ΆπειρΟ. Τα μαθηματικά της αθανασίας.

  Ο Μάρτιος έφερε την Άνοιξη κι αυτή, μέρα τη μέρα, πρασίνισε τον τόπο. Προ ολίγου το κατάλαβα, όταν σήκωσα το βλέμμα από το βιβλίο μου, έκανα  με τα μάτια μια στροφή 43 μοιρών κι αντίκρισα μιαν ανθισμένη αμυγδαλιά, πενήντα εξήντα μέτρα απ' το παράθυρό μου. Απόρησα! Δεν γίνεται να φούντωσε έτσι μέσα σε μια ώρα ολόκληρο το δένδρο! Σιγά σιγά θα μεταλλάχθηκε, αλλά εγώ ούτε που αντιλήφθηκα ότι από ξερόδεντρο ξανάγινε νυφούλα! Και πώς να το αντιληφθώ; Δυο μήνες τώρα δεν σήκωσα κεφάλι. 

Μια οι εργασίες του μεταπτυχιακού, μια το πρόγραμμα για τα project, μια οι παράλληλες δραστηριότητες... Μια τα συλλαλητήρια και οι πορείες. Και φυσικά κάθε μέρα ανελλιπώς ο προγραμματισμός των σχολικών μαθημάτων. Πού να βρεθεί  χρόνος για να χαρώ  τον ερχομό της Άνοιξης, παρατηρώντας τα κλαδιά των δένδρων που φουντώνουν γύρω τριγύρω σε μια τόσο μικρή ακτίνα από το σπίτι μου; Από την άλλη βέβαια,  όταν οι υποχρεώσεις μου επιτρέπουν, που και που, να πάρω μιαν ανάσα, αντί να βγω έξω να μυρίσω την Άνοιξη, σπεύδω να αρπάξω κάποιο από τα βιβλία που περιμένουν στη ντάνα αδιάβαστα, να το μυρίσω, να το διαβάσω βιαστικά, να το ξεφυλλίσω, να κάνω τα φύλλα του να φτεροκοπήσουν μπροστά στα μούτρα μου, σαν λευκά πουλιά που 'ρχονται από μακριά, τιτιβίζοντας  ελπίδες και υποσχέσεις...
Έτσι έκανα και σήμερα, λίγο πριν σηκώσω το βλέμμα μου κι αντικρίσω την φουντωμένη αμυγδαλιά,  αυτήν της  παραπάνω φωτογραφίας :)

Είχα πάρει στα χέρια μου το βιβλίο του John D. Barrow, "'ΑπειρΟ Τα μαθηματικά της αθανασίας" και διάβαζα ανάκατα τα κεφάλαια. Είχα απορροφηθεί και δεν θα σήκωνα κεφάλι, αν δεν έφτανα στη σελίδα 103 όπου διάβασα για τον μεγάλο μου έρωτα, τον Bernhard Bolzano, (1781-1848), για τον οποίον έχω ξαναγράψει παλιότερα εδώ.
Αντιγράφω ένα μικρό απόσπασμα από όσα διάβασα:

"Ο Bernhard Bolzano άρχισε να μελετά τα παράδοξα του απείρου το 1847, στα 67 του χρόνια. Κατά τον Bolzano όλα τα άπειρα ήταν ίσα. Ο απλούστερος τρόπος να καταλάβουμε πώς κατέληξε σε αυτό το συμπέρασμα είναι να εξετάσουμε ένα άλλο από τα "παράδοξα", που ο Γαλιλαίος και οι μαθηματικοί του Μεσαίωνα επικαλούνταν συχνά, όταν ήθελαν να αμφισβητήσουν το λογικό υπόβαθρο της έννοιας του απείρου. Πάρτε ένα κομμάτι κλωστή και σχηματίστε ένα ημικύκλιο με διάμετρο ενός μέτρου. Φανταστείτε τώρα ότι κάτω από το ημικύκλιο παράλληλα προς τη διάμετρό του, περνάει μια άπειρη ευθεία γραμμή (βλ. Εικόνα 4.7). Όλες οι δυνατές ευθείες που ενώνουν το κέντρο του ημικυκλίου με την άπειρη ευθεία, θα τέμνουν το ημικύκλιο σε κάποιο σημείο της περιφέρειάς του. Το εκπληκτικό είναι ότι, όπως φαίνεται και στην Εικόνα 4.7, υπάρχει μια ευθεία που συνδέει κάθε σημείο της περιφέρειας του ημικυκλίου με ένα, και μόνο ένα, σημείο της άπειρης ευθείας. Επομένως, τα σημεία που συγκροτούν την περιφέρεια του ημικυκλίου πρέπει να είναι ισάριθμα με τα σημεία που αποτελούν την άπειρη ευθεία. Έστω, τώρα, ότι σχεδιάζουμε κι άλλα ημικύκλια, με το ίδιο κέντρο αλλά με μικρότερες ακτίνες. Το σύνολο όλων των ευθειών που μπορούν να χαραχτούν από το κέντρο θα διέρχονται από κάθε σημείο της περιφέρειας όλων των κύκλων και η καθεμιά ευθεία θα βρίσκεται σε αντιστοιχία με κάθε σημείο της περιφέρειας κάθε άλλου κύκλου. Επομένως, όλοι αυτοί οι κύκλοι περιέχουν στις περιφέρειες τους άπειρα σημεία και τα σημεία αυτά είναι ισάριθμα."

Κάπως δύσκολο; Ο.K.! Παραθέτω την εικόνα 4.7, την οποία έφτιαξα  με χρήση GeoGebra, για να διαφωτίσω όσους μπερδεύτηκαν, και μαζί με την εικόνα παραθέτω και την υποσημείωση που τη συνοδεύει στο βιβλίο και καθιστά απολύτως κατανοητή τη διαδικασία με την οποία η άπειρη ευθεία έρχεται σε ένα -προς - ένα αντιστοιχία με ένα πεπερασμένο ευθύγραμμο τμήμα μήκους μόλις μιας μονάδας!!!

Εικόνα 4.7 Η ένα-προς-ένα αντιστοιχία ανάμεσα σε μια ευθεία μήκους μίας μονάδας που εκτείνεται οριζόντια από το 0 ως το 1, και σε ολόκληρη την άπειρη ευθεία από το πλην άπειρο (αριστερά) ως το συν άπειρο (δεξιά). Διαλέξτε ένα οποιοδήποτε σημείο της ευθείας που συνδέει το πλην άπειρο με το συν άπειρο. Στη συνέχεια χαράξτε μια ευθεία που να ενώνει αυτό το σημείο με το κέντρο του ημικυκλίου. Από το σημείο όπου η ευθεία αυτή τέμνει το ημικύκλιο, σχεδιάστε μια κατακόρυφη διακεκομμένη γραμμή προς ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος μεταξύ 0 και 1. Μέσω αυτής της διαδικασίας, βλέπουμε πως κάθε σημείο της αρχικής άπειρου μήκους ευθείας καταλήγει σε ένα σημείο του πεπερασμένου ευθύγραμμου τμήματος από το 0 ως το 1. (Σελ. 106)

Φανταστικό, σωστά; Με μια απλή κίνηση, μια κίνηση που μοιάζει με αναδίπλωση, κάθε σημείο της άπειρης ευθείας "ζευγαρώνει" με ένα μόνο σημείο του ημικυκλίου κι αυτό το σημείο στη συνέχεια "πέφτει" ευλαβικά, σαν σταγόνα βροχής, μέσα στο διάστημα που οριοθετείται από το μηδέν και το ένα, για να βρει εκεί την εικόνα του σε ένα άλλο μοναδικό σημείο...
Πόσο ερωτικό και πόσο ανοιξιάτικο συνάμα! Όταν πρωτοδιάβασα, μερικά χρόνια πριν, αυτή την τολμηρή και ερωτική αναδίπλωση του απείρου στο πεπερασμένο, όπως την είχε περιγράψει ο Bolzano, ένιωσα μιαν απέραντη ευγνωμοσύνη γι' αυτόν. Η φράση "Ας το αποδεχτούμε κι ας προχωρήσουμε" του Bolzano άνοιξε το δρόμο, ρίχνοντας τον τοίχο που όρθωνε το άπειρο με τα παράδοξά του  στον Γαλιλαίο και τους άλλους μαθηματικούς του Μεσαίωνα. Μια απλή παραδοχή ήταν αρκετή για νέες κατακτήσεις...Και παρόλο που ο Cantor αργότερα, με ένα ωραίο παράδειγμα, απέδειξε πως τελικά τα άπειρα δεν είναι όλα ίσα (και όμοια), ο Bolzano παραμένει για μένα ο πιο αγαπημένος ήρωας του μαθηματικού μου κόσμου, για πολλούς και διάφορους λόγους, κυρίως όμως επειδή ήταν πάντα τολμηρός, θαρραλέος και κοινωνικά δίκαιος... Γι' αυτό κάθε φορά που διαβάζω κάτι σχετικά με τον Bernhard Bolzano, νιώθω την ανάγκη να ονειροπολήσω, να συλλογιστώ, να ελπίσω, και τότε σηκώνω το βλέμμα από το ανάγνωσμα και το περιφέρω έξω από το παράθυρο, στον γαλάζιο ή στον γκρίζο ουρανό, ανάλογα με τον καιρό..
Κάπως έτσι και σήμερα, διαβάζοντας το βιβλίο του Barrow, ένιωσα την ελπίδα να φουντώνει μέσα μου και τότε, σηκώνοντας το βλέμμα, είδα την ανθισμένη αμυγδαλιά, κι είδα τον ερχομό της Άνοιξης, είδα την αναγέννηση και νόμισα πως αφουγκράστηκα την ... μπουμπουκιασμένη αθανασία, αυτήν που κρύβουν μέσα τους τα ...  Μαθηματικά του απείρου και της φαντασίας μου :)

----------------------------------------------------------------------------------------
Συμπληρωματικά παραθέτω μιαν άλλη εκδοχή της ΕΙΚΟΝΑΣ 4.7, της σελίδας 106, η οποία είναι πιο κοντά στην περιγραφή της υποσημείωσης, με την έννοια πως παίρνει ένα σημείο Κ της άπειρης ευθείας, το ενώνει με το κέντρο Ο του ημικυκλίου και οριζέται έτσι το σημείο Ρ, ως σημείο τομής του ΚΟ με το ημικύκλιο. Στη συνέχεια το Ρ προβάλλεται στο Η, το οποίο βρίσκεται -πάντα υπό περιορισμό :)-,  ανάμεσα στο 0 και στο 1...

