ΟΙ "ΚΑΛΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ" στην κορυφή του παγόβουνου!

Όταν μπαίνει κανείς το πρωί της Τσικνοπέμπτης  να κάνει Άλγεβρα σε τμήμα της Β' Λυκείου, μπορεί να βρεθεί αντιμέτωπος με τις πλέον περίεργες  και χιουμοριστικές καταστάσεις, όπως αυτή, για παράδειγμα, στην οποία βρέθηκα εγώ σήμερα, αμέσως μόλις δρασκέλισα την πόρτα του Βx! Γενικά είναι ασύνηθες το φαινόμενο της κατάμεστης αίθουσας στις 8.15 το πρωί σε ένα τμήμα της Β΄ Λυκείου, ανεξάρτητα από το διδασκόμενο μάθημα. Εντούτοις, σήμερα ήταν και οι τριάντα εκεί.  Απαξάπαντες! Και μάλιστα δέκα από τους τριάντα, μεταξύ των οποίων και οι μαθητές με το ελάχιστο δυνατόν ενδιαφέρον για το μάθημα της  Άλγεβρας, είχαν μεταμφιεστεί σε "καλούς μαθητές"  της δεκαετίας του 70!! Γυαλάκια στρογγυλά, πουκαμισάκια εφαρμοστά με καρό ντεσέν , κουμπωμένα μέχρι τον γιακά, παντελόνια με γραμμή ξεχασμένη από καιρό, ζώνες παλαιικές, τιράντες, γραβατούλες κι άλλα τινά αξεσουάρ που δεν συνηθίζουν να συμπεριλαμβάνουν στο βεστιάριο τους οι σύγχρονοι μαθητές,  είχαν καταφέρει να μεταμορφώσουν την εικόνα της τάξης. Πολύ δε περισσότερο που αυτοί οι μεταμφιεσμένοι μαθητές είχαν αλλάξει ολοσχερώς τη συνήθη διάταξη των καθισμάτων και είχαν καταλάβει τα πλέον κεντρικά θρανία, στα οποία κάθονταν άκαμπτοι, αμίλητοι, σοβαροί και με χέρια σταυρωμένα!!

Μου ήρθε να .... σταυροκοπηθώ από  έκπληξη, αντικρύζοντας το ασύνηθες μαθητικό μου κοινό :) Τελικά, χωρίς  να επικαλεστώ τον Χριστό και τον Απόστολο σταυροκοπούμενη μπροστά στο απίθανο θέαμα, ξέσπασα σε γέλια  τόσο τρανταχτά, που φάνηκε να ξαφνίαζουν ακόμη και τους δέκα μεταμφιεσμένους που τα είχαν προκαλέσει. Κι όσο εγώ συνέχιζα να γελάω δυνατά τόσο οι δέκα μεταμφισμένοι σφίγγονταν ακόμη περισσότερο στην ούτως ή άλλως ασφυκτική περιβολή τους και άλλο τόσο χαλάρωναν οι υπόλοιποι είκοσι, κάποιοι από τους οποίους φορούσαν μικρές κορώνες ή αυτάκια ή γιρλάντες ή είχαν περιοριστεί να βάψουν απλώς περίεργα τα πρόσωπά τους για να συμμετέχουν κι αυτοί ψυχή τι και σώματι στο εθιμοτυπικό της Τσικνοπέμπτης.

Ταλαντεύτηκα προς στιγμήν στο πώς θα έπρεπε να διαχειριστώ τον χρόνο μου, που ούτως ή άλλως δεν αρκεί για να διδάξουμε όλα όσα πρέπει, ακόμη και στην Άλγεβρα της Β' που έχει μειωθεί αλόγιστα.. Όμως το να επιβάλω στους "καλούς μαθητές" του ΄70  το τυπικό αλγεβρικό μάθημα, που είχα σχεδιάσει το 2012 και που προέβλεπε τις αντίστροφες εξισώσεις, μου φάνηκε εντελώς παράτερο τόσο με το σκηνικό όσο και με τις προσδοκίες των μεταμφιεσμένων παιδιών. Έτσι, αφού κάποτε σταμάτησα να γελώ και σοβαρεύτηκα και αφού τους επικρότησα αρκούντως για τις ενδυματολογικές τους επιλογές, για τις στυλιστικές τους δεξιότητες, αλλά και για την ιδιαίτερα σοβαρή και καθώς πρέπει  στάση τους στο μάθημα, ζήτησα στη συνέχεια να ασχοληθούμε με ένα πολύ ενδιαφέρον και διδακτικά χρήσιμο πρόβλημα. Συγκεκριμένα τους ζήτησα να διαβάσουν στη σελίδα 85 του βιβλίου τους την άσκηση 8.

Ο ήλιος ενός πλανητικού συστήματος με την πάροδο του χρόνου γίνεται άλλοτε θερμότερος και άλλοτε ψυχρότερος. Έχει εκτιμηθεί ότι η θερμοκρασία Τ σε βαθμούς Κελσίου στην επιφάνεια ενός πλανήτη του συστήματος, μετά από x εκατομμύρια χρόνια θα είναι: T=10x³-100x²+270x-180.

i) Μετά πόσο χρόνο θα έρθει το τέλος των παγετώνων του πλανήτη;

ii) Πότε θα αρχίσει ο επόμενος παγετώνας και πόσο θα διαρκέσει;  

Κάποιοι, ελάχιστοι, σήκωσαν το χέρι για να πουν πώς θα λύσουμε την άσκηση, αλλά οι περισσσότεροι έμοιαζαν συνοφριωμένοι. Πρόσεξα τους δέκα μεταμφιεσμένους μαθητές που διάβαζαν προβληματισμένοι την εκφώνηση. "Πραγματικά έχουν μπει στο πετσί του ρόλου που υποδύονται", σκέφτηκα και, για να αφήσω χρονικά περιθώρια σε όλους να σκεφτούν τη λύση της άσκησης, πρότεινα να απαντήσουμε αρχικά σε κάποια έμμεσα, πλην καίρια και βοηθητικά, ερωτήματα που προέκυπταν από την εκφώνηση. 

"Από πού προκύπτει η πληροφορία πως στον πλανήτη επικρατεί τώρα παγετώνας;" Φανταζόμουν πως θα σηκωθούν όλα σχεδόν τα χέρια για να δώσουν τη σωστή απάντηση. Ένα δυο χέρια μόνο σηκώθηκαν και οι απαντήσεις τους ήταν περίπλοκες και λανθασμένες, όπως "επειδή οι δύο όροι είναι θετικοί και οι άλλοι δύο αρνητικοί"!

 Η αλήθεια είναι ότι στη Β' Λυκείου ακολουθώ κι εγώ, όπως οι περισσότεροι διδάσκοντες, το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών, το οποίο εκ των πραγμάτων δεν ρίχνει το βάρος στην επίλυση προβλημάτων, αλλά περιορίζεται, όπως ακριβώς και το σύνολο των προγραμμάτων, στη διδασκαλία ενός στεγνού φορμαλισμού που δεν αντιστοιχεί σε καταστάσεις και δεν αντλεί νόημα από κάποιο ρεαλιστικό πλαίσιο, στο επίπεδο τουλάχιστον που αυτό είναι εφικτό. 

