Τρίτη 30 Απριλίου 2013

Η ΑΦΟΣΙΩΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΠΤΟΥ Χ


Δεν έχει πάνω από μισή ώρα που διάβασα την τελευταία σελίδα του βιβλίου του Keigo Higashino, (东野圭吾), "Η αφοσίωση του ύποπτου Χ"! Από χθες που το έπιασα στα χέρια μου, όποια δουλειά με ανάγκασε να διακόψω το διάβασμα, μου φάνηκε ... αγγαρεία! Προφανώς επειδή είναι από εκείνα τα βιβλία που όταν αρχίζεις να τα διαβάζεις σε καθηλώνουν από την πρώτη κιόλας σελίδα και δεν μπορείς να το αφήσεις παρά μόνο όταν διαβάσεις και την τελευταία. Δεν έχω σκοπό όμως να γράψω  για την πλοκή και για το κλίμα του βιβλίου, ούτε για την ευρηματικότητα του Higashino και την πρωτοτυπία του να βάζει ένα μαθηματικό, ένα φυσικό κι έναν αστυνομικό να υφαίνουν το γαϊτανάκι της ιστορίας με ευφυείς μαθηματικο-λογικές επαγωγές, πολλές από τις οποίες διατυπώνονται, αντιπαρατίθενται και ελέγχονται δίπλα στο ποτάμι, καθώς οι ήρωες περπατούν περνώντας ξανά και ξανά από τα παραπήγματα των αστέγων. Οι άστεγοι, των οποίων η ρεαλιστική περιοδική περιγραφή  δημιουργεί την ασφυκτική αίσθηση της φτώχειας που κρέμεται σήμερα πάνω από το κεφάλι μας,  παίζουν το  ρόλο τους τόσο στη λήψη αποφάσεων των ηρώων, όσο και στην κατοπινή τους εκτέλεση. Δεν θα μπω όμως στις λεπτομέρειες του βιβλίου, έτσι κι αλλιώς έχουν ήδη  γραφτεί πολλά και διάφορα. Ενδεικτικά δείτε εδώ και εδώ ή όπου αλλού θέλετε, αλλά νομίζω πως όπου και να δείτε θα λείπει αυτό που εγώ πρόκειται να σχολιάσω παρακάτω και αφορά στις συνθήκες που επικρατούν στο μάθημα των μαθηματικών που διδάσκει ο ήρωας. Ο Ισιγκάμι, ο μαθηματικός της υπόθεσης, παρόλο που θα μπορούσε να είναι ακαδημαϊκός, για δικούς του λόγους, που περιγράφονται διεξοδικά στο βιβλίο, διδάσκει σε Δημόσιο Λύκειο, όπου εκτυλίσσονται αρκετές σκηνές της ιστορίας. Αλλά το σχολείο, δεν εμφανίζεται στο βιβλίο μόνο ως σκηνικό που παρέχει συγκεκριμένες δυνατότητες, αποτελεί το ίδιο μια δυνατότητα, αυτήν της κριτικής που ασκεί ο συγγραφέας στους μαθητές που παρακολουθούν, αναγκαστικά, τα μαθηματικά. Στη σελίδα 136, για παράδειγμα, o Higashino γράφει:

"Οι επιδόσεις του δεύτερου τμήματος της Β΄ Λυκείου στις εξετάσεις των μαθηματικών στο τέλος της χρονιάς ήταν οικτρές. Και το συγκεκριμένο τμήμα δεν αποτελούσε τη θλιβερή εξαίρεση, όλα τα τμήματα της τάξης τα είχαν πάει χάλια. Ο Ισιγκάμι πίστευε ότι κάθε χρόνο οι μαθητές γίνονταν όλο και πιο βλάκες."Συνεχίζοντας ο Higashino περιγράφει τις διαδικασίες των εξετάσεων στις οποίες υποβάλλονται οι μαθητές. Για την ακρίβεια περιγράφει τις δεύτερες και τρίτες επαναληπτικές εξετάσεις, για όσους έμειναν και ξαναέμειναν. Επίσης περιγράφει τη στάση και τη δυσφορία των μαθητών απέναντι στις διαδικασίες. Ιδιαίτερα την αγανάκτησή τους, όταν ο καθηγητής τους δίνει τη βαθμολογία που πέτυχαν. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η διαμαρτυρία ενός μαθητή με το όνομα Μαριόκα, που με αρκετή αυθάδεια, όπως προκύπτει από τα συμφραζόμενα, λέει στον καθηγητή: 

"Κύριε, δεν υπάρχουν τα πανεπιστήμια που δεν χρειάζεσαι τα μαθηματικά για να περάσεις; Γιατί όσοι θέλουμε να πάμε σ' αυτές τις σχολές πρέπει να περάσουμε τα μαθηματικά; [...] Να θέλω να πω...αν πάω πανεπιστήμιο, σίγουρα θα διαλέξω κάποιο χωρίς εξετάσεις στα μαθηματικά. Όχι ότι σκέφτομαι να πάω. Άλλωστε, του χρόνου δεν πρόκειται να επιλέξω τα μαθηματικά, άρα τι σημασία έχει ο φετινός μου βαθμός; Για να μην παρεξηγηθώ, σκέφτομαι κι εσάς, κύριε. Σίγουρα δεν έχει πλάκα να διδάσκετε βλάκες σαν κι εμάς. Γι' αυτό λοιπόν, σκεφτόμουν μήπως να δείχνατε κάποια κατανόηση. Να καταλήγαμε σε κάποια συμφωνία μεταξύ ενηλίκων, ας πούμε."

 Έχουν πολύ ενδιαφέρον όσα ο Higashino μεταφέρει από τις συνθήκες του σχολείου. Πέρα από τη δυσφορία των μαθητών στο μάθημα, περιγράφεται η πίεση που ασκεί ο διευθυντής του σχολείου στον καθηγητή των μαθηματικών, προκειμένου να βάλει εύκολα θέματα στις εξετάσεις για να περάσουν όλοι οι μαθητές την τάξη. Από την άλλη, περιγράφεται η αμηχανία του καθηγητή που βάζει "τετριμμένα" θέματα, επιλέγοντας ασκήσεις που έχει διδάξει, αλλά και πάλι οι μαθητές του δεν...ανταποκρίνονται, καθώς μένουν άπραγοι μπροστά σε μια αδιέξοδη κατάσταση, αυτήν της αναγκαστικής εκμάθησης του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.
Όσα περιγράφει ο Higashino έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, για κάποιον που διδάσκει μαθηματικά. Και σίγουρα θα μπορούσε να έχει γράψει λιγότερα, αν ήθελε απλά και μόνο να δημιουργήσει τις προϋποθέσεις εκείνες που απαιτούνταν στην πλοκή του μύθου του. Οι λεπτομέρειες όμως που δίνει μαρτυρούν πως αξιοποιεί την ευκαιρία να ασκήσει κριτική σε σχολικές καταστάσεις που  προβληματίζουν τον ήρωά του, τον Ισιγκάμι, όπως προβληματίζουν και τον καθένα που τυχαίνει να διδάσκει μαθηματικά σε  αδιάφορους και αδιάλλακτους μαθητές και σταδιακά νιώθει να χάνεται το νόημα, ακριβώς όπως ένιωσε και ο Ισιγκάμι όταν:

"Διόρθωνε τα γραπτά των επαναληπτικών εξετάσεων. Σκέτη φρίκη. Είχε φροντίσει να βάλει ασκήσεις αρκετά εύκολες για όλους - πολύ ευκολότερες συγκριτικά με τις κανονικές εξετάσεις, ώστε να περάσουν όσοι είχαν κοπεί. Παρ' όλ' αυτά δυσκολεύόταν να βρει έστω και ένα αξιοπρεπές γραπτό. Αποφάσισε ότι οι μαθητές δεν διάβαζαν. Γνώριζαν ότι άσχετα με το πόσο άσχημα έγραφαν, το σχολείο θα τους προβίβαζε έτσι κι αλλιώς. Στο κάτω-κάτω, το συμβούλιο σπάνια άφηνε κάποιον στην ίδια τάξη. Ακόμη κι αν ένας - δύο μαθητές δεν έπιαναν τη βαθμολογία, η διεύθυνση έβρισκε κάποια δικαιολογία προκειμένου να προβιβάσει ολόκληρη την τάξη. 
Γιατί λοιπόν δεν αφαιρούν τα μαθηματικά από τη λίστα των υποχρεωτικών μαθημάτων; αναρωτήθηκε ο Ισιγκάμι. Έτσι κι αλλιώς μόνο μια χούφτα μαθητές τα καταλαβαίνουν. Δεν υπάρχει καν νόημα να διδάσκονται τα μαθηματικά σε τόσο χαμηλό επίπεδο. Θα μπορούσαν απλώς να τους πληροφορούν ότι κάπου εκεί έξω υπάρχει ένα ακατονόητο πράγμα που ονομάζεται μαθηματικά και να αρκεστούν σ' αυτό." 