5η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΒΔΟΜΑΔΑ, Θεσσαλονίκη 27 με 31 Μαρτίου

Δείτε το πρόγραμμα της 5ης Μαθηματικής Εβδομάδας εδώ
Επιλέξτε τις συνεδρίες και τα σεμινάρια που θέλετε να παρακολουθήσετε.
Κάντε την εγγραφή σας στη σελίδα του Παραρτήματος ΕΜΕ, Κεντρικής Μακεδονίας εδώ

Προγραμματίστε εκπαιδευτικές επισκέψεις με τα σχολεία σας, για να παρακολουθήσουν οι μαθητές σας τις παράλληλες δραστηριότητες, που είναι σχεδιασμένες ειδικά για τα σχολεία.
Δείτε στο τελευταίο μέρος του προγράμματος τις παράλληλες μαθητικές δραστηριότητες.
Μεταξύ των άλλων, οι μαθητές σας θα έχουν την ευκαιρία να παρακολουθήσουν άλλους μαθητές
που θα παρουσιάσουν τις ερευνητικές τους εργασίες, εν είδει Μαθητικού Συνεδρίου.

Στείλτε μήνυμα στο kalfokat@gmail.com, για να δηλώσετε την επίσκεψη του σχολείου σας στην 5η Μαθηματική Εβδομάδα.
Έχουν απομείνει λίγες θέσεις και τηρείται σειρά προτεραιότητας.

Μην χάσετε, το βράδυ του Σαββάτου το στρογγυλό τραπέζι με θέμα "Ερευνητικές Εργασίες-Project", με ομιλητές τους:
Κατερίνα Καλφοπούλου, Γιάννη Θωμαΐδη, Ανδρέα Λύκο, Χατζηχρίστου Χρυσούλα.

Οι Κατερίνα Καλφοπούλου και  Ανδρέας Λύκος, εκπροσωπώντας την ομάδα Θαλής+Φίλοι, θα κάνουν προτάσεις για την οργάνωση Ερευνητικών Εργασιών με χρήση λογοτεχνικών βιβλίων ή βιβλίων εκλαϊκευμένης επιστήμης, στα πρότυπα λειτουργίας των Λεσχών Ανάγνωσης της ομάδας Θαλής+Φίλοι, όπου διαθέτουν πολύχρονη εμπειρία.
Κατά τη διάρκεια της συζήτησης με το κοινό θα κληρωθούν πολλά βιβλία, τα οποία αποτελούν πολύτιμες πηγές για μαθηματικές και όχι μόνο ερευνητικές εργασίες, όπως: 

• "Τα Πυθαγόρεια Εγκλήματα", του Τεύκρου Μιχαηλίδη από τις εκδόσεις Πόλις, 
• "Επιστολές σε μια νεαρή μαθηματικό", του Ian Stewart, από τις εκδόσεις Τραυλός 
• "Το μέτρο του κόσμου", του Denis Guedj, από τις εκδόσεις Τραυλός κ.ά.

ΣΑΣ ΠΕΡΙΜΕΝΟΥΜΕ ΟΛΟΥΣ ΣΤΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 

27 με 31 Μαρτίου, στη Διεθνή Έκθεση Θεσσαλονίκης, 

στο Συνεδριακό Κέντρο Νικόλαος Γερμανός.

Η εγγραφή στο Συνέδριο και η παρακολούθηση των εισηγήσεων είναι ΔΩΡΕΑΝ.
(αντιθέτως η παρακολούθηση των ειδικών σεμιναρίων από εκπαιδευτικούς έχει κόστος 15 ευρώ)

 

ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΜΕΛΕΤΟΥΝ, ΑΛΛΑ ΔΕΝ ΚΑΤΑΝΟΟΥΝ

Τα παιδιά μελετούν, αλλά δεν κατανοούν

Tης Βασιλικης Χρυσοστομιδου

«Πολλές φορές διαβάζω και δεν καταλαβαίνω, όχι μόνο τους αρχαίους αλλά και αυτούς που είναι κάτι σαν… αρχαίοι – Καβάφη, Παπαδιαμάντη» (Ελευθερία, Γ΄ Λυκείου). «Oταν τα κείμενα είναι αρχαία με νέα ελληνικά μαζί, μου φαίνονται πολύ περίεργα. Δυσκολεύομαι να καταλάβω, θέλει πολλή ανάλυση. Θυμάμαι τον “Κρητικό” (σ.σ. Διον. Σολωμός), είδα κι έπαθα να βγάλω άκρη. Εκτός σχολείου, δε μ’ αρέσει να διαβάζω». (Βασίλης, Γ΄ Λυκείου). «Εξαιρώντας τα μαθήματα που μ’ ενδιαφέρουν για τις Πανελλήνιες, θα χρειαστώ περισσότερο χρόνο να κατανοήσω ένα κείμενο». (Δημήτρης, Β΄ Λυκείου).«Δυσκολεύομαι να γράψω. Δεν έχω ιδέες ή όταν έχω, δεν μπορώ να τις αναπτύξω. Εκθεση, πάω φροντιστήριο, μαθαίνω “πακέτα λέξεων”, τα γράφω. Αλλα βιβλία, ποτέ – μόνο Χάρυ Πόττερ παλιότερα. Προτιμώ ταινίες». (Σταύρος, Β΄ Λυκείου).
«Καταλαβαίνουν τα παιδιά όταν μελετούν;», το ερώτημα που θέσαμε σε εκπαιδευτικούς:
«Οχι! Κατηγορηματικά όχι!», θα πει χωρίς δεύτερη σκέψη η κ. Ευαγγελία Ρίζου, φιλόλογος και λυκειάρχης. Την άποψή της συμμερίζονται οι συνάδελφοί της φιλόλογοι, κ. Καίτη Σερέτη και Ευγενία Λέκκα, με πολυετή εμπειρία στις τρεις τάξεις του λυκείου. «Αρνητικά μπροστά στο συνεχές κείμενο τα παιδιά μας. Βαριούνται και φοβούνται. Η λεξιπενία ιδιαίτερα αισθητή, ενώ πρόβλημα υπάρχει τόσο στην κατανόηση, όσο και στις γνώσεις και την ορθογραφία», «χαρτογραφεί» την κατάσταση η λυκειάρχης. «Ο,τι έχει ιδιώματα ή πιο “υψηλό” λόγο το απορρίπτουν. Τους έδωσα τη “Χωματερή της Πληροφόρησης” του Γιανναρά για επεξεργασία και περίληψη στο σπίτι. Μόνο πέντε παιδιά το έφεραν. Για τους υπόλοιπους, εξαιρετικά δύσκολο. Οσο για “μαργαριτάρια”; Δεν τα προλαβαίνω. “Ο ήλιος βασιλεύει”, διαβάσαμε. “Τι ώρα της μέρας είναι”; ρωτάω. “Μεσημέρι”, “Γιατί;”, “Επειδή ο ήλιος είναι ψηλά, σα βασιλιάς”, η απάντηση μαθητών λυκείου!», σταχυολογεί στιγμιότυπα η κ. Σερέτη.
«Το επίπεδο εγγραμματισμού διαρκώς πέφτει στην Ελλάδα», σχολιάζει η κ. Λέκκα. «Οι ίδιοι κατεβάσαμε τον πήχυ, απολαμβάνουμε την παιδεία που θέλουμε. Δεν ζητάμε πλέον δοκίμια από τα παιδιά, περιοριζόμαστε σε “πρακτικά” κείμενα, όπως επιστολές». «Η ανεπάρκεια στον λόγο δεν αποτελεί δική μας αποκλειστικότητα», προσθέτει η κ. Σερέτη: «Στο βιβλίο της Νατάσας Μπολονή “Τα χαμένα παιδιά” περιγράφεται αντίστοιχη κατάσταση στα δημόσια γαλλικά σχολεία, όπου μάλιστα καταργήθηκε η συγγραφή δοκιμίου, εξαιτίας της δυσκολίας των παιδιών να ανταποκριθούν».
Τι φταίει Πού αποδίδουν οι ειδικοί το πρόβλημα; «Ισως φταίει η εικόνα, στην οποία έχουν εθιστεί τα παιδιά μας», αποφαίνεται η λυκειάρχης. «Εξοικειωμένα με το επιφανειακό, το Διαδίκτυο καθώς και τα greekglish, τον γρήγορο ρυθμό ζωής, αδυνατούν να επεξεργαστούν ένα κείμενο, να αποκωδικοποιήσουν τα μηνύματα. Επιπλέον, δεν είναι μυημένα στη λογοτεχνία – συνήθως το ίδιο το περιβάλλον τους δεν ευνοεί τη φιλαναγνωσία». «Ούτε εφημερίδα δεν διαβάζουν τα παιδιά μας, πράγμα που αποτυπώνεται και στο γράψιμό τους», ομονοεί η κ. Λέκκα. «Το πρόβλημα επιδεινώνεται από τον μεγάλο όγκο της ύλης, ο οποίος είναι αντιστρόφως ανάλογος με τον διαθέσιμο χρόνο. Αποτέλεσμα; Οι μαθητές να προσπερνούν τα κείμενα. Η αφομοίωση και η απομνημόνευση είναι οι δύο αντίπαλες δυνάμεις, με τη δεύτερη να υπερισχύει. Η αγωγή του μαθητή, που αποτελεί τον κατ’ εξοχήν ρόλο της εκπαιδευτικής διαδικασίας, παραγκωνίζεται. Οι διάφοροι πειραματισμοί στην εκπαίδευση, η απουσία συνέχειας, ευθύνονται εξίσου για τη φθίνουσα πορεία του εγγραμματισμού».
Σύμφωνα με την κ. Ρίζου, «ο καθηγητής πρέπει να δώσει κίνητρα στα παιδιά να αγαπήσουν τον λόγο, να τα μυήσει στο μεγαλείο της ελληνικής γλώσσας. Στη συνηθισμένη απορία τους “γιατί μαθαίνουμε αρχαία αφού δεν τα χρησιμοποιούμε;”, οφείλει να εστιάσει στο γεγονός ότι τη γλώσσα, εκτός της συγχρονικής της διάστασης, πρέπει να την κατακτάς στη διαχρονική της πορεία. Αντίθετα, μπαίνει σήμερα ο φιλόλογος, διδάσκει ένα “λύω” και τέλος. Δυστυχώς, έχουμε γίνει γρανάζια ενός μηχανισμού χωρίς ουσία, με απόλυτο προσανατολισμό τις Πανελλαδικές, ένα μάθημα που γίνεται διεκπεραιωτικά, ενώ τα ίδια τα παιδιά μετατρέπονται σε άλογα κούρσας».
Ο ρόλος του σχολείου, αλλά και των γονέων «Οχι μόνο όταν διαβάζουν Παπαδιαμάντη αλλά και όταν μελετούν ένα κεφάλαιο Φυσικών Επιστημών, Ιστορίας ή Γεωγραφίας, τα σημερινά παιδιά συχνά αντιμετωπίζουν τον σχολικό λόγο σαν «ξένη γλώσσα"», επισημαίνει ο κ. Ηλίας Ματσαγγούρας, καθηγητής Διδακτικής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών.
«Η ικανότητα του μαθητή να διαβάζει, να κατανοεί και να συνθέτει κείμενα διαφορετικού είδους, η έννοια δηλαδή του εγγραμματισμού στη σχολική κοινότητα, δεν έχει κατακτηθεί από την πλειοψηφία των παιδιών. Αυτό δεν είναι μόνο απόρροια του δύσκολου λεξιλογίου αλλά και της εσωτερικής δομής και διάρθρωσης του κειμένου». Γιατί; «Οσο απομακρυνόμαστε από τον αφηγηματικό λόγο και εισάγεται στα σχολικά εγχειρίδια ο επιστημονικός –έστω απλοποιημένος– δυσχεραίνει η προσπάθεια προσπέλασης. Τα παιδιά μας δεν υστερούν σε νοημοσύνη. Καλούνται όμως να διαχειριστούν την ύλη βιβλίων, κατά κανόνα ένα με δύο χρόνια πάνω από την ηλικία του μέσου μαθητή ενώ ο διαθέσιμος χρόνος αποτελεί πλέον αγαθό σε ανεπάρκεια. Αντί για την κάλυψη της ύλης, ας εστιάσουμε στην ικανότητα του παιδιού να κατανοεί τις ερωτήσεις, να δίνει απαντήσεις, αλλά και να διατυπώνει το ίδιο ερωτήσεις. Να επεξεργάζεται με αυτονομία τα δεδομένα του, να αντιλαμβάνεται τις μεταξύ τους σχέσεις. Η σταδιακή προσαρμογή του μαθητή σε όσο γίνεται περισσότερα και διαφορετικών ειδών κείμενα, μέσα από μία διαδρομή διαβαθμισμένης δυσκολίας και σύγχρονης διδακτικής προσέγγισης, υποστηρίζει τον στόχο».
Σε ό,τι αφορά τους εκπαιδευτικούς, ο κ. Ματσαγγούρας επισημαίνει: «Ενώ το να κατέχουν το αντικείμενο των σπουδών τους είναι προϋπόθεση εκ των ων ουκ άνευ, από μόνη της δεν φτάνει. Αποτέλεσμα, όταν αποφοιτούν, να μην είναι έτοιμοι να διδάξουν. Απαραίτητη λοιπόν εδώ η βελτίωση καθώς και η συνεχής επιμόρφωσή τους αργότερα». Επιπλέον, ο μέχρι τώρα «πυροσβεστικός» ρόλος αντιμετώπισης των προβλημάτων πρέπει να εγκαταλειφθεί. «Αναγκαίος ο μεσο- και μακροπρόθεσμος προγραμματισμός, εγγύηση για συνοχή και συνέχεια στο βάθος όλης της σχολικής ζωής, επιτρέποντας παράλληλα πειραματισμούς, στο πλαίσιο των προκλήσεων της κάθε εποχής».
Ο ρόλος των γονέων Την προαγωγή της γνώσης οφείλουν να υποστηρίξουν και οι γονείς. Πώς; «Μιλώντας από την αρχή στο παιδί επεξηγηματικά, ερμηνευτικά και σχολιαστικά, όχι μόνο καθοδηγητικά. Εμπλεκόμενοι στην εκπαιδευτική διαδικασία. Εκθέτοντάς το σε προσλαμβάνουσες, ανάλογες με την ηλικία του».