Ωστόσο, επειδή  είχα κάνει στις 2 του Φλεβάρη αναλυτικά στην τάξη το πρόβλημα 9 της σελίδας 80, με το παγόβουνο που λιώνει, και δεδομένου ότι εννοιολογικά τα δύο προβλήματα ήταν της  ίδιας περίπτωσης, φαντάστηκα ότι οι παγετώνες θα ήταν για τους μαθητές μου παιχνιδάκι. Δυστυχώς αποδείχτηκε πως δεν ήταν. Ευτυχώς προκάλεσαν μια εκτενή συζήτηση για το τι σημαίνει "μαθηματικό μοντέλο" και πώς οι επιστήμονες μοντελοποιούν, μέσω προσεγγίσεων,  επιδιώκοντας να κάνουν προβλέψεις, απαραίτητες για τη λήψη κρίσιμων αποφάσεων.

--------------------------------------------------------------------------

....Βέβαια στην επιστημονικά ενδεδειγμένη ορθότητα των αποφάσεων παρεμβαίνουν συνήθως μείζονα οικονομικά συμφέροντα ή ελάσσονες πολιτικοί και στρεβλώνουν τους ορθολογικούς νόμους και τους ασφαλείς κανόνες, δημιουργώντας προβλήματα. Το χειρότερο όλων δε είναι πως  τα εν λόγω προβλήματα συχνά δεν γίνονται αντιληπτά στο σύνολό τους, όπως ακριβώς και τα παγόβουνα, στα οποία διακρίνει κανείς μόνο την κορυφή, που είναι το 10% του συνολικού όγκου τους. Και αλίμονο δηλαδή, αν δεν βρεθεί ένα ικανό "μάτι" να μετρήσει τον κίνδυνο και να κάνει κάποια διορθωτική παρέμβαση ή έστω..ερμηνευτική διόρθωση...τροπολογία..ή όπως αλλιώς τα λένε οι νομικοί :)

Αυτά τα τελευταία, περί πολιτικών και οικονομικών συμφερόντων δεν τα συζητήσαμε στην τάξη, επειδή στο μεταξύ χτύπησε το κουδούνι (το οποίο μας κόβει πάντα στο καλύτερο :) ), αλλά τα σκεφτόμουν εγώ στο διάλειμμα, ως συνέχεια του μαθήματος που έγινε λόγω της μεταμφίεσης δέκα μαθητών σε "καλούς μαθητές", οι οποίοι μπαίνοντας στο πετσί του ρόλου τους παρακολούθησαν, ανέλπιστα,  συγκεντρωμένοι και σοβαροί  το "προσαρμοσμένο" στις ανάγκες της περίστασης μάθημα της Άλγεβρας. 
Και ήταν σαν να είχαν αντιληφθεί ξαφνικά, έτσι ντυμένοι με τις φαιδρές τους παλιομοδίτικες αμφιέσεις, πως πρέπει, επιτέλους, όλοι μας να σοβαρευτούμε, επειδή διαπιστωμένα πλέον δεν βρισκόμαστε  πάρα μόνο στην κορυφή ενός θεόρατου και πολύ επικίνδυνου παγόβουνου, που είναι πιθανόν ότι ξεκίνησε την πορεία του εκεί κάπου μετά το ΄70!

-------------------------------------------------------------------------------

Να συμπληρώσω δε το σχόλιο της απουσιολόγου, όταν μου έφερε να υπογράψω το απουσιολόγιο:

"Πρώτη φορά, κυρία, την πρώτη ώρα είναι όλοι παρόντες!"

"Νομίζω πως στο εξής σε κάθε μάθημα θα πρέπει εκ περιτροπής οι μισοί μαθητές να μεταμφιέζονται σε "καλούς μαθητές", της απάντησα, χωρίς να αστειεύομαι ...
--------------------------------------------------------------------------------
[Η ανάρτηση είναι αφιερωμένη εξαιρετικά στους δέκα! ]

"ΑΠΕΛΘΕΤΩ ΑΠ' ΕΜΟΥ ΤΟ... ΤΡΑΠΕΖΙΟΝ ΤΟΥΤΟ"

Όταν έφτασα το πρωί στο σχολείο, βρήκα τον Διευθυντή στο γραφείο των καθηγητών να ενημερώνει τους συναδέλφους, τους λίγους που είχαν φτάσει πριν από μένα, για μια καινούρια μαθήτρια που ήρθε στο σχολείο μας. Μετεγγραφή από ένα ιδιωτικό. Ο λόγος της μετεγγραφής δεν αναφέρθηκε ούτε και ζήτησα να τον μάθω. Πληροφορήθηκα μόνο πως πρόκειται για άριστη μαθήτρια και πως  εντάχτηκε τελικά στο x τμήμα της Β', με το οποίο είχα εγώ μάθημα την πρώτη ώρα. Έτσι μου έτυχε να είμαι αυτή που θα έπρεπε να συστήσει την καινούρια μαθήτρια στην τάξη. Δεν είναι και εύκολο για ένα παιδί να αλλάζει σχολικό περιβάλλον στη μέση της χρονιάς! Αφού, λοιπόν, ενημέρωσα τους μαθητές και τις μαθήτριες του τμήματος για την άφιξη του νέου μέλους λέγοντας το όνομά του, σκέφτηκα πως θα έπρεπε να συστηθώ στη μαθήτρια και  να της πω  τι μαθήματα διδάσκω, να γνωρίσει το παιδί με ποια έχει  να κάνει. Αμέσως μετά, και πριν αρχίσω το μάθημά μου, την ρώτησα   πού είχαν φτάσει στη Γεωμετρία στο σχολείο που πήγαινε πριν. Το κορίτσι με κοίταξε με ένα βλέμμα σαστισμένο, σαν να αιφνιδιάστηκε. "Να υποθέσω πως είσαστε κάπου στα εμβαδά;", ρώτησα για να τη διευκολύνω. Ξεροκατάπιε, συνοφρυώθηκε και μου απάντησε: "Ξέρετε, ήμασταν χωρισμένοι σε κατευθύνσεις. Εμείς της Θεωρητικής δεν κάναμε και πολλή Γεωμετρία, εεε, δηλαδή κάναμε κάτι λίγα πράγματα...". Δεν θέλησα να τη φέρω σε ακόμη πιο δύσκολη θέση, καλά καλά δεν είχε φτάσει στο καινούριο της σχολείο, γι' αυτό και δεν συνέχισα, αν και θα ήθελα πολύ να τη ρωτήσω "πόσο λίγα πράγματα, δηλαδή, κάνατε;". Από την άλλη δεν ήθελα να ακούσουν οι δικοί μου μαθητές πως σε κάποια σχολεία "δεν κάνουν  και πολλή Γεωμετρία", γιατί ομολογώ πως δαπάνησα πολύ χρόνο κι ακόμη περισσότερη ενέργεια, μέχρι να πείσω τους μαθητές του συγκεκριμένου τμήματος, ανεξαρτήτως κατεύθυνσης, να παρακολουθούν το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Και φυσικά δεν επαναπαύομαι στη σκέψη πως οι μαθητές έχουν πειστεί για τα πολλαπλά οφέλη που αποκομίζει κανείς μελετώντας τη Γεωμετρία, γιατί μάλλον δεν έχουν πειστεί εντελώς. Γι'αυτό σε κάθε ώρα του μαθήματος, με κάθε ( ανθρωπίνως δυνατό) τρόπο φροντίζω να γίνεται καταφανής η δύναμη της παραγωγικής-επαγωγικής μεθόδου που χρησιμοποιεί η Γεωμετρία, η οποία μας διδάσκει εκτός των άλλων και το πώς να αντιμετωπίζουμε προβλήματα που δεν σχετίζονται μόνο με θέματα των Μαθηματικών, αλλά, σχεδόν, με κάθε θέμα της καθημερινότητάς μας.
Ειδικά δε στο σημερινό μάθημα, μετά τη δήλωση της νεόφερτης μαθήτριας περί της όχι πολλής ενασχόλησής τους με τη Γεωμετρία στο προηγούμενο σχολείο της, όφειλα να δώσω μια ιδιαίτερα προσεγμένη "παράσταση" που δεν θα άφηνε περιθώρια για σκέψεις κατά του μαθήματος :)