 Ο Keigo Higashino, όπως ήδη είπα, θα μπορούσε, πιστεύω, να ξετυλίξει το κουβάρι, χωρίς όλες αυτές τις λεπτομέρειες από τη σχολική τάξη των μαθηματικών. Ούτως ή άλλως ο καταθλιπτικός χαρακτήρας του ευφυούς Ισιγκάμι, είχε ήδη εξασφαλίσει την πειστικότητά του, λόγω της αποτυχίας του να σταδιοδρομήσει στο Πανεπιστήμιο, λόγω της υποχρέωσής του να φροντίσει τους ηλικιωμένους γονείς του, λόγω της κακόσχημης μορφής του, λόγω της απαράμιλλης λογικής του, λόγω της μοναχικής του ρουτίνας... Επομένως όλες αυτές οι λεπτομέρειες από τη σχολική τάξη δεν φαίνεται να εξυπηρετούν άμεσα τον  μύθο. Ή, εν πάση περιπτώσει ο μύθος θα μπορούσε να υπάρξει και χωρίς αυτές, εκτός από τον τρόπο που ο Ισιγκάμι επέλεγε τα θέματα των εξετάσεων! Ναι, αυτό για την ιστορία ήταν ιδιαίτερα σημαντικό.
Από την άλλη όμως, τώρα που το ξανασκέφτομαι, αν ο Ισιγκάμι είχε την τύχη να συναναστρέφεται με παιδιά που δείχνουν ενδιαφέρον για μάθηση και ζητούν από τον δάσκαλο περισσότερα, τότε σίγουρα θα αντλούσε δύναμη από τη δουλειά του, τότε θα έχαιρε αυτό το εσωτερικό φως που βιώνει ο δάσκαλος μετά από ένα πετυχημένο μάθημα, δηλαδή ένα μάθημα που τελειώνει με γελαστά πρόσωπα και λαμπερά μάτια και αφήνει την αίσθηση της απόλυτης κατάκτησης του νοήματος της ίδιας της ζωής... Σωστά! Αν ο Ισιγκάμι είχε τέτοια τύχη στις τάξεις του, θα ξεχείλιζαν οι ζωογόνες ορμές μέσα του και δεν θα αφοσιώνονταν στην όμορφη γειτόνισά του. Αλλά πού τέτοια τύχη; Ο καθηγητής βρισκόταν καθημερινά αντιμέτωπος με μαθητές που ο τυπικός τους εκπρόσωπος ήταν  ο Μαριόκα!
Η έλλειψη ενδιαφέροντος στην τάξη έκανε περισσότερο ευάλωτη την αλλοπαρμένη  ευφυΐα του καθηγητή, που πίσω από τη στωικότητα του Βούδα έκρυβε μια τραγική μορφή! Πράγματι ο Ισιγκάμι έκρυβε την τραγικότητά του επί 340 ολόκληρες σελίδες ή - αν το προτιμάτε - για 55 ολόκληρα χρόνια ζωής! Την έκρυβε καλά, μέσα στις λευκές σελίδες που γέμιζε προσπαθώντας να αποδείξει την υπόθεση Ρίμαν, και έτσι, ξαγρυπνώντας με τα θεωρήματα και τις αποδείξεις, έκρυβε τις δικές του προσωπικές υποθέσεις, καλυμένος  με ένα προσωπείο απαράμιλλης ψυχραιμίας και -φαινομενικά τουλάχιστον- ψυχρής μαθηματικής λογικής!
Είπα πως δεν θα γράψω για το βιβλίο, αλλά παρασύρθηκα..
Δεν πρέπει να γράψω για το βιβλίο.
Αξίζει να το διαβάσει κανείς, χωρίς να γνωρίζει την ιστορία από πριν.
Αυτό που ήθελα από την αρχή να γράψω ήταν η αίσθηση που αποκόμισα, διαβάζοντας τις σκέψεις που έκανε ο Ισιγκάμι για τη διδασκαλία των μαθηματικών στο Λύκειο. Μου ήταν οικείες οι σκέψεις του. Και οι εικόνες επίσης. Τα άθλια γραπτά, τα τετριμμένα θέματα, οι ερωτήσεις: γιατί να διαβάσω μαθηματικά, αφού είμαι θεωρητική... Όλα τα προβλήματα που αντιμετώπιζε στην τάξη του ο Ισιγκάμι, εκεί στη μακρινή Ιαπωνία, σε μια χώρα με τόσο διαφορετική κουλτούρα από τη δική μας, εμένα, όπως κι εσένα που διδάσκεις  στο Λύκειο μαθηματικά, αναμφιβόλως μας είναι γνωστά!
Είναι τόσο διαδεδομένα και τόσο γνωστά πλέον τα προβλήματα με τα μαθηματικά,  που σκύβουν οι συγγραφείς πάνω τους και τα κάνουν λογοτεχνικό καμβά!
Φοβάμαι πως πολύ σύντομα θα διαβάσουμε λογοτεχνία που θα έχει αποκλειστικό θέμα της τα προβλήματα αυτά...
   

