Τετάρτη, 3 Οκτωβρίου 2018

Πέντε αx και δέκα βαx!

Χθες, Τρίτη 2 Οκτωβρίου 2018, όπως είχα "υποσχεθεί" στα παιδιά της Β' Γυμνασίου, ζήτησα να απαντήσουν γραπτώς σε  ασκήσεις, παρόμοιες με αυτές που είχαμε ασχοληθεί στα αμέσως προηγούμενα τρία μαθήματα.


Μισή σελίδα Α4 όλη κι όλη και ο χρόνος περίπου ένα τέταρτο της ώρας. Η κάθε παράσταση, τέσσερις στο σύνολο και όχι όλες της ίδιας δυσκολίας,  έπιανε τέσσερις μονάδες και οι δύο τελευταίες ερωτήσεις από δύο μονάδες. 
Το απόγευμα της ίδιας μέρας, χθες δηλαδή, κάθισα να διορθώσω τα γραπτά, για να τα επιστρέψω σήμερα, να τα συζητήσουμε και να προχωρήσουμε παρακάτω.
Οι οδηγίες διδασκαλίας λένε να δώσουμε έμφαση και προτεραιότητα στις ασκήσεις που "μεταφράζουν" από τη φυσική γλώσσα στην αλγεβρική, αλλά πρώτον  με τα συγκεκριμένα παιδιά έχω κάνει πολλή δουλειά πάνω σ' αυτό το θέμα πέρυσι και δεύτερον ΚΑΙ ΚΥΡΙΟΤΕΡΟΝ, αυτό που εμείς θεωρούμε αυτονόητο, πως δηλαδή 2 αυγά και 3 αυγά κάνουν 5 αυγά, για τα παιδιά κάθε άλλο παρά αυτονόητο είναι!
Όποτε ρωτάω παιδιά "πόσο κάνει δύο αυγά και τρία αυγά;" οι τρεις στους τέσσερις απαντούν "Πέντε"! Και φυσικά κάνουν λάθος. Επειδή δεν κάνει πέντε. Κάνει "πέντε αυγά"! 
Η διόρθωσή μου, η οποία κάνει αρκετά παιδιά να ξινίζουν τα μούτρα τους, μπορεί σε κάποιους να φανεί ως ιδιοτροπία μιας σχολαστικής και σπαστικής μαθηματικού, αλλά δεν είναι. Είναι ένα κομβικό σημείο στην κατανόηση της πρόσθεσης. Η πρόσθεση γίνεται μεταξύ  όμοιων πραγμάτων και το αποτέλεσμά της είναι ένα σύνολο πραγμάτων όμοιων με αυτά που είχαμε στην αρχή.  Τι δεν καταλαβαίνεις;
Γράφω στον πίνακα 2α+3x και πετάγεται ένα παιδί και μου λέει: "πέντε αx"!
Πέντε αχ και δέκα βαχ! 
Χρόνο με το χρόνο πιο δύσκολη γίνεται η αναγωγή. 
Αναρωτιέμαι, πάντα αναρωτιέμαι, πώς να είναι τα πράγματα στα άλλα σχολεία...

Την προηγούμενη εβδομάδα, για να μπορέσω να απασχολήσω την ώρα του μαθήματος μια μικρή προσφυγοπούλα που δεν κατανοεί τη γλώσσα, έψαξα στο διαδίκτυο ασκήσεις πρόσθεσης από το Δημοτικό. Ανάμεσα στις ασκήσεις που μου έβγαλε όταν γκούγκλαρα "mathematics' tasks grade a", υπήρχαν και κάτι τέτοια:
Τι περιμένουμε να απαντήσει ένα μικρό παιδί σ' αυτήν την ερώτηση; 
Τι υποτίθεται ότι πρέπει να βάλει μετά το  "=",  για να θεωρηθεί σωστό; 
Και, τέλος πάντων, από πού ξεκινάει το κακό; 
Ξεκινάει από το Δημοτικό; Νωρίτερα; Ξεκινάει από το Γυμνάσιο; Απογειώνεται στο Λύκειο;
Απάντηση μαθήτριάς μου της Β' Λυκείου μερικά χρόνια πριν.