Ευτυχώς που οι ασκήσεις στα εμβαδά, ειδικά αυτές που μοιάζουν με το κινέζικο  tangram προσφέρονται ιδιαίτερα για έντονο προβληματισμό, για παρατήρηση, για εμπρόθετο συνδυασμό θεωρητικών και εμπειρικών δεδομένων, για ενατένιση, για κριτική σκέψη και φυσικά για ...παιχνίδι και ψυχαγωγία! 
Ζήτησα από τους μαθητές να ασχοληθούν με την ακόλουθη άσκηση:  'Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ). Αν Ε είναι το μέσον της ΑΔ, να δείξετε ότι (ΑΒΓΔ) = 2(ΒΕΓ)'  (άσκηση Απ. 4,  σελ. 217, σχολικού),  διευκρινίζοντας αναλυτικά τα στάδια του "παιχνιδιού":

Προσπαθήστε, αρχικά, να μετασχηματίσετε το "κακοφορμισμένο" τραπέζιο, σε  ένα ισοδύναμο σχήμα το οποίο μπορείτε να διαχειριστείτε καλύτερα, δηλαδή μετασχηματίστε το σε ένα σχήμα που σας προσφέρει "σύμμετρες καταστάσεις". Έχετε υπόψη σας τους transformers... Κι από την άλλη έχετε υπόψη σας πως δεν αντιμετωπίζονται εύκολα οι "ασύμμετρες απειλές"! :)

Μετά  "ακτινογραφήστε" το σχήμα και προσπαθείστε να το αναλύσετε  στα εξ ων συνετέθη..

Επανατοποθετήστε τα κομμάτια με κατάλληλο τρόπο και... αυτό ήταν όλο!

Τώρα "κωδικοποιήστε" σωστά τις πληροφορίες σας και διατυπώστε, με μια λογική ακολουθία βημάτων, την απόδειξη..

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Σε τι διαφέρει η παραπάνω διαδικασία  από ένα επιτραπέζιο παιχνίδι που αυξάνει την παρατηρητικότητα, που καλλιεργεί την κριτική σκέψη και  ωθεί τους παίκτες στην ανάπτυξη στρατηγικών, οι οποίες εφαρμόζονται κάθε φορά  σε  ανάλογες καταστάσεις "ασύμμετρων απειλών", είτε είναι εντός είτε εκτός ... του επιπέδου;

Σε τίποτα απολύτως, θα έλεγα. Επιπροσθέτως δε η ενασχόληση με τέτοιες ασκήσεις συμβάλλει τα μέγιστα στην "κατανόηση του κειμένου". Η αδυναμία κατανόησης κειμένου από τους μαθητές, ανεξαρτήτως κατευθύνσεως, παρατηρείται πολύ συχνά στο μάθημα της Γεωμετρίας. Και αν τις περισσότερες φορές υφέρπει η πεποίθηση πως οι μαθητές δεν κατανοούν το κείμενο, επειδή δεν γνωρίζουν τις γεωμετρικές έννοιες που αναφέρονται σ' αυτό, υπάρχουν πολλές φορές που γίνεται καταφανές ότι η αδυναμία κατανόησης δεν οφείλεται σε άγνοια γεωμετρικών εννοιών, αλλά σε αδυναμία κατανόησης της γλώσσας. Σήμερα το διαπίστωσα για μια ακόμη φορά, όταν, αφού επιτυχώς ολοκληρώσαμε την προηγούμενη άσκηση, (εννοείται με συνεχείς δικές μου παρεμβάσεις), ζήτησα από μια μαθήτρια να διαβάσει δυνατά την επόμενη άσκηση του σχολικού, που σε ελεύθερη απόδοση έλεγε το εξής: "Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της μιας μη παράλληλης πλευράς του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτήν"!! Μόλις τέλειωσε η μαθήτρια την ανάγνωση βούιξε η τάξη: "Δηλαδή;". "Τι εννοεί;". "Τι σημαίνει αυτό;"  Καθώς εγώ δεν απαντούσα, τα κεφάλια  στρέφονταν αναζητώντας με στο χώρο. Στεκόμουν στο πίσω μέρος της αίθουσας, δίπλα από την τετράδα που αποτελεί την..."ασύμμετρη απειλή" του μαθήματός μου και με αναγκάζει να στέκομαι αρκετή ώρα μακριά από τον πίνακα και πάνω από τα κεφάλια τους. Άλλο μέτρο με αυτούς τους τέσσερις δεν πιάνει!  Καθώς δεν είχα ούτε το βιβλίο στα χέρια μου, αλλά ούτε και τα γυαλιά μου φορούσα, αναγκάστηκα να επαναλάβω την άσκηση δυο τρεις φορές, απ' έξω. Επέμενα να μη δίνω καμιά επιπλέον εξήγηση με την ελπίδα πως θα βρεθεί κάποιος που θα κατανοούσε τι έλεγε η άσκηση και θα απαντούσε στους συμμαθητές του, αντί για μένα. Θα την έλεγα απ' έξω για τέταρτη φορά, όταν ο ένας εκ των τεσσάρων της "ασύμμετρης απειλής" μου, γύρισε με κοίταξε με μια έκφραση που κάτω από άλλες συνθήκες μπορεί και να την έλεγα "έκφραση θαυμασμού" και μου είπε: "Πώς μπορείτε και το λέτε όλο αυτό το ακαταλαβίστικο απ' έξω;".  