Δημοσίευση : 23-02-13
http://news.kathimerini.gr/4dcgi/_w_articles_ell_1_23/02/2013_512183
----------------------------------------------------------------------------------------------

Blod | Μιχαηλίδης Τεύκρος | Η έννοια του ωραίου στα Μαθηματικά και την Τέχνη

Blod | Μιχαηλίδης Τεύκρος | Η έννοια του ωραίου στα Μαθηματικά και την Τέχνη

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΜΕΤΟΙΚΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

 

ΣΑΣ ΠΕΡΙΜΕΝΟΥΜΕ ΟΛΟΥΣ

ΚΑΛΟ ΚΟΥΡΑΓΙΟ!!

"Καλό κουράγιο!" είπα πριν μια βδομάδα στο φίλο μου Δ.Χ., κλείνοντας την έντονη και γεμάτη διαφωνίες συζήτηση που είχαμε γύρω από τα αίτια της οικονομικής και ανθρωπιστικής κρίσης που βιώνουμε. "Το κουράγιο είναι συναίσθημα! Για να βγούμε από την κρίση πρέπει να λειτουργήσουμε βάσει λογικής", μου αντιγύρισε. Εννοείται πως τελικά η συζήτηση  δεν έκλεισε, επειδή θεώρησα πως πρέπει να αναπτύξω τις απόψεις μου για το ρόλο που παίζουν τα συναισθήματα στον τρόπο που ο καθένας από μας αντιμετωπίζει την κρίση κι έτσι συνεχίσαμε και συνεχίζουμε τις διαφωνίες μας που γίνονται, για μένα τουλάχιστον, αφορμή προβληματισμών και συνεχών αναζητήσεων.

Χθες βράδυ, θυμήθηκα την κουβέντα περί συναισθημάτων με αφορμή ένα βιβλίο από τη σειρά THE SCOOL OF LIFE, των εκδόσεων ΠΑΤΑΚΗ. Συγκεκριμένα διάβαζα το βιβλίο της Phillipa Perry, "πώς να διατηρήσουμε την ψυχική μας ισορροπία". Η Perry, ως ψυχοθεραπεύτρια δημοσιεύει άρθρα στις εφημερίδες Guardian και Observer, και στα περιοδικά Time Out και Helthy Living. Στο βιβλίο της αυτό προσεγγίζει το θέμα επηρεασμένη από τον τρόπο που οι νευροεπιστήμονες εξηγούν τη λειτουργία του εγκεφάλου. 

Σε μια εκτενή - πλην απαραίτητη για την τεκμηρίωση των απόψεών της - εισαγωγή η συγγραφέας περιγράφει αναλυτικά τη διακριτή λειτουργία του δεξιού και του αριστερού λοβού του εγκεφάλου. Το δεξιό μέρος το οποίο τίθεται σε λειτουργία από τη γέννησή μας είναι αυτό που ευθύνεται για τον συναισθηματικό μας κόσμο κι αυτό που διαμορφώνει τον χαρακτήρα και την προσωπικότητά μας, καταγράφοντας τα συναισθηματικά βιώματα των δύο πρώτων χρόνων της ζωής μας, τα οποία μας "σημαδεύουν", ως γνωστόν, εφ' όρου  ζωής. Το δε αριστερό μέρος τίθεται σε λειτουργία όταν συμπληρώσουμε την ηλικία των δύο χρόνων και είναι αυτό που ευθύνεται για τις λεκτικές και υπολογιστικές μας δεξιότητες, καθώς και για κάθε άλλη λογική-αναλυτική διαδικασία που εκτελούμε. Θα περίμενε, ίσως, κανείς πως μετά το δεύτερο χρόνο της ζωής μας το αριστερό μέρος του εγκεφάλου θα ήταν αυτό που θα αναλάμβανε την, ας την πούμε, διακυβέρνηση του είναι μας, αλλά μια τέτοια δοξασία είναι αναληθής, σύμφωνα με όσα γράφει η Perry στη σελίδα 37 του βιβλίου της, επειδή:

"Ακόμη και όταν ο αριστερός μας εγκέφαλος έχει αναπτυχθεί για να μας δώσει την ικανότητα της γλώσσας και της λογικής, των λογικών συνειρμών και της μαθηματικής σκέψης, ο θηλαστικός δεξής μας εγκέφαλος εξακολουθεί να μας κυβερνά. Όπως αποδεικνύεται, είμαστε ανίκανοι να πάρουμε αποφάσεις δίχως να υπολογίσουμε τα συναισθήματά μας. Ο νευρολόγος Antonio Damasio είχε έναν ασθενή με το όνομα Έλλιοτ, ο οποίος έπειτα από μια εγχείριση αφαίρεσης όγκου στον εγκέφαλο, δεν μπορούσε πλέον να νιώσει συναισθήματα. Ο δείκτης IQ του παρέμεινε σε εξαιρετικό επίπεδο, όμως δεν ένιωθε κανένα συναίσθημα, ακόμη και όταν του έδειχναν φριχτές φωτογραφίες ανθρώπινης εξαθλίωσης. Θα μπορούσαμε να υποθέσουμε πως ο Έλλιοτ, εφόσον η λογική του ικανότητα είχε παραμείνει άθικτη, θα μπορούσε ακόμη να αποφασίσει πού να πάει για φαγητό ή πού να επενδύσει τα χρήματά του, εντούτοις ήταν ανίκανος να πάρει τέτοιες αποφάσεις. Μπορούσε να φανταστεί τα πιθανά επακόλουθα των επιλογών του, μπορούσε να ζυγίσει με ηρεμία τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους, όμως δεν μπορούσε να πάρει μια απόφαση. Ο Damasio έγραψε  τα συμπεράσματά του από την περίπτωση του Έλλιοτ και από άλλες παρόμοιες περιπτώσεις ασθενών στο βιβλίο του Το Λάθος του Καρτέσιου. Συγκίνηση, Λογική & Ανθρώπινος Εγκέφαλος. Το βιβλίο αυτό κατέληγε στο συμπέρασμα πως, σε αντίθεση με τις προσδοκίες μας, η έλλειψη συναισθημάτων δεν οδηγεί σε λογικές, σταθμισμένες επιλογές, αλλά σε χάος. Αυτό συμβαίνει διότι βασιζόμαστε στα συναισθήματά μας για να πορευτούμε στη ζωή. Κι αυτό ισχύει ανεξάρτητα με το αν συνειδητοποιούμε ή όχι αυτό που αισθανόμαστε."

Επομένως, σύμφωνα με τα λεγόμενα του Damasio και της Perry,  είναι πρακτικά αδύνατο να πάρουμε "σωστές" αποφάσεις, για να βγούμε από την κρίση στην οποία έχουμε περιέλθει ως λαός, αλλά και ο καθένας μας ατομικά, αν δεν λάβουμε σοβαρά υπόψιν τα συναισθήματά μας. Πόσο μάλλον που αυτά τα συναισθήματα είναι που, κατά κύριο λόγο, διαμορφώνουν τα κίνητρά μας, τα οποία συχνά "εκλογικεύονται" από μας σε μια a posteriori προσπάθεια αιτιολόγησης  ή και δικαιολόγησης των συμπεριφορών μας, οπότε οφείλουμε να τα γνωρίζουμε και να τα κατανοούμε, κάτι που  ούτε εύκολο  ούτε αυτονόητο είναι. Η Perry γράφει σχετικά:

"Για να κατανοήσουμε καλύτερα τα κίνητρά μας, θα ήταν χρήσιμο να αφιερώσουμε περισσότερο χρόνο στα συναισθήματά μας, κι εκεί είναι που παίρνει τα ηνία η αυτοπαρατήρηση. Δεν θα μπορέσουμε να κατανοήσουμε όλα τα συναισθήματα που νιώθουμε, και δεν πρέπει να αγκιστρωθούμε από τις αιτίες που σπεύδουμε να προβάλουμε - κάποιες από τις αιτίες αυτές μπορεί να λειτουργούν απλά για να καθησυχάσουμε τον εαυτό μας ή να δικαιολογήσουμε αυτό που ήδη έχει αποφασίσει ο δεξής μας εγκέφαλος. Αντ' αυτού, μπορούμε να είμαστε πιο ανεκτικοί σε ένα αίσθημα αβεβαιότητας, να καλλιεργήσουμε την περιέργειά μας και να συνεχίσουμε να μαθαίνουμε. Όταν καταλήγουμε πρώιμα σε συμπεράσματα για κάτι, κινδυνεύουμε να εμποδίσουμε τον εαυτό μας από το να μάθει κάτι περισσότερο από αυτό. Δεν ισχυρίζομαι πως πρέπει να διστάζουμε να παίρνουμε αποφάσεις που αφορούν την καθημερινότητα μας, αλλά πως είναι χρήσιμο να επανεξετάζουμε πού και πού τη γνώμη μας και τις πεποιθήσεις μας. Όπως πρότεινε και ο ψυχαναλυτής Peter Lomas: "Μην κρεμιέστε από αυτό που πιστεύετε". Η βεβαιότητα δεν εξασφαλίζει την ψυχική υγεία, παρόλο που συχνά μπερδεύουμε τη μία με την άλλη."

Το αίσθημα αβεβαιότητας απέναντι στο οποίο η Phellipa Perry προτείνει να είμαστε πιο ανεκτικοί, θεωρώ πως είναι απαραίτητο σε όποιον θέλει  να αναζητά συνεχώς την αλήθεια του πράγματος. Είναι απαραίτητο σε αυτόν που διακατέχεται από περιέργεια, που θέλει συνεχώς να μαθαίνει και που δεν παύει ποτέ να διερευνά. Αν πάψει να υπάρχει αυτό το αίσθημα αβεβαιότητας, τότε η απόλυτη βεβαιότητα θα καταλάβει αυτομάτως τη θέση του. Αλλά η απόλυτη βεβαιότητα οδηγεί, με μαθηματική ακρίβεια, σε  "there is not alternative" μονόδρομους, με ό,τι αυτό συνεπάγεται (ή με ό,τι υπονοεί). Όμως αν η μόνη μας επιλογή είναι να αποδεχτούμε πως δεν έχουμε καμία επιλογή, τότε δεν μας έχει απομείνει απολύτως τίποτα ή - ακόμη χειρότερα - μας έχει απομείνει σφιχτοδεμένη στο λαιμό η θηλιά της βεβαιότητας που μας έπνιξε. Οπότε, τι άλλο απομένει να μας πει κανείς, πάρεξ καλό  κουράγιο!

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗΝ ΕΤΙΚΕΤΑ... :)

   Υπάρχουν άνθρωποι, όπως ο φίλος μου ο Δ.Χ., οι οποίοι ακούγοντας τη λέξη "ετικέτα" ή "ταμπέλα" ή άλλες τέτοιες λέξεις συναφείς, σπεύδουν να τις αποδώσουν αποκλειστικά αρνητική χροιά, θεωρώντας πως η χρήση τους, όχι ίσως των λέξεων αυτών καθεαυτών, αλλά των αντικειμένων που αυτές σηματοδοτούν, δημιουργεί κοινωνικές έριδες και ατομικές προκαταλήψεις. Πιθανόν να έχουν, εν μέρει, δίκαιο. Δεν πρέπει όμως να ξεχνάμε ότι είμαστε εμείς αυτοί που  κατασκευάζουν τις λέξεις και, κατά συνέπεια, είμαστε αυτοί που τις σηματοδοτούν, αφού τις χρησιμοποιούμε ως εργαλεία του λόγου προκειμένου να επικοινωνήσουμε, να λειτουργήσουμε και να (συν)υπάρξουμε είτε σε ατομικό είτε σε διατομικό, είτε σε κοινωνικό πλαίσιο. 

   Από την άλλη πλευρά, υπάρχουν άνθρωποι σαν κι εμένα, που ισχυρίζονται ότι η χρήση "ετικετών" είναι αναπόφευκτη σε οποιαδήποτε διαδικασία ταξινομεί, ομαδοποιεί, διαφοροποιεί και διακρίνει μεταξύ τους υλικά ή νοητικά αντικείμενα (όπως τις μαθηματικές έννοιες), έμβια ή μη όντα,  φαινόμενα, καταστάσεις, τρόφιμα, ακόμη και ενδιαφέροντα, σκοπιμότητες, φιλοδοξίες κ.ά. Κι επειδή κάθε σοβαρή διαδικασία κάνει τουλάχιστον ένα από όσα προανέφερα, γίνεται αντιληπτό πως η χρήση "ετικετών" είναι τελικά απαραίτητη παντού και πάντα. Είναι πρακτικά αδύνατο να βάλουμε τάξη και σειρά χωρίς να κάνουμε χρήση των ειδικών λέξεων που ονομάζονται "ετικέτες" ή "ταμπέλες" ή κάπως έτσι.  Ακόμη και για να διακρίνουμε τις λέξεις μεταξύ τους αναγκαστικά χρησιμοποιούμε λέξεις ετικέτες, όπως, για παράδειγμα, το "ρήμα", το "υποκείμενο", το "αντικείμενο", το "κατηγορούμενο", το "απαρέμφατο", κ.ά. 

Στα Μαθηματικά δε οι ετικέτες αποτελούν τρόπο προσέγγισης, μελέτης και διαχείρισης του αντικειμένου τόσο στο σχολικό, όσο και στο επιστημονικό επίπεδο, αφού στην πραγματικότητα τα Μαθηματικά δεν είναι παρά εκείνη η πνευματική ενασχόληση, μέσω της οποίας ο άνθρωπος αναζητά πρότυπα και, αφού τα εντοπίσει, τα ταξινομεί βάσει κανόνων.

 Ένας λόγος επομένως για τον οποίο θα πρέπει ο κάθε μαθητής να παρακολουθεί με ιδιαίτερη προσοχή το μάθημα των Μαθηματικών στο σχολείο, είναι ακριβώς επειδή μπορεί, μέσω των Μαθηματικών, να αναπτύξει δεξιότητες τέτοιες που θα τον βοηθούν να οργανώνει, να ταξινομεί, να γενικεύει και να διαχειρίζεται με ευκολία, ό,τι έχει να διαχειριστεί. Βέβαια, για να επιτευχθεί ένας τέτοιος στόχος , απαιτείται άλλου είδους παιδαγωγική προσέγγιση, που θα είναι κατά βάση ολιστική και όχι αποσπασματική και ασύνδετη, όπως αυτή που επιβάλλει το δικό μας εκπαιδευτικό σύστημα και το πιεστικό ΑΠΣ του Γενικού Λυκείου, θέμα που έχει συζητηθεί πολλές φορές στο παρελθόν.