Δευτέρα 15 Απριλίου 2013

Με αφορμή τα γενέθλια του LEONHARD EULER

Στις 15 Απριλίου του 1707, γεννήθηκε στη Βασιλεία, την πατρίδα των Μπερνούλι, ο Λέοναρντ Όιλερ, γιος της Μαργκαρέτα Μπρούκερ Όιλερ και του Πάουλ Όιλερ. Την εποχή εκείνη, ο πατέρας του Λέοναρντ υπηρετούσε ως εφημέριος στην ενορία του Αγίου Ιακώβου, [...]. Αν και η οικογένεια του Πάουλ Όιλερ είχε ελάχιστη μόρφωση, και ακόμη λιγότερα χρήματα, ο Πάουλ Όιλερ είχε σπουδάσει με πάθος μαθηματικά κοντά στον Γιάκομπ Μπερνούλι, και σύντομα έγινε φίλος με τον αδερφό του καθηγητή του, τον Γιόχαν, με τον οποίο ίσως μοιράστηκε ένα δωμάτιο στο σπίτι του Γιάκομπ για κάποιο διάστημα. Όταν ο Πάουλ ολοκλήρωσε τις σπουδές του στο πανεπιστήμιο, χειροτονήθηκε ιερέας της προτεσταντικής εκκλησίας. [...]
Οι Όιλερ απέκτησαν συνολικά τέσσερα παιδιά, από τα οποία το μεγαλύτερο ήταν ο Λέοναρντ, ακολουθούσαν δύο κόρες και στο τέλος ένας ακόμα γιος.
Ο Λέοναρντ Όιλερ ήταν ένα χαρωπό παιδάκι, με μεγάλη περιέργεια για τα πάντα. Οι γονείς του δεν άργησαν να προσέξουν την εντυπωσιακή ευστροφία και το δημιουργικό μυαλό του. Οι παροιμιώδεις μνημονικές του ικανότητες ήταν ένα γνώρισμα το οποίο τον βοήθησε να αντιμετωπίσει επιτυχώς στη ζωή του καταστάσεις που θα είχαν καταβάλει οποιονδήποτε άλλον λιγότερο ικανό στη θέση του. Ακόμα και στις τελευταίες στιγμές της ζωής του, μπορούσε να απαγγέλλει απέξω ολόκληρη την Αινειάδα του Βιργίλιου στα λατινικά. [...]
Μια μέρα, όταν ο Λέοναρντ ήταν περίπου τεσσάρων ετών, η μητέρα του κόντεψε να τρελαθεί διαπιστώνοντας ότι το μικρό αγοράκι της δεν βρισκόταν πουθενά.
..............................................................................................................
Παρόλη την όμορφη αφήγηση της M.B.W. Tent, από το βιβλίο της οποίας αντέγραψα το παραπάνω απόσπασμα, όσοι έστω και λίγο γνωρίζουμε το σημαντικό ρόλο που έπαιξε ο Όιλερ στην εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης, καταλαβαίνουμε πως εκείνη τη μέρα η μητέρα του, αν και  κόντεψε να τρελαθεί, κατάφερε  τελικά να τον βρει... Σχεδόν τρακόσια χρόνια πριν.
Πού τον βρήκε όμως, μπορείτε να μαντέψετε; 
Πού είχε κρυφτεί το  έξυπνο, περίεργο και παρατηρητικό τετράχρονο αγόρι, που έμελλε να γίνει ο ένας εκ των τεσσάρων σημαντικότερων μαθηματικών στην ιστορία της ανθρωπότητας; Από πού τον ξετρύπωσε εκείνο το βράδυ η, μισοτρελαμένη από αγωνία,  Μαργκαρέτα Μπρούκερ Όιλερ;
.............................................................................................................
Τελικά, τον ξετρύπωσε στο κοτέτσι τους, καθισμένο χάμω και περιστοιχισμένο από τις κότες. "Λέοναρντ!" ψέλλισε βαριανασαίνοντας, "τι κάνεις εκεί;".
"Προσπαθώ να κάνω ένα κοτόπουλο", εξήγησε ατάραχα ο Λέοναρντ. 
"Τι έκανε, λέει;" απόρησε η μητέρα του.
"Όταν οι κότες κάνουν κοτόπουλα", είπε ο Λέοναρντ, "κάθονται πάνω σε ένα αυγό μέχρι να σπάσει, και τότε βγαίνει το κοτοπουλάκι. Τις είδα πολλές φορές, και αποφάσισα να το κάνω κι εγώ. Να και το αυγό μου. Δεν έσπασε ακόμα, οπότε θα κάτσω κι άλλο πάνω του". 
"Θεέ και Κύριε!" αναφώνησε η μητέρα του. "Λέοναρντ, δεν είσαι κότα!"
"Δεν νομίζω πως χρειάζεται να είσαι κότα", είπε γεμάτος αυτοπεποίθηση ο Λέοναρντ, "φτάνει που κάθομαι πάνω στο αυγό όπως ακριβώς κι εκείνες".
..........................................................................................................
Ο μικρός είχε απόλυτο δίκαιο! Δεν χρειάζεται να είσαι κότα, για να κλωσήσεις το αυγό και να βγάλεις κοτοπουλάκι. Του διέφευγαν ενδεχομένως οι σχετικές προϋποθέσεις περί προηγηθείσας γονιμοποίησης, αλλά ήταν μόλις τεσσάρων ετών. Το θέμα όμως δεν είναι αυτό. Επίσης το θέμα δεν είναι αν συνέβησαν τα πράγματα ακριβώς όπως τα περιγράφει η M.B.W. Tent ή αν αυτά που διαβάσαμε παραπάνω αποτελούν δικές της συμπληρωματικές παραμυθίες, στη μυθιστορηματική βιογραφία της, όπου διαβάζουμε την αλληλεπίδραση των μαθηματικών οικογενειών Όιλερ και Μπερνούλι, τα προβλήματα που επέλυσαν, το ρόλο τους στην Ακαδημία του Βερολίνου και στην Αυλή της Αγίας Πετρούπολης κι άλλα πολλά ενδιαφέροντα και γοητευτικά.
Το θέμα, δηλαδή ο λόγος, που με αφορμή τα 306 γενέθλια του Λέοναρντ Όιλερ (και όχι τα 360 όπως γράφει στο google), επέλεξα το συγκεκριμένο απόσπασμα από ολόκληρο το πολύ όμορφο  ιστορικό μυθιστόρημα της Tent, είναι γιατί μου άρεσε ο τρόπος που η  Μαργκαρέτα Μπρούκερ Όιλερ χειρίστηκε το θέμα. 
Τι λέτε να έκανε  εκείνο το βράδυ η μητέρα του μελλοντικού μέγα μαθηματικού;
Προσπαθείστε να μαντέψετε.
1. Έκατσε στο κοτέτσι μαζί του, για να κλωσήσουν το αυγό
2. Πήρε το αυγό στο σπίτι, για να συνεχίσει ο Λέοναρντ να το κλωσάει
3. Τον πήρε στο σπίτι και, για να μην κλαίει, του υποσχέθηκε να του δωρίσει ένα κοτοπουλάκι, από αυτά που βάφουν  το Πάσχα κόκκινα.
4. Του είπε πως αυτό που επιχειρεί είναι μια βλακεία και μισή
5. Τον άρπαξε από το αυτί και τον έσειρε με κλωτσιές και μπουνιές στο σπίτι
6. Άλλο

Αν είσαστε μητέρα, σκεφτείτε τι θα κάνατε εσείς σε μια τέτοια περίσταση!
Πώς θα αντιμετωπίζατε το βλαστάρι σας αν το είχατε χαμένο όλη μέρα και το βρίσκατε αργά το βράδυ σε ένα κοτέτσι να κλωσάει ένα αυγό, για να κάνει κοτόπουλο ή κάτι τέτοιο τέλος πάντων..
Τι θα κάνατε; Ίσως ακούγεται χαζό, αλλά διαπιστωμένα η εξέλιξη που θα έχει ένα τετράχρονο παιδί (στα τέσσερα είναι παιδί, αλλά, προσοχή, στα εικοσιτέσσερα, παρόλο που παραμένει το δικό μας παιδί,  δεν είναι πλέον παιδί, πολύ δε περισσότερο στα τριαντατέσσερα και βάλε...) εξαρτάται σε πολύ μεγάλο βαθμό από την ίδια του τη μητέρα και όχι κατ' ανάγκην από τους καθηγητές του στο Λύκειο κι άλλους τινές που θα συναντήσει πολύ αργότερα στη ζωή του...

Εν πάση περιπτώσει, με αφορμή τα γενέθλια του Leonahard Euler και με κάθε αφορμή, ως μητέρες μικρών (και μεγάλων) παιδιών, οφείλουμε, νομίζω, να γνωρίζουμε ... πώς και πότε σπάει το αυγό... 
Τι άλλο να πω;