Ο συγκεκριμένος μαθητής δεν ήταν ο μόνος που χαρακτήρισε "ακαταλαβίστικη" την εκφώνηση της άσκησης. Με ελάχιστες εξαιρέσεις, τελικά, οι μαθητές δεν μπορούσαν να "κατανοήσουν" το σύντομο κείμενο της εκφώνησης. Οι  μισοί και περισσότεροι στο τμήμα αυτό είναι θεωρητικής κατεύθυνσης! Θεωρητικά, τουλάχιστον, έχουν μια έφεση στη γλώσσα και στην πλειοψηφία τους απεχθάνονται τα Μαθηματικά. Όπως είπα και προηγουμένως, κουράστηκα να τους πείσω ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία έχει να τους  διδάξει πολλά και - παρόλο που δεν τους ανταμείβω άμεσα με τριώβολον* - τελικά λόγω της δουλειάς που κάνουμε στην τάξη και λόγω  αυτών που κερδίζουν  από κάθε διδακτική ώρα της Γεωμετρίας  έχουν καταλάβει τα οφέλη που αποκομίζουν, γι' αυτό συμμετέχουν, άλλοι περισσότερο κι άλλοι λιγότερο, στο μάθημα.

 Οι μαθητές, αν αναλώσει κανείς τον απαιτούμενο χρόνο και αναμφιβόλως πολλή ενέργεια, μπορούν, όπως φαίνεται τελικά, να καταλάβουν κάτι από το μεγαλείο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και να μην την αποστρέφονται λέγοντας "απελθέτω απ' εμού το ποτήριον τούτο".          

Σε αντίθεση όμως με τους μαθητές   υπάρχουν, δυστυχώς,  πολλοί συνάδελφοι εκπαιδευτικοί ή ακόμη και  ολόκληρα σχολεία,  που  δεν αντιλαμβάνονται ότι η μονομερής γνώση δεν αρκεί και, εν κατακλείδι, δεν αποτελεί γνώση... Στο όνομα μιας κακώς νοούμενης "επιτυχίας", απαξιώνουν τα μαθήματα και δεν κάνουν, όπως είπε και η καινούρια μου μαθήτρια σήμερα το πρωί, παρά μόνο "κάτι λίγα πράγματα"  από Ευκλείδεια Γεωμετρία!

====================================================================

*Παρ' Εὐκλείδη τις ἀρξάμενος γεωμετρεῖν, ὡς τὸ πρῶτον θεώρημα ἔμαθεν, ἤρετο τὸν Εὐκλείδη: "Τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι;" καὶ ὁ Εὐκλείδης τὸν παῖδα καλέσας "Δός", ἔφη, "αὐτῷ τριώβολον, ἐπειδὴ δεῖ αὐτῷ ἐξ ὧν μανθάνει κερδαίνειν.

Ελάτε να μοιραστούμε "τα τέσσερα χρώματα του καλοκαιριού"

ΜΠΟΡΕΙΣ ΝΑ ΕΙΣΑΙ ΣΙΓΟΥΡΟΣ ΟΤΙ "ΓΝΩΡΙΖΕΙΣ ΤΟΝ ΓΙΑΝΝΗ";

  Πέρασε ένας χρόνος παρά μια εβδομάδα από τότε που έγραψα ένα κείμενο με τίτλο "ΤΕΛΟΣ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ...ΜΙΑ ΔΥΣΚΟΛΗ ΩΡΑ!" , για να εκθέσω στους φίλους συναδέλφους τους προβληματισμούς μου σχετικά με τη βαθμολογία, κυρίως δε των μαθητών της Γ' Λυκείου, που  είναι μια ομολογουμένως δύσκολη υπόθεση. Φέτος απαλλαγμένη, για πρώτη φορά στα τόσα χρόνια που διδάσκω,  από Γ' Λυκείου, δεν είχα τέτοιου είδους προβληματισμούς και το επιπρόσθετο βάρος για την αξιολόγηση των μαθητών. Καθώς δε αποφάσισα να διευρύνω την κλίμακα με άνω άκρο το 20 και κάτω άκρο το 08, τα πράγματα φαίνονταν σχετικά εύκολα. Έχοντας  σαφή εικόνα από τις τέσσερις γραπτές εξετάσεις του Α' τετραμήνου, (ένα ωριαίο και τρία τεστ) που έβαλα στην Άλγεβρα, καθώς και από τα τετράδια που ελέγχω, αλλά και από τη συμμετοχή στην τάξη, θεώρησα δίκαιο να λάβω για τη διαμόρφωση του τελικού βαθμού υπόψη μου τόσο τον Μ.Ο. των τεστ όσο και το άθροισμα των μονάδων όλων των γραπτών.  Έκρινα πως ένας μαθητής που συγκέντρωσε  στις τέσσερις γραπτές εξετάσεις άθροισμα μικρότερο του 20, θα έπρεπε να πάρει 08 κι έχοντας αυτό ως κατώτατο όριο διαμόρφωσα μια, κατά την κρίση μου, αντικειμενική κλίμακα αξιολόγησης. Το πράγμα ακούγεται απλό και μάλλον δίκαιο, αλλά εμένα μου πήρε μέρες  μέχρι να ολοκληρωθεί. Επί μια περίπου εβδομάδα, κάθε απόγευμα ασχολιόμουν με αυτό.  Έλεγχα και πάλι τα τεστ που είχα στα χέρια μου, έγραφα τις καταστάσεις με κόκκινα, πράσινα και μπλε νούμερα, για να διακρίνονται οι διάφορες τιμές, άθροιζα, διαιρούσα, έβγαζα Μ.Ο.,  ξαναέλεγχα και  σύγκρινα  από την αρχή τους μαθητές μεταξύ τους, μήπως και κάποιος αδικήθηκε σε σχέση με τους άλλους.. Όταν τέλειωσα ήμουν σίγουρη πως  από τους 85 περίπου μαθητές μου της Α' Λυκείου μόνο ένας,[ τον οποίον χάριν ευκολίας θα ονομάσω Γιάννη :) ] , δικαιούνταν δύο εικοσάρια, καθώς μόνο αυτός, ο Γιάννης δηλαδή, είχε γράψει 20, 20, 19, 20 στην Άλγεβρα και, επίσης, 20 στο ωριαίο της Γεωμετρίας.
Όταν παρέδωσα τις καταστάσεις με τις βαθμολογίες, θεωρώντας πως είχα κάνει ό,τι καλύτερο μπορούσα να κάνω, ένιωσα ένα βάρος να φεύγει από πάνω μου..
  Την επομένη  είχα Άλγεβρα στο τμήμα του Γιάννη. Πρωτοβάθμιες παραμετρικές εξισώσεις.. Κάποιοι συνάδελφοι δεν τις διδάσκουν καθόλου, επειδή λένε πως δεν τις καταλαβαίνουν οι μαθητές. Εγώ, επειδή θεωρώ πως τόσο η διαδικασία της διερεύνησης όσο και η κατανόηση του ρόλου των παραμέτρων και των μεταβλητών είναι εκ των ων ουκ άνευ στη διδασκαλία της Άλγεβρας και γενικότερα των Μαθηματικών, αφιερώνω συνήθως δυο μαθήματα στις πρωτοβάθμιες παραμετρικές εξισώσεις. (Δεν αρκούν, αλλά και τι να πρωτοκάνει κανείς;).
Καθώς, λοιπόν, είχαμε ήδη εξαντλήσει τον προβλεπόμενο αριθμό μαθημάτων για τις πρωτοβάθμιες παραμετρικές εξισώσεις, αλλά αρκετοί μαθητές είχαν ακόμη απορίες, ζήτησα από τον Γιάννη, ο οποίος γνώστης της παραγοντοποίησης και των λοιπών αλγεβρικών εργαλείων, δεν είχε καμία απορία και επιπλέον είχε άψογα λυμένες τις ασκήσεις στο τετράδιο του, να λύσει μια εξίσωση στον πίνακα.
Ο Γιάννης έλυνε στον πίνακα, εγώ έλεγχα τα τετράδια και οι μαθητές σύγκριναν ανά δύο τα αποτελέσματα και τις λύσεις τους, μέχρι να τελειώσω τη διαδικασία ελέγχου τετραδίων, η οποία διαρκεί λίγα μόνο λεπτά. Όταν τέλειωσα, στράφηκα προς τον πίνακα, με τη βεβαιότητα πως θα έλεγα "μπράβο Γιάννη, κάθησε" ή κάτι τέτοιο τέλος πάντων και μετά θα προχωρούσα στην επόμενη φάση του μαθήματος.. Όμως η λύση της  εξίσωσης  που είδα στον πίνακα ήταν μια συγκλονιστική αποκάλυψη, που σχεδόν με παρέλυσε..