Ωστόσο, η σχολική πραγματικότητα δεν φείδεται επαναλήψεων και επιβάλλει πάντα τους δικούς της ρυθμούς. Μέσα σ' αυτό το επαναλαμβανόμενο πλαίσιο της σχολικής πραγματικότητας, θέλοντας την προηγούμενη εβδομάδα να βοηθήσω τους μαθητές που διδάσκω στη Γ' Λυκείου να κατανοήσουν τη σημασία που έχει η σωστή διάκριση και χρήση των "ετικετών",  πρότεινα να γράψουν ένα τεστ σε θεωρία δυόμιση σελίδων, (65, 66 και μισή 67 :) ). Άλλωστε οι υποδείξεις-οδηγίες που υπάρχουν στο βιβλίο του εκπαιδευτικού, σύμφωνα με τις οποίες "Μια από τις απλούστερες διαδικασίες για τη συνοπτική παρουσίαση των δεδομένων είναι οι κατανομές συχνοτήτων...", υπαγορεύουν να τονίσουμε ιδιαιτέρως τις συγκεκριμένες έννοιες.

 Έτσι, αφού λύσαμε διεξοδικά την άσκηση 5 στη σελίδα 79, και μια ακόμη ίδια με αυτήν, προκειμένου να εμπεδώσουμε καλά το θέμα, κι αφού, επί πλέον, εξηγήσαμε αναλυτικά τι δηλώνουν οι "επικεφαλίδες" ή -αν προτιμάτε :) -  οι "ετικέτες" στο πάνω μέρος κάθε στήλης του πίνακα, αποφασίσαμε στο επόμενο μάθημα να γράψουμε το τεστ.

Τα παιδιά μάλλον περίμεναν πως  θα ζητούσα να συμπληρώσουν έναν πίνακα, όπως στην άσκηση 5, αλλά εγώ έβαλα κάτι ευκολότερο, προκειμένου να μην κάνουν τόσες πολλές πράξεις όσες απαιτεί η συμπλήρωση ενός πίνακα κατανομής συχνοτήτων, οπότε ζήτησα:

α                         Να απαντήσετε στα ακόλουθα, αιτιολογώντας την απάντησή σας.

        1. Σε ένα δείγμα μεγέθους 100 η μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές x1, x2, x3 και οι 
         αντίστοιχες συχνότητες των x1, x2 είναι 60 και 25. Πόση είναι η συχνότητα της τρίτης
         τιμής;    [Μπορείτε να δείτε ολόκληρο το τεστ εδώ κι εδώ] 

        

    Θα πρέπει να διευκρινίσω πως η γραπτή εξέταση αποσκοπούσε κυρίως στα εξής:

 1)Να έχουν τη δυνατότητα όλοι οι μαθητές και οι μαθήτριές μου, θεωρητικής οι περισσότεροι κατεύθυνσης, να γράψουν καλά σε ένα τεστ Μαθηματικών, για λόγους εμψύχωσης.
 2)Να εντρυφήσουν οι μαθητές σε έννοιες που είναι βασικές για το πρώτο βήμα σε κάθε ανάλυση δεδομένων
 3)Να γίνει σαφής διάκριση στη χρήση των "ετικετών", δηλαδή των "επικεφαλίδων" που χρησιμοποιούμε στους πίνακες κατανομής συχνοτήτων και να μη συγχέονται μεταξύ τους οι συχνότητες, με τις σχετικές συχνότητες και με τις αθροιστικές συχνότητες.

  Έγραψαν και τα τέσσερα τμήματα της Γ' το ίδιο τεστ και διόρθωσα τα γραπτά πάραυτα, επειδή με έτρωγε  κυριολεκτικά η περιέργεια να δω κατά πόσο επιτεύχθηκαν οι στόχοι που είχα θέσει.

Η αλήθεια είναι πως το μεγαλύτερο ποσοστό των μαθητών μου, επειδή δεν δίνει το μάθημα Πανελλαδικά, ελάχιστα ασχολείται, αλλά παρόλα αυτά, από φιλότιμο οι περισσότεροι, προκειμένου να ανταποκριθούν στις προσδοκίες μου, έκαναν μια κάποια προσπάθεια, η οποία ωστόσο πολύ απείχε από αυτό που θα περίμενε κανείς βλέποντας τόσο απλά θέματα..

Δυστυχώς σε ποσοστό μεγαλύτερο του 50% στην πρώτη ερώτηση, προκειμένου να υπολογίσουν τη ζητούμενη συχνότητα της τρίτης τιμής, πρόσθεταν τις τιμές μεταξύ τους. Είναι εμφανές ότι οι έννοιες "τιμές", "συχνότητες" και "σχετικές συχνότητες" χρησιμοποιούνται αδιακρίτως. Επίσης είναι εμφανές πως εκτός από αυτήν την κατακόρυφη αδιάκριτη χρήση, εντός του πλαισίου των εννοιών της Στατιστικής δηλαδή, υπήρξε σε πολλά γραπτά και μια οριζόντια σύγχυση, καθώς πολλοί ήταν εκείνοι που χρησιμοποιούσαν όρους δανεισμένους από τη Φυσική, όπως "Fολ.", θεωρώντας ότι υπάρχει "F ολικό", στις σχετικές αθροιστικές συχνότητες, όπως υπάρχει στις δυνάμεις.

Η αδυναμία αυτή των μαθητών να απαντήσουν σε ένα τόσο απλοϊκό τεστ  οφείλεται σε πολλούς και διάφορους λόγους, (που εν όψει της επικείμενης αξιολόγησής μου πιθανόν, την αδυναμία αυτή, κάποιοι να την αποδώσουν αποκλειστικά και μόνο σε μένα.. ).

Το βέβαιο όμως είναι ότι το μεγάλο ποσοστό αποτυχίας οφείλεται κυρίως στην αδιάκριτη χρήση των εννοιών που προκύπτει από την ... αδέξια χρήση των "ετικετών". 

Το φαινόμενο της εσφαλμένης χρήσης των ετικετών  χαρακτηρίζει και πολλούς ενήλικες, οι οποίοι ελάχιστα καταλαβαίνουν την πραγματική λειτουργία της ετικέτας, με αποτέλεσμα να... πλένουν μαζί ρούχα άσπρα και κόκκινα και να τα κάνουν ροζ! 

Ή, κάτι που γίνεται από πολλούς συχνά,  να αγοράζουν αδιακρίτως ότι τραβάει την προσοχή τους στα ράφια του SuperMarket, χωρίς να δίνουν την πρέπουσα προσοχή στις ετικέτες των τροφίμων.. :)

  Όταν στο επόμενο μάθημα επέστρεψα διορθωμένα τα τεστ, για να σχολιάσουμε τα λάθη, και ει δυνατόν να τα αποσαφηνίσουμε, αφού μοίρασα τα γραπτά τους γύρισα στον πίνακα και τους είπα:"Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να εκλέξετε τον πρόεδρο του τμήματός σας μεταξύ τριών υποψηφίων που είναι οι: Μάκης, Σάκης, Τάκης. Εσείς είσαστε 30, ψηφίζει ο καθένας έναν και δεν υπάρχουν ούτε λευκά ούτε άκυρα. Αν ο Μάκης πάρει 20 ψήφους, ο Σάκης πάρει μία μόνο ψήφο, πόσες ψήφους θα πάρει ο Τάκης;" 

Όλοι μαζί με μια φωνή: "Εννιά!". 

"Πώς το βρήκατε;". Και ξανά όλοι μαζί ή σχεδόν όλοι μαζί με μια φωνή: "20+1=21, 30-21=9"! 

"Τέλεια! Αφού, λοιπόν, αυτό το τόσο απλό το κατανοείτε όλοι, γιατί στο τεστ αντί για 20+1=21

γράψατε κάτι σαν: "Τάκης+Σάκης="! Γιατί; Και με τι θα μπορούσε να ισούται ένα τέτοιο άθροισμα;"
είπα και συνέχισα, προσπαθώντας να διατηρήσω την ψυχραιμία μου: 
"Μπορώ να φανταστώ μόνο κάτι σαν:  "Τάκης+Σάκης = love4ever". 

Ξέσπασαν όλοι σε  γέλια δυνατά, αλλά δυστυχώς, δεν είμαστε για γέλια...
Τουλάχιστον όχι όταν δεν δίνουμε την απαραίτητη προσοχή στην ετικέτα!

Σε κάθε είδους ετικέτα, χωρίς να εξαιρούμε αυτές που - θέλοντας και μη - χρησιμοποιούμε εμείς οι ίδιοι για τον αυτοπροσδιορισμό μας, "αποκωδικοποιώντας" το άτομό μας ή βλέποντας το πρόσωπό μας... :).

Ο Α πυροβολεί και σκοτώνει τον Β.

