Οι προσεγγίσεις του π...επί των "αλγεβρικών" τύπων των ήλων...

Το μάθημα-πείραμα με τα καπάκια και τα νήματα για τον προσδιορισμό του π, που έκανα την τελευταία εβδομάδα πριν από τις διακοπές του Πάσχα, ήταν μια ενδιαφέρουσα εμπειρία και μου προκάλεσε πλείστα ερωτήματα γύρω από το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών του Γυμνασίου. Αμφισβήτησα, για πολλοστή φορά, τις μεθόδους και τις πρακτικές που υιοθετώ, εγώ η ίδια, για να διδάξω στα παιδιά μου αυτά που το ΙΕΠ μου ζητά να διδάξω... 

Φυσικά, μιλώ για  τα παιδιά που διδάσκω τώρα, τα οποία σε ένα μεγάλο ποσοστό -για διάφορους λόγους- αδυνατούν να χρησιμοποιήσουν σωστά την ελληνική γλώσσα, πόσο μάλλον να την κατανοήσουν σε βάθος ή έστω στο βάθος εκείνο που απαιτεί η τυπική-φορμαλιστική διδασκαλία των Σχολικών Μαθηματικών.  

Για το μάθημα στα δύο πρώτα τμήματα έχω ήδη γράψει, εδώ "Τα κα"π"άκια και το π" .

Τώρα θέλω να αναφέρω τι έγινε στο τρίτο τμήμα που σε γενικές και σε ειδικές γραμμές ... έπεται των δύο πρώτων. 

Ακολούθησα το ίδιο σχέδιο μαθήματος. Με την ελάχιστη δυνατή αναφορά σε μαθηματικές-γεωμετρικές έννοιες, μοίρασα καπάκια, νήματα και χαράκια και ζήτησα να βρουν πόσο βγάζει η διαίρεση της περιμέτρου προς τη διάμετρο του καπακιού.

Αυτή τη φορά όμως, λίγο επειδή είχα την εμπειρία από τα δύο προηγούμενα τμήματα, λίγο επειδή το συγκεκριμένο τμήμα χρειάζεται περισσότερη υποστήριξη και, τέλος, επειδή ο e-φίλος, Γιάννης Μιχαηλίδης, με αφορμή την προηγούμενη ανάρτηση ρώτησε τι τιμές βρήκαν για το π τα παιδιά μου, αποφάσισα να αφιερώσω περισσότερο χρόνο σ' αυτό το ερώτημα. Σήκωσα ένα παιδί στον πίνακα και κατέγραψε όλες τις τιμές που είχαν βρει οι υπόλοιποι. Σ' αυτό το τμήμα οι αποκλίσεις ήταν πολύ μεγαλύτερες. Επιπλέον, κανένας δεν ανέφερε ότι το π είναι ίσο με 3,14, αλλά ούτε με ρώτησε πόσο θα έπρεπε να βρουν. Αντιθέτως, έδειχναν όλοι πολύ ικανοποιημένοι από την τιμή που είχαν βρει, παρόλο που ήταν διαφορετική από του διπλανού τους.

Για κάποια κλάσματα του δευτερολέπτου, ειλικρινά, δεν ήξερα πώς να διαχειριστώ αυτήν την μακαριότητα των πτωχών μαθητών μου... Φαίνονταν τόσο ευτυχείς με την επιτυχία τους! Έλαμπαν ολόκληροι που είχαν φέρει εις πέρας την αποστολή τους.

Τέλος, πήρα ένα μαρκαδόρο, πήγα στον πίνακα και κύκλωσα το 3, όπου αυτό εμφανιζόταν στα αποτελέσματα, που είχαν καταγραφεί. 

"Η τιμή 3 είναι η καλύτερη προσέγγιση", είπα, χωρίς καν να αναρωτηθώ αν οι μαθητές μου καταλαβαίνουν τι σημαίνει "προσέγγιση". 

Ένας δύο φάνηκαν να αναδιπλώνονται. 

"Δηλαδή, τόσο έπρεπε να βρούμε όλοι, κυρία;", με ρώτησαν.