Παρασκευή 5 Απριλίου 2013

ΑΣ ΒΑΛΟΥΜΕ ΤΟ ΜΥΑΛΟ ΜΑΣ ΝΑ ΔΟΥΛΕΨΕΙ




"Τα μαθηματικά προκύπτουν από την αλληλεπίδραση μεταξύ της δικής τους δυναμικής και της σχέσης τους με τον έξω κόσμο. Αυτή η αλληλεπίδραση είναι ζωτικής σημασίας και η απουσία οποιασδήποτε από τις δύο καταστρέφει όλες τις ιδεολογικές εκδοχές των μαθηματικών", γράφει ο Ian Stewart στη σελίδα 165 του βιβλίου του "Οι μυστικοί αριθμοί"*, θίγοντας ένα θέμα μέγιστης διδακτικής και επιστημολογικής σημασίας. 
Ο λόγος όμως που γράφω σήμερα δεν έχει να κάνει με τη Διδακτική των Μαθηματικών ούτε με τον τρόπο που αποκτούν νόημα -για τους μαθητές μας, αλλά και για μας- οι μαθηματικές έννοιες, παρόλο που το συγκεκριμένο θέμα  με απασχολεί ιδιαιτέρως και έρχεται σχεδόν καθημερινά στο προσκήνιο μέσω της διδακτικής διαδικασίας. 
Ο λόγος που γράφω σήμερα έχει να κάνει με ένα σύντομο video με τίτλο 'The Fractal Geometry of Roughness', που παρακολούθησα νωρίτερα και έχει παγιδέψει το μυαλό μου για περισσότερους από έναν -και μάλιστα φαινομενικά ασύνδετους μεταξύ τους- λόγους. Αλλά, ας τα πάρω με τη σειρά ή καλύτερα: ας προσπαθήσω να βάλω τάξη στην αταξία. :)
*****************
1ο. Πριν από λίγες μέρες, αναφέροντας σε ένα τμήμα της Γ' Λυκείου τη λέξη "φράκταλ", βρέθηκα αντιμέτωπη με την άγνοια των μαθητών μου. Κάποιοι ρώτησαν τι σημαίνει "φράκταλ" και η διαπίστωση ήταν πως κανένας στο τμήμα δεν γνώριζε. Αναρωτήθηκα για μια ακόμη φορά πόσο "λειτουργικά" είναι τα μαθήματα που διδάσκουμε στα παιδιά και κατά πόσο διασυνδέουν τα Μαθηματικά με τον έξω κόσμο, πολύ δε περισσότερο με τις εξελίξεις του έξω κόσμου.. Έδωσα δυο τρεις πληροφορίες στους μαθητές που ενδιαφέρθηκαν να μάθουν τι σημαίνει φράκταλ, εξηγώντας την "αυτο-ομοιότητα" και τους πρότεινα να "googlάρουν" "το σύνολο του Μάντελμπροτ".
*****************
2ο. Ο Ian Stewart στη σελίδα 167 γράφει: "Το όνομα του Μάντελμπροτ συνδέεται με ένα φράκταλ που επινόησε ο ίδιος και έγινε πολύ δημοφιλές: το σύνολο του Μάντελμπροτ. Αντίθετα με τα περισσότερα φράκταλ του, αυτό αποτελεί μια άσκηση καθαρών μαθηματικών - μαθηματικά για τα μαθηματικά, για τη χαρά της διανοητικής ανακάλυψης. [...] 
Τα φράκταλ είναι περίπλοκα σχήματα που δημιουργούνται από απλούς κανόνες και προδίδουν την προέλευσή τους συνδυάζοντας δαιδαλώδη αταξία με ταξινομημένη κατασκευή. 
Οι χιονονιφάδες είναι επίσης πολύπλοκα σχήματα, άρα αναμένουμε ότι η δημιουργία τους βασίζεται σε απλούς κανόνες - νόμους της φυσικής. 
Διαθέτουν επίσης αυτό το χαρακτηριστικό συνδυασμό τάξης και αταξίας, με την τάξη να είναι η εξαπλή συμμετρία και την αταξία τα περίπλοκα διακλαδιζόμενα σχήματα των φυλλωμάτων της φτέρης. Είναι η χιονονιφάδα ένα φράκταλ; Και αν ναι, πού βρίσκεται η απόδειξη; 
Το φράκταλ είναι μια αφηρημένη έννοια των μαθηματικών. 
Η νιφάδα είναι ένα πραγματικό αντικείμενο. 
Αυτά τα δύο πράγματα είναι διαφορετικής φύσεως και επομένως η χιονονιφάδα δεν είναι φράκταλ."
------------------------------------------------------------
Μη βιαστεί να συμπεράνει κανείς πως με το συλλογισμό:
"επειδή α=β, γ=δ και β διάφορο του δ, θα είναι και α διάφορο του γ", που εφάρμοσε ο Stewart παραπάνω το θέμα 'χιονονιφάδα' έληξε εδώ, επειδή θα ήταν τουλάχιστον αφελές να δεχτούμε ότι ένας τόσο απλοϊκός συλλογισμός θα μπορούσε να δώσει τέλος σε ένα τόσο σύνθετο, χαοτικό αν προτιμάτε, θέμα. Το μαρτυρά, άλλωστε, και η συνέχεια του κειμένου, από το οποίο αντιγράφω αυτούσιες μερικές ακόμη γραμμές, πριν διατυπώσω τον προβληματισμό μου ή τουλάχιστον πριν προσπαθήσω να τον διατυπώσω. Ρωτάει ο Stewart:
-------------------------------------------------------------
"Τελειώνει η ιστορία εδώ; Όχι - παρ' ότι εντυπωσιάζομαι διαρκώς από ευφυείς ανθρώπους που λένε πως τελειώνει. Η γεωμετρία των φράκταλ είναι αμφιλεγόμενη - υποθέτω λόγω της πρωτοτυπίας της - και η διαφορά μεταξύ μαθηματικών και πραγματικότητας είναι ένα καθιερωμένο επιχείρημα που προβάλλουμε για να την απορρίψουμε. Όμως, σύμφωνα με το ίδιο σκεπτικό, οι πλανήτες δεν είναι σφαίρες ή σημειακές μάζες, άρα ο νόμος του Νεύτωνα για τη βαρύτητα δεν λέει τίποτε για πλανήτες. Ένας κρύσταλλος δεν είναι ένα τέλειο κανονικό πλέγμα, άρα οι κρυσταλλογραφικές συμμετρίες δεν μας λένε τίποτε για τους κρυστάλλους. Ένας Ναυτίλος δεν είναι μια σπείρα, το DNA δεν είναι μια διπλή έλικα...
Ας βάλουμε το μυαλό μας να δουλέψει. Οι μαθηματικές έννοιες είναι πάντοτε εξιδανικεύσεις του πραγματικού κόσμου, έτσι λειτουργούν τα μαθηματικά. Αντικαθιστούμε την ακαταστασία του πραγματικού κόσμου από μια προσεκτικά επιλεγμένη εξιδανίκευση, εύκολη στην κατανόησή της και τότε έχουμε μια ευκαιρία να καταλήξουμε κάπου..."
*****************
Και η 'ιστορία', προφανώς, δεν τελειώνει ούτε εδώ, τουλάχιστον όχι στη σελίδα 168. :) Ακολουθούν άλλες πενήντα  σελίδες γεμάτες με προβληματισμό γύρω από τη φύση του χάους, καθώς και με  λογικά επιχειρήματα, τα οποία, εν τέλει, θεμελιώνουν τη θεωρία πως 'το Χάος είναι μια φαινομενική τυχαιότητα με καθαρά ντετερμινιστικό αίτιο', ώσπου στην τελευταία παράγραφό του ο Stewart, με τη σεμνότητα και τη σύνεση που χαρακτηρίζουν έναν κορυφαίο επιστήμονα, ομολογεί:

"...έχω επίγνωση του πόσο λίγα γνωρίζουμε για τον κόσμο μας. Πόσο φτωχή είναι η ιστορία μου για τη χιονονιφάδα μπροστά στην εκθαμβωτική πραγματικότητα! Υπάρχουν ακόμη τόσα πολλά να μάθουμε!"
*****************
3ο. Ανάμεσα στα πολλά που ο καθένας από μας έχει ακόμη  να μάθει, πιστεύω πως θα ήταν χρήσιμο να συμπεριληφθεί και μια γνώση που αφορά στο πώς ο Benoit Mandelbrot ανακάλυψε τα σύνολα που φέρουν το όνομά του, πώς έφτασε σ' αυτά και ποια ήταν τα ερωτήματα που προσπάθησε να απαντήσει. Ιδού μερικά όπως τα έχει διατυπώσει ο ίδιος:

"...Τι σχήμα έχει ένα βουνό, μια ακτογραμμή, ένας ποταμός, ένα σύννεφο, μια φλόγα; Πόσο πυκνή είναι η κατανομή των γαλαξιών στο Σύμπαν; Πώς μπορεί κάποιος να περιγράψει την μεταβλητότητα στις τιμές των μετοχών; Οι αριθμοί μετρούν εμβαδά και μήκη. Θα μπορούσε κάποιος άλλος αριθμός να μετράει την «τραχύτητα» του σκουριασμένου σιδήρου, ή του θρυμματισμένου γυαλιού; Την πολυπλοκότητα ενός μουσικού θέματος ή της αφηρημένης τέχνης; Μπορεί η γεωμετρία να κομίσει αυτό που υπόσχονται οι ελληνικές ρίζες της ονομασίας της – αληθείς μετρήσεις, όχι μόνο των καλλιεργημένων χωραφιών κατά μήκος του ποταμού Νείλου αλλά επίσης και της αδάμαστης Γης;
Η ζωή μου ήταν γεμάτη από τέτοια ερωτήματα..."