  Έχοντας την πεποίθηση πως ο Γιάννης, που εφαρμόζει άψογα τις αλεβρικές ταυτότητες,  την παραγοντοποίηση και την ισοδυναμία α.β = 0 <=> α = 0 ή β = 0, θα μπορέσει να λύσει αμέσως την εξίσωση 8i στη σελίδα 84 του σχολικού βιβλίου, προτίμησα να του ζητήσω να λύσει αυτήν και όχι μια παραμετρική, ώστε μόλις τελείωνα με τον έλεγχο των τετραδίων, να προχωρούσα κατευθείαν στη συζήτηση γύρω από τη διαδικασία επίλυσης  πολυωνυμικών εξισώσεων ανώτερου βαθμού, όπως η 8i, για τις οποίες είχα ήδη κάνει μια αναφορά μόλις τρία μαθήματα πριν, στο εισαγωγικό μάθημα του κεφαλαίου, όπου παρουσίασα τα είδη των εξισώσεων του κεφαλαίου γενικά..

  Αντί  να σβήσω την λαθεμένη και άκρως παραπλανητική λύση του Γιάννη από τον πίνακα, την έθεσα στην κρίση της τάξης και προκλήθηκε εκτενής συζήτηση.  Εντοπίστηκαν τα λάθη, πολλά από τα οποία επισήμανε ο ίδιος ο Γιάννης, και εντέλει λύσαμε την εξίσωση σωστά, καθώς και δυο άλλες  ίδιας κατηγορίας, για  να σιγουρευτούμε πως οι παρανοήσεις που ξεφυτρώνουν στα κεφάλια των παιδιών και βλασταίνουν σαν αγριόχορτα, εκεί που δεν τα σπέρνεις, ξεπεράστηκαν...
Μπορούμε όμως να σιγουρευτούμε ποτέ για πράγματα σαν κι αυτό; 
Μπορεί, δηλαδή,  να είναι κάποιος απολύτως σίγουρος ότι γνωρίζει τον Γιάννη;
Αναμφιβόλως όμως για να  διδάξει κάποιος Μαθηματικά στον Γιάννη, στον κάθε Γιάννη, θα πρέπει να τον "γνωρίζει" καλά...

ΠΟΛΛΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΕΝΑΝ ΚΑΛΟ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟ!

"Καθένας έχει το δικά του γούστα. Σε κάποιους ταιριάζει ο μαραθώνιος, σ' άλλους το γκολφ και σ' άλλους ο τζόγος. Όποτε βλέπω μαθητές την ώρα της γυμναστικής να ετοιμάζονται να λάβουν μέρος σε αγώνα δρόμου τους λυπάμαι. Να εξαναγκάζεις κάποιον που δεν έχει όρεξη ή δεν διαθέτει την απαραίτητη σωματική κατάσταση να τρέξει, είναι μια μορφή ανώφελου βασανιστηρίου. Πάντοτε συμβουλεύω τους καθηγητές να μην πιέζουν όλους τους μαθητές ανεξαιρέτως να τρέχουν, αλλ' αμφιβάλλω αν θα μ' ακούσει κανείς. Έτσι είναι τα σχολεία. Το πιο σημαντικό πράγμα που μαθαίνουμε ποτέ στο σχολείο είναι ότι τα πιο σημαντικά πράγματα δεν γίνεται να τα μάθουμε στο σχολείο."

Γράφει ο Χαρούκι Μουρακάμι στο καινούριο του βιβλίο "ΓΙΑ ΤΙ ΠΡΑΓΜΑ ΜΙΛΑΩ ΟΤΑΝ ΜΙΛΑΩ ΓΙΑ ΤΟ ΤΡΕΞΙΜΟ", από τις Εκδόσεις Ωκεανίδα, το οποίο αγόρασα χθες κι άρχισα  να το διαβάζω αργά το βράδυ, έτσι για να κάνω ένα ευχάριστο διάλειμμα από τις ποικίλες υποχρεώσεις που-άλλοτε ευχάριστα κι άλλοτε καταναγκαστικά-γεμίζουν ασφυκτικά την καθημερινή μου ρουτίνα.
Και με απορρόφησε, όχι μόνο επειδή πάντα με απορροφά ο Μουρακάμι ( Μετά τον Σεισμό, Νορβηγικό Δάσος και ξανά) και αποτελεί ένα καταφύγιο διαφυγής από τα τετριμμένα, αλλά γιατί, διαβάζοντας λαίμαργα τις σελίδες του, διαπίστωσα πως για να μιλήσουμε για το πλέον απλό και αυτονόητο θέμα Χ, αν πράγματι θέλουμε να είμαστε σαφείς, ξεκάθαροι και ειλικρινείς, πρέπει να εξηγήσουμε επί μακρόν, όπως κάνει εδώ ο Μουρακάμι, για ποιο θέμα Χ, έχουμε σκοπό  να μιλήσουμε..

"Να γράφω με ειλικρίνεια για το τρέξιμο και να γράφω με ειλικρίνεια για τον εαυτό μου, είναι σχεδόν το ίδιο πράγμα. Επομένως υποθέτω ότι αυτό το βιβλίο μπορεί να διαβαστεί και ως μια αυτοβιογραφία επικεντρωμένη στο τρέξιμο", γράφει στον πρόλογο του βιβλίου του ο Χαρούκι Μουρακάμι.
Κι ενώ προετοιμάζει τον αναγνώστη του πως ό,τι πρόκειται να γράψει είναι κυριολεκτικό και δεν θα πρέπει να εκληφθεί ως μεταφορά, εν τούτοις, κάθε γραμμή που διάβαζα ωθούσε το μυαλό μου σε υποσυνείδητους συνειρμούς και συσχετίσεις του μαραθώνιου με την ίδια τη ζωή.

