρέπει να μπορώ να την εντάξω σε μια συγκεκριμένη λειτουργία και "πολυσήμαντη" επειδή έξω από τη συγκεκριμένη λειτουργία, σε ένα διαφορετικό πλαίσιο δηλαδή, οι εικόνες και τα νοήματα που περιέχει αυτό το Χ θα μεταβάλλονται και συνακόλουθα θα μεταβάλλεται και η χρήση του.  
Θα μπορούσε, βέβαια, να πει κανείς ότι αυτά είναι θέματα των φιλολόγων που ξέρουν να χρησιμοποιούν τους παραδειγματικούς άξονες και να μελετούν βαθυστόχαστα το πλάτος και το βάθος της κάθε έννοιας. Θα μπορούσε ακόμη να ισχυριστεί πως τέτοια φιλολογικά θέματα δεν αφορούν μια φτωχή - πλην τίμια - μαθηματικό σαν του λόγου μου.
Και αν τα πράγματα ήταν κάπως διαφορετικά μπορεί και να συμφωνούσα μαζί του. Φέτος όμως που εγώ καλούμαι να διδάξω "διαισθητικά" τις γεωμετρικές έννοιες στους μικρούς μαθητές της Α' Γυμνασίου, δεν μπορώ να συμφωνήσω με μια τέτοια παραδοχή. Δεν μπορώ να δεχτώ πως το να ασχολείται κανείς με το βάθος, το ...μήκος και το πλάτος μιας λέξης αφορά μόνο τους φιλολόγους και πως  μια διαισθητική προσέγγιση στις γεωμετρικές έννοιες  αρκεί για τον κάθε μικρό μαθητή. Τουλάχιστον αυτό προκύπτει από το μάθημα, σε καθημερινή βάση.  Πάντα υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι μάτια, ανοιγμένα διάπλατα με απορία και παράπονο που, στην αρχή του μαθήματος, θα πει  "Κυρία, δεν κατάλαβα τι να κάνω στην άσκηση αυτή...". Και τότε πρέπει εγώ να καταλάβω τι δεν έχει καταλάβει το παιδί. Και αυτό που καταλαβαίνω από τη Γεωμετρία κάθε φορά είναι πως η διαφορετική λειτουργία μιας λέξης που δεν δηλώνεται ρητά μπερδεύει και ταλαιπωρεί πολύ τα παιδιά.
Ένα  παράδειγμα είναι η λέξη "πλευρά"! Τι είναι η "πλευρά";



"Η πλευρά τίνος;"
"Από μόνη της μια πλευρά δεν είναι τίποτα."
"Πρέπει να είναι η πλευρά κάποιου."
"Άλλωστε χρειάζονται τουλάχιστον δύο, για να αποκτήσει νόημα η μία..."

Ναι, αλλά τι είναι η πλευρά;

Χέρια σηκώνονται, φατσούλες συνοφρυόνονται, συζήτηση γίνεται και σιγά σιγά ξεκινά η απαραίτητη εμβάθυνση και η εννοιολογική προσέγγιση, που βάζει τα πράγματα στη θέση τους και λύνει τις απορίες και τις ασάφειες που  η διαίσθηση γεννά.
Οι λέξεις μπαίνουν σε σειρά.
Οι έννοιες συνδέονται,  ξεκαθαρίζονται και τα ματάκια που κατανοούν κοιτάζουν χαμογελαστά.
Είναι η ώρα που οι πλευρές της γωνίας γίνονται "ημιευθείες" και όχι δύο απλά βελάκια πάνω στην  εικόνα του βιβλίου, που στέκουν εκεί ακίνητα για να δηλώνουν "να, αυτό εδώ είναι πλευρά"! Την ίδια ώρα οι πλευρές του τριγώνου γίνονται  "ευθύγραμμα τμήματα"!
Σιγά σιγά όλα τα γεωμετρικά αντικείμενα λέγονται με το όνομά τους, ορίζονται και... ορίζουν έναν καινούριο κόσμο που μας καλεί να τον γνωρίσουμε και να τον κατακτήσουμε!
Μήπως αυτός δεν είναι ο προορισμός του κάθε παιδιού;
Δεν πρέπει να πάρει το τιμόνι στα χέρια του, για να ταξιδέψει μακριά και να μάθει πολλά;
Και ο δάσκαλος εκεί, απ' την πλευρά του συνοδηγού, να βλέπει και να αγρυπνά...