------------------------------------------------------------------
Μπορείτε, αν θέλετε, να διαβάσετε ολόκληρο το πολύ ενδιαφέρον κείμενο του Mandelbrot στο profil των Εκδόσεων Τραυλός στο facebook ακριβώς κάτω από την κοινοποίηση: 
"Great news! Μόλις "κλείσαμε" για την ελληνική γλώσσα την  ΑΥΤΟ-βιογραφία του Benoit Mandelbrot "The Fractalist". "
Επίσης μπορείτε να δείτε το video, (εδώ), που είδα κι εγώ νωρίτερα,  και με προβλημάτισε για πολλούς και διάφορους λόγους. Φαινομενικά ασύνδετους, όσο ασύνδετα είναι τα όργανα της αναπνοής μας - δηλαδή οι "κακώς ορισμένοι" φράκταλ πνεύμονες για τη συνολική επιφάνεια των οποίων οι ανατόμοι διαφωνούν - με τις ελεύθερες αγορές και τη μεταβλητότητα των μετοχών...
Ο Mandelbrot κατάφερε ό,τι κατάφερε αντιστρέφοντας μια κατάσταση: χρησιμοποίησε τις επινοημένες μαθηματικές του έννοιες, για να περιγράψει πραγματικά αντικείμενα. 
Κατασκεύασε μια Γεωμετρία για αντικείμενα που μέχρι τότε δεν είχαν γεωμετρία. Οι πνεύμονες, τα νεφρά, οι εγκέφαλοί μας, οι τιμές στο χρηματιστήριο...τόσο οι πραγματικές αυξήσεις των τιμών όσο και οι πλασματικές αυξήσεις**, περιγράφονται με την ίδια φράκταλ (μορφο-κλασματική) Γεωμετρία, που ακόμη αγνοούμε και ως εκ τούτου οι περισσότεροι δεν την ... χρησιμοποιούμε, γι' αυτό ας βάλουμε το μυαλό μας να δουλέψει, μήπως και βρεί τρόπους που θα κάνουν το μυαλό των παιδιών μας να δουλέψει και κάποιο από αυτά στο μέλλον ίσως να παρατηρήσει, όπως ακριβώς κι ο Mandelbrot παρατήρησε στο πρόσφατο παρελθόν, αυτό που σήμερα όλοι εμείς απλά κοιτάζουμε, χωρίς να το κατανοούμε. Ίσως μόνο έτσι υπάρχει ελπίδα να σωθούμε.
Διαβάστε, μικροί μεγάλοι, γιατί χανώμαστε...(δηλαδή, χανόμαστε...)

------------------------------------------------------------------------------------------
* Ένα μικρό απόσπασμα από το βιβλίο "Οι μυστικοί αριθμοί" του Ian Stewart έχω αντιγράψει παλιότερα εδώ
**Και όσοι, Δ.Χ., επιμένουν πως οι ελεύθερες αγορές μπορούν να λειτουργήσουν τόσο ομαλά όσο το "κορώνα-γράμματα", ας διαβάσουν τον πίνακα του Χάους, ή έστω την περίληψη που υπάρχει εδώ

Παρασκευή 22 Μαρτίου 2013

ΟΙ ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ... ΚΑΙ ΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ...

Παίζοντας με το GeoGebra, μετρώ τις διαστάσεις της ζωής μου...

Εδώ και μέρες διαβάζω "τα Μαθηματικά της ζωής, ξεκλειδώνοντας τα μυστικά της ύπαρξης"...
Τα μελετώ και εμμένω σε διάφορα σημεία, αναζητώντας στη γλωσσική πολυσημία τις διαστάσεις που αρκούν, για να περιγράψουν σαφώς και πλήρως το ζωτικό μου χώρο. Με μια, μάλλον, προσποιητή σοβαρότητα εισάγω και εξάγω διαστάσεις, γράφοντας και σβήνοντας αριθμούς [και e-φίλους στο facebook...]. Στην πράξη όμως δεν κάνω κάτι πέρα από το να κλέβω τρελές ιδέες από μεγάλους μαθηματικούς, αλλά αυτοί...

...οι μαθηματικοί δεν εισήγαγαν τους χώρους πολλών διαστάσεων για να διασκεδάσουν ή για να εντυπωσιάσουν τον κόσμο. Το έκαναν επειδή τους χρειάζονταν. Μέχρι τα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα διάφορες εξελίξεις, τροφοδοτούμενες από την καθαρή γεωμετρία μέχρι την ουράνια μηχανική, φαίνονταν να υποδεικνύουν μια καινούρια ιδέα. Την ίδια περίπου εποχή, οι φυσικοί άρχισαν να συνειδητοποιούν ότι πολλές βασικές ανακαλύψεις έβγαζαν περισσότερο νόημα αν οι εξισώσεις τους διατυπώνονταν μέσα σε έναν "χωρόχρονο" τεσσάρων διαστάσεων: τις τρεις παραδοσιακές διαστάσεις του χώρου, συν μία επιπλέον, του χρόνου. Όμως, ο χρόνος δεν ήταν η τέταρτη διάσταση, αλλά απλώς μια δυνατότητα.
Με λίγα λόγια: διάσταση ενός χώρου είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων συντεταγμένων που απαιτούνται για να προσδιορίσουμε τα πράγματα που ανήκουν σε αυτόν. Χώροι με πολλές διαστάσεις παρέχουν ένα βολικό τρόπο για περιγραφή συστημάτων στα οποία πολλές διαφορετικές μεταβλητές μπορούν να πάρουν όποια τιμή θέλουμε. Ο "χώρος" όλων αυτών των επιλογών διαθέτει μια φυσική δομή - που προκύπτει από την άμεση γενίκευση των οικείων μαθηματικών των δύο και τριών διαστάσεων. Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να προσδιορίσουμε πότε σε έναν τέτοιο χώρο δύο "σημεία" βρίσκονται  το ένα κοντά στο άλλο: οι αντίστοιχες μεταβλητές τους θα πρέπει να έχουν παραπλήσιες τιμές.
Επιπλέον, τα "σημεία" δεν χρειάζεται να είναι πραγματικά 'σημεία'. Το επίπεδο είναι ένα σύνολο σημείων, αλλά μπορεί να εκληφθεί και ως μια συλλογή ελλείψεων. Το σύνολο όλων των ελλείψεων στο επίπεδο συνιστά από μόνο του ένα ενδιαφέρον μαθηματικό αντικείμενο. Πώς μπορεί κανείς να προσδιορίσει μια έλλειψη; Ας το κάνουμε στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας, όπου οι εικόνες είναι πιο οικείες. Πρέπει να γνωρίζουμε: 