Και ποιος φέρει την ευθύνη; Τα παιδιά, οι γονείς, οι δάσκαλοι, οι μαθηματικοί, οι σύμβουλοι, οι πολιτικοί, η τεχνολογία, η εποχή... 

Σήμερα πρώτη και δεύτερη ώρα είχα με τη Γ' Γυμνασίου. Τους είχα και πέρυσι τους είχα και πρόπερσι. Μπήκα στην τάξη ... γκαζωμένη, μετά από όσα είδαν τα μάτια μου στη χθεσινή διόρθωση.  Ρίζες ήταν το μάθημα κανονικά. Ακόμη! (Στις οδηγίες προτείνεται μια ώρα;)
"Ξεκινάμε με προθέρμανση! Έτσι θα ξεκινάμε κάθε φορά που έχουμε την πρώτη ώρα. Γράψτε ..."
Έγραψα στον πίνακα μια αλγεβρική παράσταση και ζήτησα να την απλοποιήσουν. Γύριζα από πάνω τους σαν ξωτικό να δω τι κάνουν... Αυτά έκαναν ζέσταμα στα Μαθηματικά κι εγώ ... στο Μαραθώνιο! Ούτε οι μισοί δεν την έκαναν σωστά! 
"Ξέρετε ότι οι μισοί και παραπάνω θα πρέπει να πάτε πίσω στη Β';", τους είπα. Οι πιο πολλοί χαμογέλασαν. 
"Κι επειδή αυτό δεν γίνεται κι επειδή δεν θέλω να πάτε έτσι στο Λύκειο, λέω να σας κρατήσω...". Πάγωσαν.
"Τότε, κάντε μια προσπάθεια, μια σωστή προσπάθεια...". Άρχισα να τους εκλιπαρώ. Θεέ μου.
Πάντως σοβάρεψαν. Έστησαν σωστά τα κορμιά τους στα θρανία, ειδικά κάποιοι νεαροί που το πρωί απλώνονται σαν ζυμάρι όπου μπορούν. 
"Ακούστε, στόχος μου είναι να κάνω το μάθημα επιτυχώς. Ξέρετε τι σημαίνει αυτό; Σημαίνει ότι το 60% των μαθητών μου θα απαντάει σωστά..."
Παγωμάρα.
"Ποιοι από σας θέλετε να ανήκετε στο 40%;". Κανένα χέρι δεν σηκώθηκε.
"Πού θέλετε να ανήκετε;"
"Στο 60%!",  όλα μαζί με μια φωνή. 
"Εντάξει, αλλά αν ανήκετε όλο στο 60%, τότε..."
"Τότε θα γίνει 100%", πετάχτηκαν δυο τρεις.
"Εντάξει, τότε ας βάλουμε στόχο το 100%!", τους είπα και σήκωσα έναν να απλοποιήσει την παράσταση στον πίνακα.


Όταν ο μαθητής κάθισε, ρώτησα αν η πρωτολευταία γραμμή ήταν απαραίτητη.
"Και γιατί να μην το κάνουμε;", "Γιατί; Λάθος είναι έτσι;".
"Εγώ ρωτώ αν τη θεωρείτε απαραίτητη...", επέμενα.
Και, ναι, τη θεωρούν. Παρόλο που εγώ πέρυσι απέφυγα να φέρνω δίπλα δίπλα τους όμοιους όρους για να τους προσθέσουμε. Έτσι όμως τους έχει το βιβλίο της Β' Γυμνασίου και κάποιοι θεωρούν ότι αυτό βοηθάει τα παιδιά: να τα φέρουμε κοντά! 
Αλλά τα παιδιά το αντιλαμβάνονται ως μια διαδικασία εκ των ων ουκ άνευ για την ολοκλήρωση της αναγωγής. 
Και ρωτώ: αργότερα στο Λύκειο όταν οι παραστάσεις θα γίνουν μεγαλύτερες και συνθετότερες με τριγωνομετρικούς αριθμούς και συναρτήσεις κι άλλα τινά ... δαιμόνια, θα εφαρμόζουν πάλι την ίδια μετακίνηση των όρων προκειμένου να τους φέρουν δίπλα δίπλα για να τους προσθέσουν;
Και δεν φτάνει μόνο αυτό, υπάρχει και κάτι ακόμη χειρότερο.
Σε κάποια από τα γραπτά της Β' που διόρθωσα χθες, οι όροι που άφηναν τη θέση τους, για να πάνε μια δυο θέσεις παραπέρα, να σταθούν δίπλα στο όμοιό τους, προκειμένου να αναχθούν, άλλαζαν και πρόσημο! Ένα συμπίλημα παρανοήσεων... Δίνω ένα παράδειγμα.