"Καθώς τρέχω", γράφει ο Μουρακάμι, "λέω στον εαυτό μου να σκεφτεί ένα ποτάμι. Και σύννεφα. Αλλά στην πραγματικότητα δεν σκέφτομαι τίποτα. Το μόνο που κάνω είναι να τρέχω ασταμάτητα μες στο δικό μου, οικείο, χειροποίητο κενό, την δική μου προσωπική νοσταλγία. Κι αυτό είναι υπέροχο. Ας λένε ό,τι θέλουν".

Ποτάμια και σύννεφα όμως δεν σκέφτεται σε καμιά περίπτωση αυτός ο μεγάλος συγγραφέας  καθώς τρέχει στη Λεωφορο Μαραθώνος.. Εκεί περιγράφει με λεπτομέρειες, πέρα από όσα αισθάνεται και όλα όσα βλέπει...Ανάμεσα στα άλλα  τα κουφάρια των ζώων, στην άσφαλτο..
"Σε διαπερνάει, όσο να' ναι, ένα αδιόρατο άρωμα ιστορίας σ' ένα δρόμο που έχει το όνομα του Μαραθώνα..", γράφει ο Μουρακάμι, αλλά προσγειώνει αμέσως τον αναγνώστη περιγράφοντας το πρώτο κουφάρι ζώου που συναντά στο διάβα του.
"Ένα μεγάλο καφετί σκυλί. Δεν βλέπω τίποτα εξωτερικές πληγές. Είναι απλώς ξαπλωμένο στη μέση του δρόμου. Θα είναι κανένα αδέσποτο που το χτύπησε κάποιο αυτοκίνητο τρέχοντας μες στη νύχτα. Το σώμα του δείχνει ακόμη ζεστό, γι' αυτό δεν φαίνεται νεκρό. Πιο πολύ μοιάζει να κοιμάται. Οι οδηγοί των φορτηγών που το προσπερνούν σαν βολίδες δεν του ρίχνουν ούτε μια ματιά.
Λίγο παρακάτω περνάω δίπλα από μια γάτα λιωμένη από αυτοκίνητο. Η γάτα είναι εντελώς πλάκα, σαν στραβοχυμένη πίτσα,  και κατάστεγνη. Θα πρέπει να πέρασαν από πάνω της πριν απο αρκετή ώρα.
Για τέτοιο δρόμο μιλάμε. [...]
Η καταμέτρηση των πτωμάτων όλων εκείνων των καημένων ζώων που έχασαν τη ζωή τους στη λεωφόρο Μαραθώνος τη συγκεκριμένη μέρα είναι τρία σκυλιά κι έντεκα γάτες. Τα μέτρησα όλα, κι αυτό μου' φερε λίγο κατάθλιψη."

Γιατί από όλο το βιβλίο, με τις άκρως αισιόδοξες παραγράφους και τις ενδιαφέρουσες αποκαλύψεις για τη ζωή του Μουρακάμι, αλλά και τη ζωή εν γένει, εγώ επέλεξα να γράψω τις παραγράφους που μιλούν για απομεινάρια νεκρών ζώων στην άσφαλτο και προκαλούν κατάθλιψη, νομίζω πως είναι ξεκάθαρο, όσο ξεκάθαρος είναι και ο τίτλος της ανάρτησής μου..
Τις διάλεξα επειδή πιστεύω πως για να φτάσουμε στο τέρμα του μαραθώνιου, αυτού που μας επιβάλλουν οι οικονομικο-κοινωνικο-πολιτικές συνθήκες, όση κατάθλιψη κι αν μας προκαλούν, θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε για ποιο πράγμα μιλάμε και να μετρήσουμε ένα προς ένα όλα τα κουφάρια που πρέπει να αφήσουμε πίσω μας.
Εύχομαι να τα καταφέρουμε..Εύχομαι να τερματίσουμε, με όσο το δυνατόν λιγότερα θύματα,  σ' αυτόν τον αγώνα δρόμου που επιβάλλουν σε όλους μας, χωρίς  να μετρούν τις αντοχές μας και τις δυνάμεις μας. Μας τον επιβάλλουν όπως ακριβώς κάνουν οι καθηγητές στο σχολείο,  όταν πιέζουν όλους τους μαθητές ανεξαιρέτως να τρέχουν ... Όλους! Ανεξαιρέτως!
Μακάρι όμως να ήταν  στη ζωή τα πράγματα τόσο εύκολα όσο είναι τελικά στο σχολείο.

Καλή δύναμη σε όλους μας και αντοχές για έναν καλό κι επιτυχή τερματισμό..

ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ "ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ";