  • πού βρίσκεται το κέντρο της έλλειψης (2 αριθμοί)
  • πόσο επιμήκης είναι (1 αριθμός)
  • πόσο πλατιά είναι (1 αριθμός)
  • τη γωνία κατά την οποία είναι κεκλιμένη (1 αριθμός).
     Επομένως, απαιτούνται συνολικά πέντε αριθμοί για να προσδιορίσουμε μια έλλειψη (βλ. Σχήμα 30).
    Ο "χώρος" των ελλείψεων είναι πενταδιάστατος. Και είναι χώρος, με την έννοια ότι αν αλλάξουμε ελαφρώς τους αριθμούς που αναπαριστούν μια συγκεκριμένη έλλειψη, παίρνουμε μια άλλη έλλειψη που βρίσκεται "κοντά" και μοιάζει πολύ με την αρχική. Και όσο μικρότερες είναι οι μεταβολές, τόσο περισσότερο μοιάζουν.
    Από μια άποψη, το επίπεδο είναι δισδιάστατο. Από μια άλλη, είναι πενταδιάστατο. Σε κάθε περίπτωση μιλάμε για το ίδιο επίπεδο, επομένως δεν έχει νόημα να ισχυριζόμαστε ότι ο χώρος είναι δισδιάστατος αλλά όχι πενταδιάστατος. Πρόκειται για δύο πτυχές του ίδιου πράγματος. Αν εξαιρέσουμε την εξοικείωση και την παράδοση, δεν υπάρχει κανένας βάσιμος μαθηματικός λόγος για τον οποίο πρέπει να προτιμούμε το σύνολο των σημείων από το σύνολο των ελλείψεων. Ποια άποψη είναι καλύτερη, εξαρτάται από το ερώτημα που θέτουμε.
    -----------------------------------------------------------------------------------------
    Άρα το ερώτημα που θέτουμε είναι: ποιο ερώτημα θέτουμε;
    Ή αλλιώς πόσων και ποιων διαστάσεων είναι το ερώτημα που θέτουμε; 
    Αποτελεί άραγε το "βάθος" μια από τις διαστάσεις του ή μήπως εξαντλείται η προσπάθεια στην "αβάσταχτη ελαφρότητα του είναι";
    Από την άλλη, τα "σημεία" πώς τα ορίζουμε;
    Προβληματίζομαι ... Επιχειρώντας να περιγράψω με κλεμμένες μαθηματικές ιδέες τη ζωή μου θυμήθηκα την Χαρούλα και το "η ζωή μου κύκλους κάνει..."
    Φτάνει..φτάνει...φτάνει! :) Τέλος! 
    Επιλέγω τα σημεία του επιπέδου της ζωής μου να είναι κύκλοι, αλλά όχι αυτοί οι περιπαθείς κύκλοι  της Χαρούλας, επειδή δεν μου ταιριάζουν. 
    Επιλέγω τους άλλους κύκλους, τους ορθόδοξους... Αυτούς που αρκούν τρεις μόνο αριθμοί για να τους περιγράψουν: δύο για το κέντρο τους κι ένας για την ακτίνα τους! Τριάδα...κυκλ-άδελφος!
    Επιλέγω τους κύκλους, ως ειδική περίπτωση της έλλειψης, και γλυτώνω την "κλίση"!

    Και επιλέγω τους κύκλους των φίλων και τους κύκλους των γνωστών και των φιλαναγνωστών ως σημεία αναφοράς σε μια διάσταση χαράς!

    "...οι μαθηματικοί δεν εισήγαγαν τους χώρους πολλών διαστάσεων για να διασκεδάσουν ή για να εντυπωσιάσουν τον κόσμο" γράφει ο Ian Stewart στη σελίδα 239 του βιβλίου του "Τα μαθηματικά της ζωής"
    Εγώ όμως καταφεύγω στους χώρους των πολλών διαστάσεων, ξανά και ξανά, προσπαθώντας να χαθώ στις σελίδες του βιβλίου του Ian Stewart, για να διασκεδάσω και να εντυπωσιαστώ..
    Ή για να ξεχάσω τις ελλείψεις, τα σημεία των καιρών,  και να ξεχαστώ.
    Αλλά ΔΕΝ ξεχνάω και μελαγχολώ...



    Σάββατο 16 Μαρτίου 2013

    5th International Week Dedicated to Maths


    Δείτε εδώ το τελικό πρόγραμμα της 5ης Μαθηματικής Εβδομάδας.
    Σημειώστε τις παρουσιάσεις που άπτονται του ενδιαφέροντός σας και ελάτε να γνωριστούμε και να ανταλλάξουμε ιδέες, γνώσεις και προτάσεις σε ένα πενθήμερο αφιερωμένο στα Μαθηματικά.

    Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013

    ΤΟ ΥΠΑΡΚΤΟ ΤΙΠΟΤΑ

    Επειδή τα μαθηματικά είναι τέχνη, οι δημιουργοί τους απολαμβάνουν να δημιουργούν νέα σενάρια όπου αυτά μπορούν να δώσουν την παράστασή τους - όπως ακριβώς οι συγγραφείς μυθιστορημάτων περιορίζουν τους χαρακτήρες τους σε συγκεκριμένες καταστάσεις και αφήνουν τις συμπεριφοριστικές τάσεις των ανθρώπων να ξετυλίξουν την πλοκή (καθότι ο χαρακτήρας μεταφράζεται σε ένα είδος πεπρωμένου). Δεν είναι τόσο επίπλαστο όσο ακούγεται, αναφορικά τουλάχιστον με τους περιορισμούς της φυσικής μας κατάστασης αρκεί να κοιτάξετε την τελείως προκαθορισμένη ποικιλία "τρόπων ζωής" μέσα σε ένα κούτσουρο για να κατανοήσετε πόσο "τοπική" είναι η ζωή. Ίσως βέβαια να πιστεύετε ότι τα μαθηματικά, όπως η αστρονομία, κινούνται σε διαστάσεις που ξεπερνούν τελείως τον άνθρωπο, με τις τιτάνιες ποσότητές τους και τις ατέλειωτες διαδοχές αριθμών.
    Φανταστείτε όμως για μια στιγμή τις σαπουνόφουσκες που εξαπολύει ένα παιδί στον καλοκαιρινό αέρα. Μικρές και μεγάλες, καθεμιά ένας τέλειος κόσμος, με τα χρώματα να ταξιδεύουν στην επιφάνεια τους σαν ήπειροι. Ένας μαθηματικός μπορεί επίσης να φτιάξει τέτοιους κόσμους σαπουνόφουσκες: μικρά σύμπαντα αριθμών που φτάνουν μέχρι ένα σημείο και έπειτα επιστρέφουν στην αρχή. Τι θα γινόταν αν για παράδειγμα συρρικνώνατε το άπειρο σύμπαν στους αριθμούς από το 0 μέχρι το 11: οι αριθμοί αυτοί θα συμπεριφέρονται τώρα με φανταστικό τρόπο ή οι βαθιές αλήθειες τους θα διαφαίνονται και σε αυτόν το μικρόκοσμο; Πάρτε για παράδειγμα την πρόσθεση: 2+3 θα εξακολουθεί να κάνει 5 και 1+8 να κάνει 9, όμως το 6+7; Δεν μπορεί να κάνει 13 διότι στον κόσμο αυτό δεν υπάρχει 13., οπότε θα κάνει πάλι 1, αφού συμπίπτει με το 1 καθώς κάνουμε τον κύκλο. Είναι σαν να κάνουμε αριθμητική πάνω σε ένα ρολόι με αριθμούς από το 0 μέχρι το 11 ισοκατανεμημένους στην περιφέρειά του. Μάλιστα αυτό γίνεται το γνωστό μας ρολόι, αρκεί να αυξήσουμε όλους τους αριθμούς κατά μία μονάδα και πλέον μετράμε από το 1 ως το 12. 
    Αυτό σημαίνει ότι σε αυτόν τον κουκλίστικο κόσμο το 12 παίζει το ρόλο του 0: προσθέστε το σε οποιονδήποτε αριθμό και θα πάρετε ακριβώς τον ίδιο αριθμό (12 ώρες μετά τις 3 είναι πάλι 3, και 11+12=11)
    [Σελίδα 141, στο βιβλίο του Robert Kaplan, ΤΟ ΥΠΑΡΚΤΟ ΤΙΠΟΤΑ Μια ιστορία του μηδενός, από τις εκδόσεις Αλεξάνδρεια, σε μετάφραση Τεύκρου Μιχαηλίδη.]
    http://maddmaths.simai.eu/noi-e/noi-e-image-des-mathematiques/la-matematica-del-gatto