Του Μιχάλη Ροδόπουλου*

«Ο Α πυροβολεί και σκοτώνει τον Β», «ο Α συνάπτει σύμβαση πώλησης με τον Β», «το Α κόμμα έχει 151 βουλευτές και το Β 120» κ.ο.κ. Κάπως έτσι είναι διατυπωμένες όλες οι ασκήσεις που λύνουν οι φοιτητές της Νομικής για τα μαθήματα του Ποινικού, του Αστικού ή του Συνταγματικού Δικαίου. Όταν, προ αμνημονεύτων, ήμουν και εγώ πρωτοετής, αναρωτιόμουν τι αμαρτίες πληρώνω και η μισητή άλγεβρα με κυνηγά ακόμα στα αμφιθέατρα της οδού Σίνα. Τι δουλειά έχουν τα μαθηματικά σύμβολα ανάμεσα στους νόμους και τα διατάγματα;
Με τον καιρό όμως αντιλήφθηκα τη σπουδαία λειτουργία που διαδραματίζουν. Σκοπό έχουν να εμφυσήσουν στον αυριανό εφαρμοστή του δικαίου μια από τις σπουδαιότερες αρετές: Την αμεροληψία. Δεν υπάρχει δικαιοσύνη χωρίς αντικειμενικότητα. Ο φοιτητής γαλουχείται να μεταχειρίζεται ίδια πραγματικά περιστατικά με τον ίδιο νομικά τρόπο. Ο Α πυροβολεί και σκοτώνει τον Β γιατί δεν έχει σημασία ποιος είναι ο Α και ποιος ο Β. Είτε ο Α φοράει μαύρη είτε κόκκινη μπλούζα, είναι αδιάφορο. Θα αξιολογηθεί για τη συγκεκριμένη πράξη του και όχι για τα πολιτικά ή θρησκευτικά του πιστεύω. Ο Β είναι Β γιατί δεν έχει σημασία αν το θύμα είναι Έλληνας ή αλλοδαπός, λευκός ή μαύρος. Την προστασία της ανθρώπινης ζωής απολαμβάνει στο ελληνικό κράτος ο κάθε Β. Αντιστοίχως, η προθεσμία αποσβεστικής προθεσμίας (παραγραφής σε άπταιστα δημοσιογραφικά!) είναι η ίδια είτε ο κατηγορούμενος υπουργός ανήκει στο ΠΑΣΟΚ, είτε ανήκει στη ΝΔ, είτε σε άλλο κόμμα.
Παρακολουθώντας όμως κανείς τα πολιτικά πράγματα στην Ελλάδα παρατηρεί μια διαρκή και συστηματική ασυνέπεια στις απόψεις που διατυπώνονται. Μια ασυνέπεια που μολύνει τον δημόσιο λόγο με το δηλητήριο της μεροληψίας, αφαιρώντας κάθε ψήγμα αξιοπιστίας από τις δημόσιες τοποθετήσεις. Σε ζητήματα που απασχόλησαν την κοινή γνώμη, ασκήθηκε κριτική εντελώς αντιφατική, άλλοτε θετική άλλοτε αρνητική με γνώμονα το ποιος λέει κάτι, και όχι το τι ακριβώς λέει. Πιο συγκεκριμένα, στο ερώτημα αν μπορούμε να ασκούμε κριτική στις αποφάσεις των δικαστηρίων, πήραμε τόσο αντιφατικές απαντήσεις από τα ίδια πρόσωπα που μόνο αν έπασχαν από διαταραχή διπλής προσωπικότητας θα μπορούσαν να δικαιολογηθούν. Όταν ασκήθηκε ποινική δίωξη στον κ. Βαξεβάνη για τη δημοσιοποίηση της λίστας Lagarde, σύσσωμα τα κόμματα έσπευσαν να κατακρίνουν τη δικαστική αυτή ενέργεια. Όταν όμως ασκήθηκε δίωξη στον πρόεδρο της ΕΛΣΤΑΤ για παραποιημένα στατιστικά και ο κ. Παπανδρέου κατέκρινε τους εισαγγελικούς χειρισμούς, ορισμένα κόμματα καθώς και η Ένωση Δικαστών και Εισαγγελέων έβαλλαν κατά του πρώην αρχηγού του ΠΑΣΟΚ με το σκεπτικό ότι η κριτική συνιστά επέμβαση στο έργο της ανεξάρτητης δικαιοσύνης. Δηλαδή, μπορούμε να κάνουμε κριτική στη δικαιοσύνη όταν κατηγορείται ο Α αλλά όχι όταν κατηγορείται ο Β! Στο ερώτημα αν πρέπει να συμμορφωνόμαστε με τις αποφάσεις της δικαιοσύνης, η απάντηση που δίνεται είναι θετική όταν ακυρώνεται η κατασκευή του γηπέδου του Παναθηναϊκού, αλλά αρνητική όταν το ΣτΕ αποφαίνεται πως πρέπει να συνεχιστεί η κατασκευή των μεταλλείων χρυσού στη Χαλκιδική. Όταν ξεκινάει διάλογος για το αν πρέπει οι ιερείς να αμείβονται από το κράτος, ζητωκραυγάζουμε όταν η πρόταση γίνεται από κάποιον του λεγόμενου μεταρρυθμιστικού χώρου και λιθοβολούμε όταν η ίδια πρόταση κατατίθεται από κάποιον του λεγόμενου αριστερού χώρου.
Τα φαινόμενα Δόκτωρ Τζέκιλ και Μίστερ Χάιντ είναι τόσα πολλά στα πολιτικά δρώμενα ων ουκ έστιν αριθμός. Μέχρι τώρα είχαμε συνηθίσει τους πολιτικούς να κάνουν τόσο χονδροειδείς μεταστροφές στις απόψεις τους. Είναι θεμιτό το κλείσιμο των δρόμων από τους αγρότες, μας λένε όταν βρίσκονται στην αντιπολίτευση, είναι καταστροφικό, διακηρύττουν όταν είναι στην Κυβέρνηση. Οι a la carte τοποθετήσεις πέρασαν σιγά σιγά και στον δημοσιογραφικό λόγο, ο οποίος παρακολουθεί με απαράμιλλη συνέπεια τη διγλωσσία του πολιτικού λόγου. Δυστυχώς, η ραγδαία πολιτικοποίηση της κοινωνίας συνοδεύτηκε από την οπαδοποίηση των απόψεών της. Τα social media μετέτρεψαν τον καθέναν μας σε έναν μικρό πολιτικό ή έναν περιφερειακό δημοσιογράφο. Αναδεικνύουμε σαν πρότυπο τον παλαιάς κοπής αντιφατικό λόγο και δεν επενδύουμε στη λογική και στα επιχειρήματα. Αποκτήσαμε και εμείς δύο μέτρα και δύο σταθμά στις σύντομες απόψεις μας στο twitter. Στο καφενείο δικαιολογούμε τα αδικαιολόγητα του κόμματός μας με την ίδια πυγμή που δικαιολογούμε το φαλτσοσφύριγμα του διαιτητή υπέρ της ομάδας μας. Η πολιτική, ως διάχυτη διαδικασία παραγωγής θέσεων, νοσεί από πανδημία παραφροσύνης.
Η διαστροφή της λογικής διαστρέφει και την ιδέα της δικαιοσύνης. Όχι κατ’ ανάγκη τής υπό στενή έννοια δικαιοσύνης που απαντάται στις δικαστικές αίθουσες, αλλά της ευρύτερης που πρέπει να παρίσταται ως αγαθό ζωτικής σημασίας στην καθημερινή μας ζωή. Ακόμη περισσότερο της δικαιοσύνης υπό πλατωνική έννοια, δηλαδή την επίτευξη αρμονικής σχέσης ανάμεσα στη λογική και στο θυμοειδές μας. Αλήθεια, για πόσο ακόμα θα μπορούμε να υπερασπιζόμαστε την Α θέση και την επόμενη μέρα τη διαμετρικά αντίθετή της, διατηρώντας την ψυχική μας γαλήνη;
Στο Master Chef, οι τρεις συμπαθείς κριτές αξιολογούν τα πιάτα των διαγωνιζομένων δίχως να γνωρίζουν σε ποιον ανήκει το καθένα. Με αυτόν τον τρόπο δεν δεσμεύεται η αντικειμενικότητα της κρίσης τους από προσωπικές συμπάθειες ή αντιπάθειες. Κρίνουν τα πιάτα ανάλογα με την αξία τους. Μήπως θα έπρεπε και εμείς να σταθμίζουμε τα επιχειρήματα και τις απόψεις που ακούμε σύμφωνα με την πειστικότητά τους και μόνο; Ας αφήσουμε στο πλάι το ποιος μιλάει, το γιατί μιλάει, το γιατί μιλάει τώρα και ας ακούσουμε τι έχει να πει. Αν βάλουμε κατηγορήματα σαν το «ο Α πυροβολεί και σκοτώνει το Β» στην άρθρωση των επιχειρημάτων μας θα μας βοηθήσει να γίνουμε και πιο λογικοί, αλλά και πιο δίκαιοι. Ίσως τότε δούμε πως συμφωνούμε σε πολύ περισσότερα από όσα νομίζαμε. Σε περίπτωση που σας κουράζουν και σας τα μαθηματικά σύμβολα, δείτε τα επιχειρήματα σαν πιάτα. Το αποτέλεσμα θα είναι ίδιο: Με κλειστά μάτια θα διαλέξετε την άποψη που τέρπει περισσότερο τη λογική σας. Η δικαιοσύνη, είτε στα δικαστηριακά έδρανα είτε στην κουζίνα, είναι και πρέπει να μείνει τυφλή.

*Ο Μιχάλης Ροδόπουλος είναι δικηγόρος, ΜΔΕ Αστικού Δικαίου, ΜΔΕ Διεθνούς και Ευρωπαϊκού Δικαίου, υπ. ΔΝ στη Νομική Αθηνών.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Δεν χρειάζεται να σχολιάσω απολύτως τίποτε. Δημοσιεύω το άρθρο, επειδή
ο Μιχάλης Ροδόπουλος μας δίνει ένα άψογο μάθημα...Μαθηματικών και Δημοκρατίας. 
Το άρθρο δημοσιεύτηκε στο protagon.gr στις 3/2/2013.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(Ποιος αριθμός του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης ισούται με τον 322013 του τετραδικού;)

"ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ"

Η "ζωή", όπως λέγεται το παιχνίδι, παίζεται με μάρκες που τοποθετούνται σε ένα τετραγωνικό πλέγμα. Στην αρχή οι μάρκες δημιουργούν πάνω στο πλέγμα έναν συγκεκριμένο σχηματισμό, που αποτελεί και την αρχική κατάσταση του αυτομάτου. Έπειτα, εφαρμόζονται λίγοι απλοί κανόνες, που αφορούν τον αριθμό των άμεσων γειτόνων κάθε μάρκας, και προκύπτει ο επόμενος σχηματισμός. Οι κανόνες διέπουν την επιβίωση, τη γέννηση και τον θάνατο κάθε μάρκας. Οι νεκρές μάρκες αφαιρούνται από το πλέγμα, οι νεογέννητες προστίθενται, ενώ οι υπόλοιπες παραμένουν όπως έχουν. 