Πέρασαν δεκατρείς μήνες από τότε που  ο σχολικός μου σύμβουλος, Γιάννης Θωμαΐδης, μου πρότεινε να σχεδιάσουμε μια διδακτική παρέμβαση στα πλαίσια του μαθήματος της Α' Λυκείου. Γνωριζόμασταν ήδη αρκετά χρόνια πριν, λόγω της Λέσχης Ανάγνωσης Ενηλίκων, στην οποία συμμετείχαμε αμφότεροι και στα πλαίσια της οποίας συναντιόμασταν μια φορά το μήνα, οπότε είχα τη δυνατότητα, πριν ακόμη πάρω μετάθεση στη Διεύθυνση Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Δυτικής Θεσσαλονίκης, όπου είναι το σπίτι μου, αλλά και η έδρα του, να ζητώ τη γνώμη του για τις διάφορες δραστηριότητες στην τάξη μου ή να του μεταφέρω το κλίμα από μια διδασκαλία ή -κι αυτό είναι το σημαντικότερο ίσως- να του ζητώ ιδέες και υλικό για να σχεδιάσω μη τετριμμένες διδακτικές προσεγγίσεις. Για ευνόητους λόγους δεν θα αναλύσω εδώ το ότι η πολυετής εμπειρία του, οι  γνώσεις του, η συνεχής του κατάρτιση, αλλά κυρίως η προθυμία του και η ικανότητά του να συνεργάζεται με τους εκπαιδευτικούς και να υποστηρίζει την προσπάθειά τους είναι απαράμιλλες, γιατί θα ξεφύγω από το θέμα μου που είναι η σχολική παρέμβαση,την οποία τελικά υλοποιήσαμε, επιτυχώς θεωρώ, στις 15 Φεβρουαρίου του 2011, στο Λύκειο που δίδασκα. Και, για να είμαι απολύτως ακριβής, θα πρέπει να πω ότι δεν σκοπεύω να εστιάσω ούτε και στη διδακτική παρέμβαση αυτή καθαυτή, η οποία παρουσιάστηκε, άλλωστε, στο 28ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. (και θα μπορούσατε, αν θέλετε, να διαβάσετε τα πρακτικά πατώντας εδώ).
Το σημείο στο οποίο θέλω να σταθώ, ο λόγος δηλαδή που γράφω σήμερα τα όσα γράφω εδώ, έχει να κάνει με τις ενστάσεις και τις απορίες που διατυπώθηκαν από δύο ή τρεις συναδέλφους στο mathematica.gr, οι οποίοι, για διάφορους λόγους, αμφισβήτησαν τη χρησιμότητα ή τη νομιμότητα ή την ορθότητα, πιθανόν δε και το σύνολο ακόμη, της εν λόγω δραστηριότητας. Μετά από κάποιες διευκρινίσεις που έκανα, απαντώντας στα σχόλια των συναδέλφων, (εδώ και εδώ), φάνηκε πως οι ενστάσεις αποσύρθηκαν και οι τυχόν παρανοήσεις ξεπεράστηκαν. Ωστόσο, συνεχίζω το θέμα επειδή θέλω να ευχαριστήσω τους συναδέλφους, γιατί με την αντίδρασή τους μου έδωσαν την ευκαιρία  να ασχοληθώ ξανά με το "ανοιχτό πρόβλημα" του τι σημαίνει "διδάσκω Μαθηματικά"!
 Αλήθεια τι σημαίνει "διδάσκω Μαθηματικά"; Πολύ θα ήθελα να μου απαντήσετε.
Προσωπικά πιστεύω πως αν ρωτήσουμε δέκα ενεργούς εκπαιδευτικούς,  δέκα μαθηματικούς της τάξης δηλαδή, 'τι σημαίνει διδάσκω Μαθηματικά;", πιθανόν να πάρουμε, συνολικά, περισσότερες από δέκα απαντήσεις! Κι αυτό γιατί ο καθένας που θα δώσει αυθόρμητα μιαν  απάντηση, σε μια δεύτερη σκέψη, μάλλον, θα θελήσει να  συμπληρώσει κάτι ή να διορθώσει κάτι άλλο..Αμφιβάλλετε γι' αυτό; Αν αμφιβάλλετε για κάτι, δεν έχετε παρά να κάνετε ένα πείραμα.. :))
Το "διδάσκω Μαθηματικά", σε μια εντελώς αφελή του ερμηνεία, μπορεί να σημαίνει ότι γράφω, ας πούμε, στο Βιβλίο Ύλης τις σελίδες,  τις παραγράφους, τις ασκήσεις του σχολικού εγχειριδίου που πραγματεύτηκα τη διδακτική ώρα που μόλις τέλειωσε! Όμως το "διδάσκω Μαθηματικά", το ξέρουμε όλοι, δεν είναι ούτε μετρήσιμο, ούτε και "καταγράψιμο"!
Επειδή αν ήταν μετρήσιμο και καταγράψιμο, τότε θα ήταν "ελέγξιμο" κι άρα θα επιδέχονταν διορθώσεων. Αλλά εδώ και πολλά χρόνια, όλοι αυτοί που ασχολούνται με αυτά δεν έχουν βρει τρόπους, μεθόδους και κανόνες που να επιφέρουν ένα σημαντικό και καθολικό αποτέλεσμα.
Αν κάτι τέτοιο είχε συμβεί, θα είχαν όλα λυθεί και δεν θα είχαμε λόγο να συζητάμε τώρα εμείς τις απόψεις μας και τις αντιπαραθέσεις μας, αλλά ούτε ο N. Balacheff δεν θα είχε λόγο να γράψει σε ένα άρθρο του, που είναι δημοσιευμένο στη Μαθηματική Επιθεώρηση, τεύχ. 28, ότι "..το πιο κτυπητό γεγονός είναι ότι σ' όλα τα κράτη του κόσμου και σ' όλες τις εποχές οι μαθητές κάνουν τα ίδια λάθη στην Αριθμητική, στην Άλγεβρα και στη Γεωμετρία.." και δε θα δημοσιεύε τα ευρήματα μιας έρευνας που έγινε το ... 1909!!! Έχει πολύ ενδιαφέρον, γι'αυτό παραθέτω φωτογραφικό ντουκουμέντο, ώστε να δείτε προσεκτικά τα λάθη που καταγράφονται, εκατό χρόνια πριν...

Το 28ο τεύχος  της Μαθηματικής Επιθεώρησης που περιέχει το άρθρο του Balacheff κυκλοφόρησε το 1985! Εκείνη την εποχή εγώ ήμουν ακόμη φοιτήτρια,  στο Πανεπιστήμιο των Ιωαννίνων!

Και τι δεν έχει αλλάξει από τότε; Ακόμη και το κτίριο που στέγαζε το Πανεπιστήμιο μας  καταστράφηκε, είναι πια εκτός λειτουργίας! Το επισκέφτηκα πρόσφατα και, στη θέα του ερειπίου που απέμεινε, μαύρισε η ψυχή μου. Τίποτα δεν παραμένει ίδιο στο πέρασμα του χρόνου, εκτός ίσως από...τα λάθη που αναφέρονται στο παραπάνω άρθρο. Αυτά, τα ίδια λάθη, τα συναντώ, όπως και οι περισσότεροι από σας, σε ένα ποσοστό συχνά πάνω από το 50% των μαθητών της Α' Λυκείου, που συναναστρέφομαι καθημερινά. 

Κι αναρωτιέμαι και πάλι: Τι σημαίνει "διδάσκω Μαθηματικά";

Μήπως σημαίνει ότι αποδέχομαι απλά πως τα περισσότερα παιδιά δεν κατανοούν τους κανόνες της Άλγεβρας ή -όπως είχε σχολιάσει κάποιος αναγνώστης παλιότερα στο blog μου- αποδέχομαι πως τα Μαθηματικά δεν είναι τελικά για όλους;

 Ή μήπως σημαίνει ότι, καθώς εκ των πραγμάτων ως εκπαιδευτικός της τάξης εμπλέκομαι σε όλην αυτήν τη διαδικασία, δεν εφησυχάζομαι, δεν επαναπαύομαι, αλλά αναζητώ συνεχώς τα πιθανά αίτια που προκαλούν τις παρανοήσεις, για να μπορώ βάσει αυτών των αιτίων να επιλέξω και να διαμορφώσω διαφορετικές διδακτικές πρακτικές, μήπως  καταφέρω, τελικά, να αλλάξω κάτι;

Και πώς μπορεί να αλλάξει κάτι, έστω κι ελάχιστο, χωρίς να γίνεται συνεχής ανασκόπηση της σχετικής Θεωρίας, από τη μια, και  χωρίς να ελέγχεται κάθε θεωρητική υπόθεση στην πράξη, από την άλλη;  Αυτό, βέβαια, το "να ελέγχεται η θεωρητική υπόθεση στην πράξη", που ακούγεται από τους θεωρητικούς του είδους σαν μια απλοϊκή διαδικασία ενός τετριμμένου αλγόριθμου,  εμείς που αναπνέουμε τον ίδιο αέρα με τους μαθητές μας, τον βαρύ από τη σκόνη της κιμωλίας και τον ιδρώτα της προσπάθειας, νομίζω, γνωρίζουμε  καλά πως κάθε άλλο παρά ντετερμινιστικά και αλγοριθμικά λειτουργεί. Η δυναμική της τάξης ακολουθεί μη ντετερμινιστικά μοντέλα. Το ζούμε.