3(x-y)+2(x+y)=3x-3y+2x+2y=3x-2x+3y+2y=x+5y
 Δηλαδή τα 2x "πηδώντας" πάνω από τα -3y, άλλαξαν πρόσημο, σαν να άλλαξαν μέλος σε μια εξίσωση...

Δεν ξέρω από πού ξεκινάει το πρόβλημα. Αυτό που ψάχνω να βρω, προς το παρόν, είναι πώς να το τελειώσω. Και πώς τα 2α+3x δεν θα εξισώνονται με 5αx απ' τα παιδιά  και δέκα βαx στη δική μου την καρδιά!



Αλλά, αν δεν κατανοήσουν οι δάσκαλοι, οι γονείς και τα παιδιά πως η "γνώση" απαιτεί πολλή και προσωπική δουλειά, τότε δεν προβλέπω γιατρειά.
Ακούς, Λουκά;

-------------------------------------------------------------------------------
Υ.Γ. Θα έπρεπε να είχα αναφέρει από την αρχή ότι στα τεστ που διόρθωσα βρήκα ένα 19, ένα 18,  ένα 17, αρκετά δεκατριάρια, ακόμη περισσότερα δεκάρια... 
Επίστρεφω να το συμπληρώσω, δέδωκα ώρες μετά την αρχική ανάρτηση, η οποία διαβάστηκε και σχολιάστηκε πολύ, κάτι που ιδιαιτέρως με χαροποιεί. :)
Επίσης, θα έπρεπε να είχα αποσαφηνίσει εξ αρχής το ρόλο που παίζει αυτού του είδους η εξέταση. Δεν είναι ... "χαριστική βολή". Στοχεύει στην επισήμανση τριών τουλάχιστον βασικών προϋποθέσεων, για την αποτελεσματικότερη πορεία του μαθήματος. Απαιτείται ανάλυση και θα την επιχειρήσω σε μελλοντική ανάρτηση.
Ευχαριστώ πολύ τους αγαπητούς συναδέλφους που αφήνουν σχόλια με τις απόψεις τους και τις εμπειρίες τους. Με βοηθάει. 

7 σχόλια:

  1. Αγγίζεις πολλά ενδιαφέροντα θέματα. Θα ξεκινήσω από το τέλος. Λάθη σαν κι αυτό όπου άλλαξε το πρόσημο μπορεί να μην οφείλονται σε παρανόηση. Αυτές οι αλγεβρικές παραστάσεις, που σε μας φαίνονται απλές, είναι ιδιαίτερα πολύπλοκες για τα παιδιά. Το πιο πιθανό είναι ότι γέμισε η μνήμη εργασίας του και την πάτησε. Μπορεί βέβαια να οφείλεται και σε παρανόηση αλλά στοιχηματίζω ότι φταίει η μνήμη εργασίας. Σιγά σιγά με τη διαρκή εξάσκηση αυτή η μεταφορά γίνεται ολοένα και ευκολότερη, δε γεμίζει με αυτό τον τρόπο η μνήμη εργασίας και τα λάθη μειώνονται.