    Αυτό που μας λέει εδώ ο Κάπλαν*, εν ολίγοις, νομίζω πως είναι το εξής:
    Ένας μαθηματικός έχει τη δυνατότητα, όπως ακριβώς και ένας συγγραφέας μυθιστορημάτων, να φτιάχνει μικρά σύμπαντα, κλειστά και αυτόνομα, όμοια με τις σαπουνόφουσκες,  μέσα στα οποία οι (μαθηματικοί) χαρακτήρες ακολουθούν το ... πεπρωμένο τους. 
    Σε ένα τέτοιο σύμπαν  όπου η σαπουνόφουσκα παραχώρησε τη θέση της σε ένα "ρολόι", το σενάριο εξίσωσε το 12 με το 0, οπότε, αναγκαστικά πια και για λόγους συνέπειας, 6+7=1!
    Επομένως, (λίγο ως μαθηματικός, ακόμη λιγότερο ως συγγραφέας και πολύ πολύ περισσότερο ως άνθρωπος που -για να συνεχίσει να προσπαθεί- έχει ανάγκη από ελπίδα), δεν θα μπορούσα κι εγώ να υποθέσω ότι κάπου εκεί έξω κάποιος κάποια στιγμή θα επινοήσει (το τονίζω: θα επινοήσει και δεν θα ανακαλύψει) ένα μικρό σύμπαν, μια σαπουνόφουσκα ναυαγοσώστη, μιαν αριθμητική ευεργετική, ένα σενάριο ικανό να διορθώσει τις εσφαλμένες (πολιτικές) πράξεις και τα ολέθρια αποτελέσματά τους που μας οδήγησαν σε αδιέξοδα;
    Σαν να λέμε: δεν θα μπορούσε κάποιος να επινοήσει ένα άλλο Ο και να γράψει με αυτό, μια καινούρια ιστορία, με μέση, τέλος και αρχή, που να είναι ... αληθινή;
    Αναμφιβόλως θα μπορούσα να υποθέσω κάτι τέτοιο και θα το κάνω!
     Έστω, λοιπόν, ότι σε έναν...κουκλίστικο κόσμο...το υπαρκτό τίποτα...θα με νανουρίσει γλυκά...πάνω σε μια σαπουνόφουσκα...
    Καληνύχτα.
    --------------------------------------------------------------------------
    *Ο Robert Kaplan έχει διδάξει μαθηματικά σε ανθρώπους από έξι ως εξήντα ετών, πρόσφατα και στο Πανεπιστήμιο Χάρβαρντ. Είναι συνιδρυτής του Math Circle, ενός προγράμματος ανοιχτού στο κοινό, για την απόλαυση των καθαρών μαθηματικών.



    Κυριακή 10 Μαρτίου 2013

    ΆπειρΟ. Τα μαθηματικά της αθανασίας.


      Ο Μάρτιος έφερε την Άνοιξη κι αυτή, μέρα τη μέρα, πρασίνισε τον τόπο. Προ ολίγου το κατάλαβα, όταν σήκωσα το βλέμμα από το βιβλίο μου, έκανα  με τα μάτια μια στροφή 43 μοιρών κι αντίκρισα μιαν ανθισμένη αμυγδαλιά, πενήντα εξήντα μέτρα απ' το παράθυρό μου. Απόρησα! Δεν γίνεται να φούντωσε έτσι μέσα σε μια ώρα ολόκληρο το δένδρο! Σιγά σιγά θα μεταλλάχθηκε, αλλά εγώ ούτε που αντιλήφθηκα ότι από ξερόδεντρο ξανάγινε νυφούλα! Και πώς να το αντιληφθώ; Δυο μήνες τώρα δεν σήκωσα κεφάλι. 
    Μια οι εργασίες του μεταπτυχιακού, μια το πρόγραμμα για τα project, μια οι παράλληλες δραστηριότητες... Μια τα συλλαλητήρια και οι πορείες. Και φυσικά κάθε μέρα ανελλιπώς ο προγραμματισμός των σχολικών μαθημάτων. Πού να βρεθεί  χρόνος για να χαρώ  τον ερχομό της Άνοιξης, παρατηρώντας τα κλαδιά των δένδρων που φουντώνουν γύρω τριγύρω σε μια τόσο μικρή ακτίνα από το σπίτι μου; Από την άλλη βέβαια,  όταν οι υποχρεώσεις μου επιτρέπουν, που και που, να πάρω μιαν ανάσα, αντί να βγω έξω να μυρίσω την Άνοιξη, σπεύδω να αρπάξω κάποιο από τα βιβλία που περιμένουν στη ντάνα αδιάβαστα, να το μυρίσω, να το διαβάσω βιαστικά, να το ξεφυλλίσω, να κάνω τα φύλλα του να φτεροκοπήσουν μπροστά στα μούτρα μου, σαν λευκά πουλιά που 'ρχονται από μακριά, τιτιβίζοντας  ελπίδες και υποσχέσεις...
    Έτσι έκανα και σήμερα, λίγο πριν σηκώσω το βλέμμα μου κι αντικρίσω την φουντωμένη αμυγδαλιά,  αυτήν της  παραπάνω φωτογραφίας :)
    Είχα πάρει στα χέρια μου το βιβλίο του John D. Barrow, "'ΑπειρΟ Τα μαθηματικά της αθανασίας" και διάβαζα ανάκατα τα κεφάλαια. Είχα απορροφηθεί και δεν θα σήκωνα κεφάλι, αν δεν έφτανα στη σελίδα 103 όπου διάβασα για τον μεγάλο μου έρωτα, τον Bernhard Bolzano, (1781-1848), για τον οποίον έχω ξαναγράψει παλιότερα εδώ.
    Αντιγράφω ένα μικρό απόσπασμα από όσα διάβασα:

    "Ο Bernhard Bolzano άρχισε να μελετά τα παράδοξα του απείρου το 1847, στα 67 του χρόνια. Κατά τον Bolzano όλα τα άπειρα ήταν ίσα. Ο απλούστερος τρόπος να καταλάβουμε πώς κατέληξε σε αυτό το συμπέρασμα είναι να εξετάσουμε ένα άλλο από τα "παράδοξα", που ο Γαλιλαίος και οι μαθηματικοί του Μεσαίωνα επικαλούνταν συχνά, όταν ήθελαν να αμφισβητήσουν το λογικό υπόβαθρο της έννοιας του απείρου. Πάρτε ένα κομμάτι κλωστή και σχηματίστε ένα ημικύκλιο με διάμετρο ενός μέτρου. Φανταστείτε τώρα ότι κάτω από το ημικύκλιο παράλληλα προς τη διάμετρό του, περνάει μια άπειρη ευθεία γραμμή (βλ. Εικόνα 4.7). Όλες οι δυνατές ευθείες που ενώνουν το κέντρο του ημικυκλίου με την άπειρη ευθεία, θα τέμνουν το ημικύκλιο σε κάποιο σημείο της περιφέρειάς του. Το εκπληκτικό είναι ότι, όπως φαίνεται και στην Εικόνα 4.7, υπάρχει μια ευθεία που συνδέει κάθε σημείο της περιφέρειας του ημικυκλίου με ένα, και μόνο ένα, σημείο της άπειρης ευθείας. Επομένως, τα σημεία που συγκροτούν την περιφέρεια του ημικυκλίου πρέπει να είναι ισάριθμα με τα σημεία που αποτελούν την άπειρη ευθεία. Έστω, τώρα, ότι σχεδιάζουμε κι άλλα ημικύκλια, με το ίδιο κέντρο αλλά με μικρότερες ακτίνες. Το σύνολο όλων των ευθειών που μπορούν να χαραχτούν από το κέντρο θα διέρχονται από κάθε σημείο της περιφέρειας όλων των κύκλων και η καθεμιά ευθεία θα βρίσκεται σε αντιστοιχία με κάθε σημείο της περιφέρειας κάθε άλλου κύκλου. Επομένως, όλοι αυτοί οι κύκλοι περιέχουν στις περιφέρειες τους άπειρα σημεία και τα σημεία αυτά είναι ισάριθμα."

    Κάπως δύσκολο; Ο.K.! Παραθέτω την εικόνα 4.7, την οποία έφτιαξα  με χρήση GeoGebra, για να διαφωτίσω όσους μπερδεύτηκαν, και μαζί με την εικόνα παραθέτω και την υποσημείωση που τη συνοδεύει στο βιβλίο και καθιστά απολύτως κατανοητή τη διαδικασία με την οποία η άπειρη ευθεία έρχεται σε ένα -προς - ένα αντιστοιχία με ένα πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα μήκους μόλις μιας μονάδας!!!