Πιο συγκεκριμένα, οι κανόνες έχουν ως εξής:

• Μια μάρκα με 0 ή 1 γείτονα πεθαίνει
• Μια μάρκα με περισσότερους από τρεις γείτονες πεθαίνει.
• Μια μάρκα με 2 ή 3 γείτονες παραμένει ζωντανή.
• Σε μια κενή θέση με 3 ακριβώς γειτονικές μάρκες γεννιέται μια νέα μάρκα. 

                                                                                         

Μπορείτε να βρείτε στο διαδίκτυο πολλές πληροφορίες για το παιχνίδι της ζωής, (π.χ. εδώ) καθώς και δωρεάν λογισμικό του παιχνιδιού. (π.χ. εδώ ) Το παιχνίδι βασίζεται σε αυστηρούς κανόνες, επομένως η πορεία οποιουδήποτε αρχικού σχηματισμού είναι πλήρως προσδιορισμένη: αν ξεκινάμε πάντα από τον ίδιο σχηματισμό, η εξέλιξη του παιχνιδιού θα είναι πάντα η ίδια. Παρ' όλα αυτά, το αποτέλεσμα είναι απρόβλεπτο υπό την έννοια ότι δεν μπορούμε να ακολουθήσουμε κάποια σύντομη οδό και να προβλέψουμε τι θα συμβεί - το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να παίζουμε το παιχνίδι και να παρακολουθούμε την εξέλιξή του. Αυτός είναι ένας από τους πολλούς τρόπους με τους οποίους  διακρίνονται στην πράξη οι έννοιες "ντετερμινιστικό" και "προβλέψιμο", παρότι, καταρχήν, είναι ουσιστικά ίδιες.
Παρά τους απλούς κανόνες του, το παιχνίδι της ζωής μπορεί να εκδηλώσει εκπληκτικά πλούσια συμπεριφορά. Τόσο πλούσια, μάλιστα, που μερικές φορές είναι απρόβλεπτη υπό μια πολύ ισχυρή έννοια, μολονότι η αρχική κατάσταση προσδιορίζει πλήρως την εξέλιξη.

******************************

Ένα απόσπασμα από το κεφάλαιο "Τι είναι ζωή;", σελ. 443-444, στο βιβλίο του Ian Stewart,  "Τα μαθηματικά της ζωής", που προσφάτως κυκλοφόρησε από τον εκδοτικό οίκο ΤΡΑΥΛΟΣ και το απέκτησα τρεις μέρες πριν. Μην έχοντας όμως βρει ακόμη τον χρόνο που απαιτείται για τη συστηματική μελέτη ενός τέτοιου βιβλίου, το ξεφυλλίζω λαίμαργα κάθε φορά που ξεκλέβω λίγη ώρα για μένα, και διαβάζω αποσπάσματά του, από δω κι από κει ...
Κάτω από αυτές τις ... καταπιεστικές και, ομολογουμένως, αγχώδεις συνθήκες ανάγνωσης του βιβλίου, ανακάλυψα τουλάχιστον δέκα αποσπάσματα που θα ήθελα να μοιραστώ άμεσα με ανθρώπους που αγαπώ και ξέρω ότι διαβάζοντάς τα θα εμπνευστούν, ο καθένας με το δικό του τρόπο και στο δικό του τομέα, αντλώντας ιδέες από τα γραφόμενα του Ian Stewart. "Τα μαθηματικά της ζωής. Ξεκλειδώνοντας τα μυστικά της ύπαρξης", πιθανότατα μπορούν να εμπνεύσουν κάποιον που γράφει βιβλίο, το οποίο ουδεμία σχέση έχει με μαθηματικά. Ομοίως μπορούν να εμπνεύσουν κάποιον που γράφει σενάριο ταινίας, καταγράφοντας είδη ανθρώπινων σχέσεων ή μυστικές ιστορίες ανθρώπων...
Κι αν η έμπνευση συγγραφέων και σεναριογράφων από την ανάγνωση του βιβλίου αποτελεί πιθανό ενδεχόμενο, το βέβαιο ενδεχόμενο είναι πως "Τα μαθηματικά της ζωής" θα εμπνεύσουν όποιον εκπαιδευτικό προσπαθεί να εμπλουτίσει τα σενάρια διδασκαλίας του με επιχειρήματα που θα πείθουν τους μαθητές ότι η αντιμετώπιση της γνώσης ως ένα ενιαίο σώμα -και όχι αποσπασματικά και κατακερματισμένα, όπως συμβαίνει στο σχολείο μας- είναι ο μόνος τρόπος με τον οποίον τελικά η Επιστήμη ολοκληρώνεται και προχωρά, επειδή ακριβώς η ολοκλήρωση ενός επιστημονικού κλάδου προϋποθέτει τη μαθηματικοποίησή του, κάτι που έχει συμβεί προ καιρού με τη Φυσική και τη Χημεία και πολύ πιο πρόσφατα με τη βιολογία. Η βιολογία, την οποία ο Ian Stewart εξετάζει σε συνάφεια με τα μαθηματικά, μελετά, όπως είναι γνωστό, την ίδια τη ζωή.
Λιγότερο γνωστό είναι το "τι είναι ζωή;", δηλαδή ο ορισμός της ζωής.Τι είναι ζωή και πώς ορίζεται;

*****************************************

"Οι βιολόγοι δεν έχουν καταλήξει σε έναν καθολικά αποδεκτό ορισμό της "ζωής". Αντιθέτως, διαθέτουν αρκετούς ανταγωνιστικούς ορισμούς, κανένας από τους οποίους δεν είναι απολύτως ικανοποιητικός",  γράφει ο Stewart στη σελίδα 431. Στη συνέχεια παραθέτει διάφορες σκέψεις και επιχειρήματα, για να καταλήξει στο ακόλουθο συμπερασμα, που, εν τέλει, δεν μας δίνει απάντηση στο "τι είναι ζωή", καθώς μας εξηγεί ότι:
"ο σύγχρονος λειτουργικός ορισμός εστιάζεται στο τι κάνει η ζωή, όχι τι είναι. Τα κύρια χαρακτηριστικά της είναι τα εξής:

• διαθέτει οργανωμένη δομή
• ρυθμίζει την εσωτερική συμπεριφορά αποκρινόμενη σε βραχύχρονες αλλαγές στο περιβάλλον.
• επιτυγχάνει τα δύο παραπάνω αντλώντας ενέργεια από το περιβάλλον
• αποκρίνεται σε εξωτερικά ερεθίσματα, μετακινούμενη, φερειπείν, προς μια πηγή τροφής
• αναπτύσσεται -με τρόπο που δεν συσσωρεύεται απλώς- όλο και περισσότερο υλικό, χωρίς να κάνει τίποτε με αυτό
• αναπαράγεται
• προσαρμόζεται σε μακροχρόνιες αλλαγές στο περιβάλλον.

***************************************

Και έτσι μαθαίνουμε, όχι τι είναι η ζωή, αλλά τι κάνει!  Άρα μαθαίνουμε τι κάνουμε και πώς λειτουργούμε εμείς, που είμαστε έμβια - και επιπλέον έλλογα - όντα. Τι κάνουμε; Θα έλεγε  κανείς -επηρεασμένος άμεσα από τον λειτουργικό ορισμό που προαναφέρθηκε- πως αγωνιζόμαστε να αναπαραχθούμε και να οργανώσουμε τις δομές, (ή τους θεσμούς, αν έτσι το προτιμούν οι νομικοί...:) ), πως σκεφτόμαστε προκειμένου να βρούμε τρόπους οργάνωσης και άρα επιβίωσης, πως συχνά προβληματιζόμαστε και, εν δυνάμει, κάποιοι τουλάχιστον εξ ημών, ανανεωνόμαστε, προσαρμοζόμενοι στις περιβαλλοντικές και πλείστες άλλες αλλαγές, ανταποκρινόμενοι σε εξωτερικά ερεθίσματα, που μας ωθούν να μετακινηθούμε προς καινούριες πηγές "τροφής" κλπ.
Προσωπικά, εστιάζοντας στο κομμάτι της ανανέωσης και της προσαρμογής, θα έλεγα πως σε ένα ανανεωτικό πλαίσιο, και προς αναζήτηση "πνευματικής τροφής",  ο εκπαιδευτικός, πριν από όλους, οφείλει να μελετά βιβλία όπως "Τα Μαθητικά της ζωής", όπου εύλογα διασυνδέεται  σχεδόν κάθε πεδίο του επιστητού, χωρίς να γίνεται περιορισμός στις θετικές  επιστήμες, όπως προοικονομεί ο τίτλος. Αντιθέτως, στο βιβλίο γίνεται διασύνδεση θετικών και ανθρωπιστικών επιστημών, και μάλιστα γίνεται με μαεστρία και  τρόπο τέτοιον που αγγίζει τα ενδιαφέροντα, και τις εκπαιδευτικές ιδιαιτερότητες κι ανάγκες, του καθένα μας. Υπό το πρίσμα που ο Stewart εξετάζει τις διασυνδέσεις μαθηματικών, βιολογίας,  φυσικής,  χημείας,  αρχιτεκτονικής, αστρονομίας, ανθρωπολογίας, βιομηχανίας τροφίων, κ.α. η "κρυμένη συνδεσμολογία" (κεφάλαιο 11) αποκαλύπτει "ευκαιρίες δικτύωσης" (κεφάλαιο 15), με αποτέλεσμα "ο μακρύς κατάλογος της ζωής" (κεφάλαιο 3) να εμπλουτίζεται με νέα διαφωτιστικά στοιχεία, που οδηγούν τελεολογικά σε αυτό που ο Stewart αποκαλεί "η έκτη επανάσταση", στο τελευταίο κεφάλαιο (19) του βιβλίου του.
Η, κατά Stewart, έκτη επανάσταση που ήδη συντελείται,  μετατρέπει σταδιακά την επιστήμη από συλλογή χωριών σε παγκόσμια κοινότητα. "Και η ιστορία της μαθηματικής βιολογίας δείχνει πως οι συνεργαζόμενες κοινότητες μπορούν να επιτύχουν πράγματα που είναι αδύνατον να κατορθώσουν από μόνα τους τα μέλη της."
Διακατεχόμενη από την αισιοδοξία που αποπνέει η εμβριθής, πλην απευθυνόμενη στο ευρύ κοινό, επιστημονική μελέτη του Ian Stewart, με διευρημένη τη σημασία* των λέξεων που θα χρησιμοποιήσω στη συνέχεια, οδηγούμαι, μεταξύ άλλων, στα ακόλουθα συμπεράσματα:
1ο.  Μια αποτελεσματική συνεργασία φαίνεται να προϋποθέτει μιας τάξης επανάσταση.
2ο.  Η επανάσταση οδηγεί σε καινούριες κατακτήσεις.
3ο. "Το παιχνίδι της ζωής", με τους  απλούς και αυστηρούς κανόνες, αλλά την πλούσια κι απρόβλεπτη συμπεριφορά,  μας καθιστά ανίκανους να προβλέψουμε με βεβαιότητα τις εξελίξεις, μέσω μιας σύντομης οδού, επειδή πληρεί ταυτόχρονα όλες τις προϋποθέσεις της τάξης και του χάους, όπως ακριβώς κάνει και η ίδια μας η ζωή, άρα
4ο. Δεν μένει παρά να περιμένουμε, για να μάθουμε τις εξελίξεις...