    Πιστεύω ότι η προτελευταία γραμμή πρέπει να υπάρχει. Κατανοώ τις ανησυχίες σου, δε γίνεται να το κάνεις στο Λύκειο, αλλά στο ξεκίνημα καλό είναι να έχουν κάποιο δεκανίκι μέχρι να αυτοματοποιηθεί διαδικασία. Τέτοια κόλπα χρησιμοποιούνται και αλλού, όπως στη διδασκαλία της παραγωγής γραπτού λόγου.

    Σίγουρα η ρίζα βέβαια του προβλήματος βρίσκεται στην αδυναμία των μαθητών να κατανοήσουν την έννοια της μεταβλητής. Είναι ένα δύσκολο θέμα το οποίο ξεκινάει από το Δημοτικό. Π.χ., πολλές φορές οι δάσκαλοι αρκούνται στην απλή απάντηση 5 και δεν απαιτούν να πει ο μαθητής 5 αυγά.

    Από κει και πέρα τέτοια λάθη είναι φυσιολογικά, τα μαθηματικά του γυμνασίου είναι δύσκολα, η ύλη μεγάλη και ο χρόνος περιορισμένος. Εχω μία υποψία ότι εμπλέκονται και γνωστικοί περιορισμοί που έχουν τα παιδιά σε αυτή την ηλικία. Για παράδειγμα, μπορεί κατά τον Piaget μετά τα 12 να μπαίνεις στην τυπική σκέψη ωστόσο μία μειοψηφία φτάνει σε αυτό το στάδιο στα 12. Πολλά παιδιά στο γυμνάσιο εξακολουθούν να είναι στο στάδιο της συγκεκριμένης σκέψης. Αν βάλεις και όσα κουβαλούν από το Δημοτικό σχετικά με τη μαθηματική εκπαίδευσή τους φτιάχνεις ένα εκρηκτικό μείγμα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γιάννη, σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο.
      Έχει μεγάλη αξία η επικοινωνία των βαθμίδων.

      Θέλω να προσθέσω κάτι σχετικά με την αναγκαιότητα της "προτελευταίας γραμμής", στην απλοποίηση της αλγεβρικής παράστασης, επειδή το συνέχισα το θέμα στο σχολείο, όταν μπήκα στη Β' Γυμνασίου και τους επέστρεψα τα γραπτά.
      Ρώτησα αν θεωρούν απαραίτητο να φέρουν δίπλα δίπλα τα x, για να κάνουν αναγωγή.
      Στη Β' τα παιδιά ήταν ακόμη πιο κατηγορηματικά από ότι στη Γ'. Πίστευαν ότι διαφορετικά δεν γίνεται η πρόσθεση.

      Το πώς τους δημιουργήθηκε αυτή η αντίληψη δεν το κατανοώ, αφού εγώ δεν εφαρμόζω αυτήν την πρακτική.
      Σκέφτηκα μήπως έχουν επηρεαστεί από άλλο μάθημα, π.χ. Χημεία, που τα σώματα αντιδρούν μεταξύ τους όταν έρθουν σε επαφή...
      Κάποια μου απάντησαν πως κάπως έτσι τα φαντάζονται.

      Εγώ, ωστόσο, επέμενα. Ήθελα να αποβάλουν την εσφαλμένη αντίληψη. Είπα παραδείγματα.
      Ας πούμε ότι εγώ έχω πέντε ευρώ στην τσέπη μου και η Μ έχει δέκα ευρώ στη δική της. Για να βρούμε πόσα ευρώ έχουμε και οι δυο μαζί θα χρειαστεί, πιστεύετε, να πλησιάσουμε η μια κοντά στην άλλη και να ... κολλήσουμε τις τσέπες μας;

      Άρχισαν να γελάνε.
      Ελπίζω να κατάλαβαν.

      Το ζητούμενο είναι να κατανοούν τα στοιχειώδη με τον ρυθμό που επιβάλλεται από τον τεράστια ύλη των Μαθηματικών, χωρίς να παπαγαλίζουν διαδικασίες.