Δεν πρόλαβα να απαντήσω όταν ο Δ. άνοιξε ένα ανέλπιστο παράθυρο...

"Αλλά, γιατί να βρούμε όλοι το ίδιο, κυρία! Αφού τα καπάκιά μας δεν είναι όλα ίδια!".

Δίκαιο είχε. Σκοπίμως είχα φροντίσει να υπάρχουν καπάκια τουλάχιστον τεσσάρων διαφορετικών μεγεθών. Αυτό είχε συμβεί και στα προηγούμενα τμήματα, αλλά εκεί κανένας δεν θεώρησε πως οι διαφορετικές διάμετροι των καπακιών θα οδηγούσαν σε διαφορετικά αποτελέσματα. Ίσως η πρότερη γνώση να απέκλεισε μια τέτοια ... εύλογη απορία!
Σ' αυτό το τμήμα όμως, των σε γενικές γραμμές ακατέργαστων ως προς τις μαθηματικές έννοιες παιδιών κάθε ενδεχόμενο αποβαίνει δυνατό!
Ακόμη  ακόμη και η αμφισβήτηση της υπερβατικότητας του π! Αστειεύομαι, βέβαια...
Σε ένα τόσο "παρθένο" περιβάλλον ο δάσκαλος συχνά βιώνει εκείνη την... πνευματική αγωνία που βίωσε το ανθρώπινο είδος μέχρι να φτάσει τη σκέψη του εδώ που την έφτασε!  

Πιθανόν, φίλε Γιάννη, στο Δημοτικό αυτό να είναι το σύνηθες. Στο Γυμνάσιο όμως, όσο να 'ναι, υπάρχει ένα -έστω και "σαθρό"- γνωστικό υπόβαθρο, που περιορίζει ως ένα βαθμό αυτήν την πρωτόγονη άγνοια, τη γνήσια απορία, του ανθρώπινου μυαλού.
Οπότε, στο συγκεκριμένο τμήμα έχω την τύχη να συναντώ τέτοιες ενδιαφέρουσες καταστάσεις, από τις οποίες πάντα κάτι μαθαίνω. Επιβεβαιώνω το πώς θα σκεφτούν τα παιδιά μου, ακόμη και όταν το περιμένω, όπως για παράδειγμα, με τα διαφορετικού μεγέθους καπάκια, που όμως στα δύο άλλα τμήματα δεν προκάλεσαν καμια αντίδραση, ενώ σ' αυτό, το στερνό, η συζήτηση που έγινε παρουσίασε ιδιαίτερο εκπαιδευτικό και διδακτικό ενδιαφέρον.

.

Βέβαια, οφείλω να πω ότι το μάθημα συνήθως δεν περιορίζεται από το επίπεδο των μαθητών. Αντιθέτως, το ωσάν tabula rasa μυαλό τους, ολοένα και μου γεννά την επιθυμία να διερευνήσω το τι βλέπουν και τι καταλαβαίνουν, ώστε να προσπαθήσω να οδηγήσω όσο το δυνατόν πιο σωστά τη σκέψη τους...

Χθες, για παράδειγμα, πριν προχωρήσω στο εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, όπου σκόπευα να εξηγήσω πώς προκύπτει ο τύπος Ε=πρ^2, πέρασε από το μυαλό μου σαν αστραπή μια σκέψη που ανέκοψε την πορεία μου:
Τι έχουν, άραγε, στο μυαλό τους όταν ακούν τη λέξη "τύπος";

"Τι σημαίνει "τύπος";", ρώτησα και αμέσως έδωσα τις απαραίτητες διευκρινίσεις. 

"Δεν εννοώ αυτό που λέμε "πω πω, ένας ωραίος τύπος, ψηλός, πνευματώδης, με χιούμορ κλπ", εννοώ τι σημαίνει η λέξη τύπος στα Μαθηματικά και στις Θετικές Επιστήμες"

Δυο τρεις σήκωσαν το χέρι, για να απαντήσουν, αλλά ήθελα να έχω μια πληρέστερη εικόνα.

"Βγάλτε γρήγορα ένα χαρτί και γράψτε: Στα Μαθηματικά και στις Θετικές Επιστήμες τύπος σημαίνει...... Συμπληρώστε, όπως εσείς το καταλαβαίνετε".