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
*Η γλωσσολογία, φυσικώ τω λόγω, δεν μένει έξω από τις διασυνδέσεις και τις πλείστες αναφορές, που κάνει ο I. Stewart. Το πώς οι μαθηματικοί επεκτείνουν τη σημασία των λέξεων αποτελεί ένα από τα αποσπάσματα που θέλω να μοιραστώ με τους ανθρώπους που αγαπώ, αλλά "Τα μαθηματικά της ζωής" είναι ανεξάντλητα, ενώ ο χρόνος μου, προς το παρόν,  εξαντλείται εδώ...

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΜΟΡΦΙΑ: μια αυθεντική σχέση.

    Όταν ήμουν παιδί, με είχε μαγέψει η ομορφιά της χιονονιφάδας. Τώρα αναζητώ την εξήγησή της στα μαθηματικά. Είναι σοφό αυτό που κάνω;

    Ίσως μας εκπλήσσει ο συνδυασμός των λέξεων "μαθηματικά" και "ομορφιά". Οι περισσότεροι φαντάζονται τα μαθηματικά ως ατέλειωτες σελίδες με πολύπλοκες "αθροίσεις"-καθόλου όμορφη εικόνα. Πιστέψτε με, το κατανοώ.

Όμως, αυτή είναι η αριθμητική, δεν είναι τα μαθηματικά-επιμένω πολύ σ' αυτό. Τα σύμβολα στο χαρτί έχουν τόση σχέση με την πραγματική ομορφιά του αντικειμένου όση έχουν τα σύμβολα του πεντάγραμμου με μια συμφωνία του Μπετόβεν. Η ομορφιά των μαθηματικών δεν βρίσκεται στον συμβολισμό, αλλά στις ιδέες τους, όχι στις ασκήσεις για τα δάχτυλα, αλλά στις συμφωνίες.

    Υπάρχουν δύο είδη μαθηματικής ομορφιάς: η λογική και η οπτική. Ο φιλόσοφος και μαθηματικός Μπέρτραντ Ράσελ περιέγραψε την ομορφιά των μαθηματικών ως "ψυχρή και απέριττη" αναφερόμενος στη λογική ομορφιά τους. Για όποιον καταλαβαίνει τις ιδέες, μια μαθηματική απόδειξη μπορεί στη λογική της να μοιάζει με μια συμφωνία. Αυτό το είδος ομορφιάς είναι διανοητικό και δυσπρόσιτο.

    Αντίθετα, η οπτική ομορφιά ασκεί άμεση έλξη. Η ομορφιά της χιονονιφάδας είναι μαθηματικού χαρακτήρα, απευθύνεται στην αίσθηση συμμετρίας και πολυπλοκότητας που διαθέτουμε. Η ίδια αίσθηση αποτελεί την ουσία των μαθηματικών.

 Η σχέση μεταξύ μαθηματικών και ομορφιάς είναι αυθεντική, αλλά αδιόρατη. Φαίνεται πως δεν υπάρχει προοπτική για την επινόηση ενός Λογισμού της ομορφιάς (όχι πως αυτό επέτρεψε κάποιους θαρραλέους από την προσπάθεια). Επιπλέον, τα εξιδανικευμένα μαθηματικά σχήματα είναι υπερβολικά κανονικά σε σύγκριση με το φυσικό κόσμο ή με την τέχνη ώστε να θεωρηθούν όμορφα. Άλλωστε, υπάρχουν παντού: στους τοίχους, στις κουρτίνες, στα χαλιά, στις ταπετσαρίες, στα κεραμικά, ακόμη και στην αρχιτεκτονική.

Τι είναι όμως εκείνο που κάνει τη συμμετρία τόσο ελκυστική; Μας αρέσει η επανάληψη-μέχρις ενός βαθμού. Στα παιδιά αρέσει να τους διηγούνται ξανά και ξανά την ίδια ιστορία. Η μουσική, στο απλούστερο επίπεδο, είναι ένας ρυθμικά επαναλαμβανόμενος θόρυβος, στο αμέσως επόμενο διακρίνουμε μουσικά θέματα και παραλλαγές, διαπλεκόμενες δομές αποτελούμενες από επαναλήψεις. Ο εγκέφαλος εξελίχθηκε σε έναν κόσμο όπου η επιβίωση συνδέεται άμεσα με την ικανότητα αναγνώρισης σχημάτων. Η διάκριση των εποχών μας επιτρέπει να βρίσκουμε τροφή σε όλη τη διάρκεια του έτους. Η αναγνώριση σχημάτων μας επιτρέπει να διακρίνουμε το φίδι από το αμπέλι, τη σφίγγα από την πεταλούδα...

******************************************************************

Αντέγραψα ένα μικρό απόσπασμα από τη σελίδα 100 του βιβλίου "Ο1 μυ6τικοί Αρι8μοί, Από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος", του Ίαν Στιούαρτ, που κυκλοφορεί εδώ και δέκα ήδη χρόνια από τις εκδόσεις Τραυλός. Επέλεξα να αντιγράψω το συγκεκριμένο απόσπασμα για τους εξής λόγους:

1ο. Αυτή είναι η πρώτη ανάρτηση που κάνω μες στην καινούρια χρονιά και θα ήθελα να έχει ένα όμορφο θέμα, άρα το "Μαθηματικά και Ομορφιά", που είναι η επικεφαλίδα του επιλόγου του 8 κεφαλαίου στο εν λόγω βιβλίου του Ίαν Στιούαρτ, πληρεί εκ προοιμίου το βασικό μου επίταγμα.

2ο. Η ανάγνωση του βιβλίου του Τεύκρου Μιχαηλίδη, "Ο μέτοικος και η συμμετρία", στη μαθητική λέσχη ανάγνωσης του 2ου Λυκείου Συκεών το απόγευμα της περασμένης Κυριακής, έγινε αφορμή να ανοίξει εκτενής συζήτηση γύρω από τη συμμετρία και,  ως η μόνη μαθηματικός της ομήγυρης, όφειλα να απαντώ στις ερωτήσεις των παιδιών. Η γοητεία της συμμετρίας όμως οδηγεί κατευθείαν στον Ίαν Στιούαρτ, τον κατ' εξοχήν υμνητή της, και στα πολλά σχετικά του συγγράμματα, ένα εκ των οποίων είναι και οι μυστικοί του αριθμοί. :)

3ο. Οι μυστικοί αριθμοί του Ίαν Στιούαρτ έχουν την ιδιότητα να ξεκλειδώνουν τα μυστικά της ίδιας της ύπαρξης! Μαγικά μαθηματικά! Όμορφα και απλά. Αρκεί βέβαια να είναι σε θέση κάποιος να μελετήσει ... τα Μαθηματικά της ζωής,  το τελευταίο βιβλίο του Ίαν Στιούαρτ που κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Τραυλός μόλις πριν από λίγο καιρό και περιμένω να το διαβάσω πως και πως... Μέχρι τότε, έστω και καθηστερημένα, να ευχηθώ:

Καλή Χρονιά, με πολλές αναγνώσεις, με όμορφα, μυστηριώδη και συνάμα αποκαλυπτικά, μαθηματικά για μεγάλους και παιδιά!

Κλείνοντας δε να πω τον 4ο - και σημαντικότερο - λόγο για τον οποίον αντέγραψα το παραπάνω απόσπασμα...
4ο. Το αντέγραψα επειδή, όπως γράφει και ο Ίαν Στιούαρτ, "Στα παιδιά αρέσει να τους διηγούνται ξανά και ξανά την ίδια ιστορία.", οπότε, σαν παιδί κι εγώ, χαίρομαι πολύ να διαβάζω ξανά και ξανά κείμενα γραμμένα με ομορφιά για την ομορφιά και τα μαθηματικά! ;)