    Εικόνα 4.7 Η ένα-προς-ένα αντιστοιχία ανάμεσα σε μια ευθεία μήκους μίας μονάδας που εκτείνεται οριζόντια από το 0 ως το 1, και σε ολόκληρη την άπειρη ευθεία από το πλην άπειρο (αριστερά) ως το συν άπειρο (δεξιά). Διαλέξτε ένα οποιοδήποτε σημείο της ευθείας που συνδέει το πλην άπειρο με το συν άπειρο. Στη συνέχεια χαράξτε μια ευθεία που να ενώνει αυτό το σημείο με το κέντρο του ημικυκλίου. Από το σημείο όπου η ευθεία αυτή τέμνει το ημικύκλιο, σχεδιάστε μια κατακόρυφη διακεκομμένη γραμμή προς ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος μεταξύ 0 και 1. Μέσω αυτής της διαδικασίας, βλέπουμε πως κάθε σημείο της αρχικής άπειρου μήκους ευθείας καταλήγει σε ένα σημείο του πεπερασμένου ευθύγραμμου τμήματος από το 0 ως το 1. (Σελ. 106)

    Φανταστικό, σωστά; Με μια απλή κίνηση, μια κίνηση που μοιάζει με αναδίπλωση, κάθε σημείο της άπειρης ευθείας "ζευγαρώνει" με ένα μόνο σημείο του ημικυκλίου κι αυτό το σημείο στη συνέχεια "πέφτει" ευλαβικά, σαν σταγόνα βροχής, μέσα στο διάστημα που οριοθετείται από το μηδέν και το ένα, για να βρει εκεί την εικόνα του σε ένα άλλο μοναδικό σημείο...
    Πόσο ερωτικό και πόσο ανοιξιάτικο συνάμα! Όταν πρωτοδιάβασα, μερικά χρόνια πριν, αυτή την τολμηρή και ερωτική αναδίπλωση του απείρου στο πεπερασμένο, όπως την είχε περιγράψει ο Bolzano, ένιωσα μιαν απέραντη ευγνωμοσύνη γι' αυτόν. Η φράση "Ας το αποδεχτούμε κι ας προχωρήσουμε" του Bolzano άνοιξε το δρόμο, ρίχνοντας τον τοίχο που όρθωνε το άπειρο με τα παράδοξά του  στον Γαλιλαίο και τους άλλους μαθηματικούς του Μεσαίωνα. Μια απλή παραδοχή ήταν αρκετή για νέες κατακτήσεις...Και παρόλο που ο Cantor αργότερα, με ένα ωραίο παράδειγμα, απέδειξε πως τελικά τα άπειρα δεν είναι όλα ίσα (και όμοια), ο Bolzano παραμένει για μένα ο πιο αγαπημένος ήρωας του μαθηματικού μου κόσμου, για πολλούς και διάφορους λόγους, κυρίως όμως επειδή ήταν πάντα τολμηρός, θαρραλέος και κοινωνικά δίκαιος... Γι' αυτό κάθε φορά που διαβάζω κάτι σχετικά με τον Bernhard Bolzano, νιώθω την ανάγκη να ονειροπολήσω, να συλλογιστώ, να ελπίσω, και τότε σηκώνω το βλέμμα από το ανάγνωσμα και το περιφέρω έξω από το παράθυρο, στον γαλάζιο ή στον γκρίζο ουρανό, ανάλογα με τον καιρό..
    Κάπως έτσι και σήμερα, διαβάζοντας το βιβλίο του Barrow, ένιωσα την ελπίδα να φουντώνει μέσα μου και τότε, σηκώνοντας το βλέμμα, είδα την ανθισμένη αμυγδαλιά, κι είδα τον ερχομό της Άνοιξης, είδα την αναγέννηση και νόμισα πως αφουγκράστηκα την ... μπουμπουκιασμένη αθανασία, αυτήν που κρύβουν μέσα τους τα ...  Μαθηματικά του απείρου και της φαντασίας μου :)

    ----------------------------------------------------------------------------------------
    Συμπληρωματικά παραθέτω μιαν άλλη εκδοχή της ΕΙΚΟΝΑΣ 4.7, της σελίδας 106, η οποία είναι πιο κοντά στην περιγραφή της υποσημείωσης, με την έννοια πως παίρνει ένα σημείο Κ της άπειρης ευθείας, το ενώνει με το κέντρο Ο του ημικυκλίου και οριζέται έτσι το σημείο Ρ, ως σημείο τομής του ΚΟ με το ημικύκλιο. Στη συνέχεια το Ρ προβάλλεται στο Η, το οποίο βρίσκεται -πάντα υπό περιορισμό :)-,  ανάμεσα στο 0 και στο 1...


    Παρασκευή 8 Μαρτίου 2013

    5η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΒΔΟΜΑΔΑ, Θεσσαλονίκη 27 με 31 Μαρτίου

    Δείτε το πρόγραμμα της 5ης Μαθηματικής Εβδομάδας εδώ
    Επιλέξτε τις συνεδρίες και τα σεμινάρια που θέλετε να παρακολουθήσετε.
    Κάντε την εγγραφή σας στη σελίδα του Παραρτήματος ΕΜΕ, Κεντρικής Μακεδονίας εδώ

    Προγραμματίστε εκπαιδευτικές επισκέψεις με τα σχολεία σας, για να παρακολουθήσουν οι μαθητές σας τις παράλληλες δραστηριότητες, που είναι σχεδιασμένες ειδικά για τα σχολεία.
    Δείτε στο τελευταίο μέρος του προγράμματος τις παράλληλες μαθητικές δραστηριότητες.
    Μεταξύ των άλλων, οι μαθητές σας θα έχουν την ευκαιρία να παρακολουθήσουν άλλους μαθητές
    που θα παρουσιάσουν τις ερευνητικές τους εργασίες, εν είδει Μαθητικού Συνεδρίου.

    Στείλτε μήνυμα στο kalfokat@gmail.com, για να δηλώσετε την επίσκεψη του σχολείου σας στην 5η Μαθηματική Εβδομάδα.
    Έχουν απομείνει λίγες θέσεις και τηρείται σειρά προτεραιότητας.

    Μην χάσετε, το βράδυ του Σαββάτου το στρογγυλό τραπέζι με θέμα "Ερευνητικές Εργασίες-Project", με ομιλητές τους:
    Κατερίνα Καλφοπούλου, Γιάννη Θωμαΐδη, Ανδρέα Λύκο, Χατζηχρίστου Χρυσούλα.

    Οι Κατερίνα Καλφοπούλου και  Ανδρέας Λύκος, εκπροσωπώντας την ομάδα Θαλής+Φίλοι, θα κάνουν προτάσεις για την οργάνωση Ερευνητικών Εργασιών με χρήση λογοτεχνικών βιβλίων ή βιβλίων εκλαϊκευμένης επιστήμης, στα πρότυπα λειτουργίας των Λεσχών Ανάγνωσης της ομάδας Θαλής+Φίλοι, όπου διαθέτουν πολύχρονη εμπειρία.
    Κατά τη διάρκεια της συζήτησης με το κοινό θα κληρωθούν πολλά βιβλία, τα οποία αποτελούν πολύτιμες πηγές για μαθηματικές και όχι μόνο ερευνητικές εργασίες, όπως: 
    • "Τα Πυθαγόρεια Εγκλήματα", του Τεύκρου Μιχαηλίδη από τις εκδόσεις Πόλις, 
    • "Επιστολές σε μια νεαρή μαθηματικό", του Ian Stewart, από τις εκδόσεις Τραυλός 
    • "Το μέτρο του κόσμου", του Denis Guedj, από τις εκδόσεις Τραυλός κ.ά.
    ΣΑΣ ΠΕΡΙΜΕΝΟΥΜΕ ΟΛΟΥΣ ΣΤΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 

    27 με 31 Μαρτίου, στη Διεθνή Έκθεση Θεσσαλονίκης, 
    στο Συνεδριακό Κέντρο Νικόλαος Γερμανός.

    Η εγγραφή στο Συνέδριο και η παρακολούθηση των εισηγήσεων είναι ΔΩΡΕΑΝ.
    (αντιθέτως η παρακολούθηση των ειδικών σεμιναρίων από εκπαιδευτικούς έχει κόστος 15 ευρώ)