"Να βάλουμε και όνομα, κυρία;", ακούστηκαν οι πιο αγχώδεις. 

"Ναι, να βάλετε. Δεν θα το βαθμολογήσω. Θέλω μόνο να δω πως σκέφτεστε...", απάντησα για να τους καθησυχάσω.

Έγραψαν τα χαρτάκιά τους. Τα διάβασα.  Κάποια, λίγα ευτυχώς, έγραψαν "Δεν ξέρω πως να το εξηγήσω", αρκετά έδωσαν (παρα)δεχτούς ορισμούς και κάποια έγραψαν μόνο ένα παράδειγμα τύπου.  "Τύπος είναι αυτό ω=360/ν". Έστω. Κι έτσι ακόμη, έδειξαν ότι κατανοούν.

Τελικά, το θέμα είναι πως ο κάθε δάσκαλος που καλείται να διδάξει ... τυπολογώντας τα Μαθηματικά,  οφείλει πότε πότε να βάζει το δάχτυλο στα σημάδια που αφήνουν ... τα καρφιά.

Καλές Διακοπές!

Τα κα"π"άκια και το π!

Το παιχνίδι, με τα έντονα χρώματα και τα πέντε γρανάζια που θυμίζουν λουλούδια, το είδα για πρώτη φορά το πρωί του Σαββάτου στο Εαρινό Σχολείο του ΠΜΣ  Επιστήμες της Αγωγής Διδακτική των Μαθηματικών!

Το έφερε η καθηγήτρια Bartolini Bussi, για το εργραστήρι που ακολούθησε αμέσως μετά την εισήγησή της, το πρωί του Σαββάτου. Στο θεωρητικό μέρος της εισήγησης δεν θα σταθώ, αν και ούτε λίγο ούτε πολύ η κυρία Bussi, που μας επέστησε την προσοχή στον (εσφαλμένο;) τρόπο που ερμηνεύουμε τον Vygotsky, ουσιαστικά ήρθε σε αντίθεση με τον καθηγητή Lerman, τον έτερο εισηγητή του Εαρινού Σχολείου, τον οποίον παρακολουθήσαμε το απόγευμα της Παρασκευής, σε μια πολύ ενδιαφέρουσα ομιλία με τίτλο  "Researching Vygotsky and researhing with Vygotsky in Mathematics Education". Η εισήγηση του με ενθουσίασε, κυριολεκτικά την βρήκα εξαιρετική. Το "Σκέψη και Γλώσσα" του  Vygotsky είναι από τα βιβλία που με έχουν επηρεάσει  και έχουν διαμορφώσει το "διδακτικό" μου προφίλ. Αναμφιβόλως, δηλώνω φαν του μεγάλου Ρώσου ψυχολόγου. 

Ωστόσο, η καθηγήτρια Bartolini Bussi, που αμφισβήτησε ως κάποιον βαθμό τον τρόπο που έχουμε υιοθετήσει τη βιγκοτσιανή θεωρία στην εκπαίδευση, δεν με απογοήτευσε καθόλου. Αντιθέτως, με προβλημάτισε και με έκανε να σκεφτώ, για μιαν ακόμη φορά, κατά πόσο ο τρόπος που οι περισσότεροι από μας διδάσκουμε, ακολουθώντας το μοντέλο: θεωρία-παραδείγματα-ασκήσεις ή παράδοση με ένα φύλλο εργασίας ή μια δραστηριότητα που προτείνει το σχολικό εγχειρίδιο εμπλέκει επαρκώς το μεγαλύτερο ποσοστό των μαθητών μας σε μια διαδικασία αποτελεσματικής μάθησης... 