      Γενικά, όμως, πιστεύω ότι η ύλη στο Γυμνάσιο πρέπει να είναι εντελώς διαφορετική, από αυτήν που είναι.
      Καλό βράδυ.

      Διαγραφή
  2. Τα αντίστοιχα βιώνω και εγώ στη Φυσική..ειδικά αυτό με τα αυγά μου άρεσε πολύ. Προσπαθώ πολύ να καταλάβουν τα παιδιά πως ΟΛΑ τα μεγέθη στη φύση-και όχι μόνο στη Φυσική- έχουν μονάδα μέτρησης και όχι μόνο μια τιμή. Δεν είναι καθόλου αυτονόητο όμως..Διαπιστώνω επίσης καθημερινά το πολύ κακό επίπεδο σε απλές αριθμητικές πράξεις, κυρίως στη διαίρεση. Σήμερα ζήτησα να βρούν τον μέσο όρο τριών αριθμών: 30,02 30,1 και 29,91. Επίτηδες επέλεξα αριθμούς με διαφορετικό αριθμό δεκαδικών. Κάποιοι αντέγραψαν από τον πίνακα λάθος τους αριθμούς, πολλοί δεν έγραψαν κατακόρυφα σωστά τα νούμερα και έκαναν λάθος την πρόσθεση. από όσους βρήκαν σωστό το άθροισμα, ορισμένοι έκαναν λάθος στη διαίρεση..Τελικά τον σωστό μέσο όρο τον βρήκαν 8/20. Το αναμενόμενο ποοστό..Με πιάνει κι εμένα απελπισία, δεν ξέρω τι φταίει, ίσως η υπερβολική ενασχόληση με τους υπολογιστές, η μειωμένη επαφή με το χαρτί και το μολύβι..Υπάρχει και η εύκολη αντίρηση: αφού μπορούμε να κάνουμε πράξεις με το κινητό, γιατί να τα κάνουμε μόνοι μας?? εγώ τους απαντώ πως πρέπει να μάθουν να κάνουν πράξεις ώστε αργότερα να μην τους κλέβουν οι εργοδότες τους!!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλή σου μέρα, Απόστολε!
      Η μοιρασμένη απελπισία, είναι σαν τη μοιρασμένη λύπη... Μειώνεται! :)
      Σε ποια τάξη ζήτησες να βρεις τον μέσο όρο;

      Ένα δυσεπίλυτο πρόβλημα είναι η ασυμφωνία και ανακολουθία της ύλης των Μαθηματικών και των Φυσικών Επιστημών στα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών.

      Διαγραφή
  3. Κατερίνα εξαιρετική η προσέγγισή σου στο θέμα της αναγωγής ομοίων όρων στη β΄ γυμνασίου. Προσωπικά πιστεύω ότι οι μαθητές βάζοντας μαζί τους όμοιους όρους
    Π.χ. 2x+3x-7x=(2+3-7)x ,εύκολα μπορείς να τους δόσεις να καταλάβουν ότι το άθροισμα των όμοιων όρων προκύπτει με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας: αβ+αγ+αδ=α(β+γ+δ) κλπ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Βασίλη, καλή σου μέρα!
      Ναι, μερικά παιδιά το κάνουν αποκλειστικά και μόνο με αυτόν τον τρόπο. Δεν καταλαβαίνω, ωστόσο, αν το κάνουν μηχανικά ή κατανοούν τον κανόνα πίσω από τη διαδικασία.
      Δυστυχώς δεν έχουμε όσο χρόνο θα έπρεπε να συζητάμε το κάθετι με το κάθε παιδί. Χθες, όταν επέστρεψα τα γραπτά και αφιέρωσα χρόνο να ακούσω, για ποιο λόγο έκαναν αυτό που είχαν κάνει, αποκαλύφτηκαν διάφορες απίθανες παρανοήσεις.

      Καλή χρονιά.

      Διαγραφή