Κάθε τμήμα,  κάθε ώρα, κάθε λεπτό διαμορφώνουν τις δικές τους συνθήκες και τη δική τους  'ατμοσφαιρική πίεση',  ακόμη και όταν ο εκπαιδευτικός επαναλαμβάνει κατά γράμμα μια καλά σχεδιασμένη τυπική διδασκαλία, ακόμη και τότε τα πράγματα, στα διαφορετικά τμήματα της ίδιας τάξης, δεν επαναλαμβάνονται πανομοιότυπα. 

Θα μπορούσαν να συμβαίνουν πανομοιότυπα, με την προϋπόθεση πως εμείς και οι μαθητές μας μιλάμε ακριβώς την ίδια γλώσσα, σκεφτόμαστε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο και -γιατί όχι;- γνωρίζουμε ακριβώς τα ίδια πράγματα! Σ' αυτήν την περίπτωση το μοντέλο που ο εκπαιδευτικός  μπαίνει στην τάξη, γράφει κι εξηγεί δυο ορισμούς, τρεις συνέπειές τους, πέντε ιδιότητες στον πίνακα και φεύγει από την τάξη, θα δούλευε εντάξει :),  μόνο που πρόκειται για ένα εντελώς θεωρητικό και καθόλα ανύπαρκτο μοντέλο, αφού δεν αντιλαμβάνονται όλοι οι  μαθητές το ίδιο πράγμα, παρακολουθώντας το μάθημα..

Στην πραγματικότητα αυτό που συμβαίνει είναι αυτό που περιγράφει ο Resnick και συν. στο άρθρο τους "Η κατανόηση της Άλγεβρας", το οποίο μεταξύ άλλων μου πρότεινε να διαβάσω ο κος Γιάννης Θωμαΐδης. Το βρήκα εξαιρετικό και αντιγράφω μια παράγραφο που δεν θα πρέπει να ξεχνάει κανένας δάσκαλος των Μαθηματικών, όταν μπαίνει στην τάξη, για να διδάξει.

"Η διδασκαλία, όπως και κάθε μορφή επικοινωνίας, είναι από τη φύση της ατελής. Είναι αδύνατο ίσως να διατυπωθούν ρητά όλοι οι περιορισμοί που διέπουν έναν κανόνα ή ένα διαδικαστικό πεδίο. Ο μαθητής, θα πρέπει να τους συμπεράνει και, μ' αυτό τον τρόπο, να συγκροτήσει ένα σύνολο κανόνων. Οι μαθητές πραγματοποιούν την απαραίτητη νοητή δόμηση χρησιμοποιώντας όποιες γνώσεις έχουν  στη διάθεσή τους και τις θεωρούν σχετικές με το θέμα. Αυτό σημαίνει ότι οι απεικονίσεις του προβλήματος από τους μαθητές σε συνδυασμό με τις συγκεκριμένες γνώσεις που διαθέτουν, θα ελέγχουν τα είδη των νοητών δομών που θα δημιουργήσουν."

Άρα, αγαπητοί μου συνάδελφοι, νομίζω πως γίνεται σαφές ότι το να σχεδιάζει ο εκπαδευτικός  συγκεκριμένες διδακτικές παρεμβάσεις, για  να ελέγχει τα είδη των νοητών δομών που δημιουργούν οι μαθητές του, όταν αυτός μιλάει την όχι από όλους τους μαθητές πλήρως κατανοητή γλώσσα της Άλγεβρας, όχι μόνο "νομιμοποιείται", αλλά επιπλέον επιβάλλεται, όπως επιβάλλεται άλλωστε να σκέφτεται ο καθένας από μας που διδάσκει τα Μαθηματικά στους εφήβους, και σε μικρότερα παιδιά, "τι σημαίνει τελικά διδάσκω Μαθηματικά;".

Εύχομαι καλές γιοργές σε όλους μας.

Συναδελφικά

Κατερίνα Καλφοπούλου

   

ΤΕΣΣΕΡΑ ΧΡΩΜΑΤΑ..

ΓΙΑ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ ΔΕΙΤΕ ΕΔΩ
ΜΌΝΟ ΓΙΑ ΚΑΤΙ ΤΕΤΟΙΑ ΛΥΠΑΜΑΙ ΠΟΥ ΔΕΝ ΜΕΝΩ ΣΤΗΝ ΑΘΗΝΑ.. :)

Το «Τhe Hub Events» και ο Νικόλας Πρωτονοτάριος συνεχίζουν τη σειρά επιστημονικών διαλέξεων με τίτλο «Hub Science», με στόχο να παρουσιάσουν με συναρπαστικό τρόπο τις επιστήμες και να παρασύρουν το ευρύ κοινό στο μαγικό αλλά παρεξηγημένο αυτό κόσμο. Την Παρασκευή 2 Δεκεμβρίου 2011, στις 20:00 σας προσκαλούμε στη δεύτερη συνάντηση του «Hub Science» στα πλαίσια του οποίου θα πραγματοποιηθεί η διάλεξη του μαθηματικού, καθηγητή και συγγραφέα Τεύκρου Μιχαηλίδη με θέμα:
Τέσσερα χρώματα; Δεν το χωράει ο νους μου!
Η μαθηματική απόδειξη στον αιώνα της πληροφορικής

Το 1852 ο Francis Guthrie έθεσε στον παλιό καθηγητή του Augustus De Morgan το ακόλουθο πρόβλημα: «Πόσα το πολύ χρώματα απαιτούνται για να χρωματίσουμε έναν οποιονδήποτε επίπεδο χάρτη με την προϋπόθεση δύο χώρες που έχουν κοινό σύνορο να μην έχουν το ίδιο χρώμα;» Ο ίδιος ισχυρίστηκε ότι τέσσερα χρώματα αρκούν και την ίδια άποψη διατύπωσαν όλοι όσοι ασχολήθηκαν με το πρόβλημα – ανάμεσα σ’ αυτούς και πολλοί εξέχοντες μαθηματικοί. Ωστόσο στα 120 χρόνια που ακολούθησαν κανένας δεν μπόρεσε να δώσει ούτε μια απόδειξη που θα καθιστούσε την εικασία του Guthrie θεώρημα, ούτε ένα αντιπαράδειγμα που θα την κατέρριπτε. Μόλις το 1975 οι μαθηματικοί Αppel και Haken δημοσίευσαν μια απόδειξη, βασισμένη σε μη επαληθεύσιμα στοιχεία από ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η απόδειξή τους έφερε ξανά στην επιφάνεια και μάλιστα κάτω από νέο φως το παλιό ερώτημα του «τι αποτελεί αποδεκτή απόδειξη»;

Στην ομιλία του, ο Τεύκρος Μιχαηλίδης θα αφηγηθεί τα περιστατικά αυτής της ιστορίας και θα παρουσιάσει τις κυριότερες απόψεις υπέρ και κατά της χρήσης των ηλεκτρονικών υπολογιστών σε μια απόδειξη. Θα γίνει και μια σύντομη αναφορά στο νέο του μυθιστόρημα «Τα τέσσερα χρώματα του καλοκαιριού» (Εκδόσεις Πόλις).