Το εργαστήριο της κυρίας Bussi, με τη χρήση του "παιχνιδιού" μας έβαλε να σκεφτούμε, να συζητήσουμε, να λειτουργήσουμε όπως περίπου λειτουργούν οι μαθητές μας. Όμως αυτό που είχε ενδιαφέρον ήταν το "μεταγνωστικό" στάδιο της όλης διαδικασίας. Η συζήτηση για το πώς λειτουργήσαμε, πώς αναμένετε να λειτουργήσουν τα παιδιά και πώς μπορεί ο δάσκαλος να εμβαθύνει, να αξιοποιήσει και να χειριστεί σωστά τις αναμενόμενες απαντήσεις των παιδιών ήταν η προστιθέμενη αξία. (Υπάρχει εδώ σχετικό άρθρο για όποιον ενδιαφέρεται να δει πώς λειτουργεί η παδική μηχανή του Pascal και εδώ ένα video).

Χθες βράδυ, μετά από ένα Σαββατοκύριακο γεμάτο με επιμορφώσεις πάσης φύσεως, καθώς εκτός από το Εαρινό Σχολείο συνέπεσε και η συνάντηση της Λέσχης Ανάγνωσης, έπεσα στο κρεβάτι με ένα σωρό ιδέες, άλλες υπό διαμόρφωση και άλλες έτοιμες σαν ώριμα καλοκαιρινά φρούτα... Ήταν τόσες πολλές που δεν μπορούσα να κοιμηθώ. Στριφογύριζα για ώρα, ώσπου σηκώθηκα κι έψαξα στη ντουλάπα να βρω την τσάντα με τα νήματα και τις κλωστές του πλεξίματος.  Διάλαξα ένα κουβάρι και το έβαλα στη σχολική μου τσάντα. 

Τις λίγες ώρες που κατάφερα να κοιμηθώ έβλεπα στον ύπνο μου τον ... Λεβ Βιγκότσκι!

Το πρωί ξεκίνησα το μάθημα με την Γ, αλλά  δεν έβλεπα την ώρα να μπω στη Β'. 

Στο μεταξύ διάλεξα μερικά πλαστικά καπάκια από τη συλλογή μας, πήρα την τσάντα με τα γεωμετρικά όργανα (που αναγκαστικά κουβαλώ στο μάθημα, επειδή τα περισσότερα παιδιά ξεχνούν να φέρουν τα δικά τους, αλλά γι' αυτό δεν φταίνε τα παιδιά, φταίμε εμείς οι ενήλικες που ανεχόμαστε και συγχωρούμε σχεδόν τα πάντα... Μεγάλο θέμα, απαιτεί σοβαρή συζήτηση, αλλά δεν είναι της ώρας.)

Δυστυχώς, είχαμε προγραμματισμένη σύντομη "γραπτή-προφορική" εξέταση κι έτσι δεν μπορέσαμε από την αρχή να επιδοθούμε στην χειραπτική μας εργασία και να "ξετυλίξουμε" στη συνέχεια επαρκώς τη θεωρία, αλλά και την ιστορία, πίσω από την μαθηματική έννοια που επρόκειτο να προσεγγίσουμε με νήμα, καπάκι, χαράκι, μολύβι και χαρτί...

Το μήκος του κύκλου ήταν προς παράδοση σήμερα. 

Μετά τη σύντομη γραπτή εξέταση, μοίρασα τα απαραίτητα εργαλεία στα θρανία, αφού πρώτα εξήγησα ποιο ακριβώς ήταν το ζητούμενο.

"Θέλω να μετρήσετε τη διάμετρο της κυκλικής επιφάνειας του καπακιού. Μετά, χρησιμοποιώντας την κλωστή, να μετρήσετε το γύρω γύρω του καπακιού. Και στο τέλος να κάνετε διαίρεση το μήκος του γύρω γύρω προς τη διάμετρο..."

Επέμενα να λέω το "γύρω γύρω" και όχι περίμετρο, επί τούτου, αλλά κάποιοι μαθητές με διόρθωσαν... Προσπαθούσα να μην τους "φορτώσω" με περισσότερες μαθηματικές έννοιες από όσες ήταν απαραίτητες, για να λειτουργήσουν όλοι όσο το δυνατόν πιο αυθόρμητα, αποβάλλοντας το σφίξιμο που νιώθουν κάποιοι και μόνο που βλέπουν στο πρόγραμμα "Μαθηματικά"! Και φάνηκε πως το πέτυχα. Άρχισαν τις μετρήσεις. Τύλιγαν, ξετύλιγαν.

Πήρα κι εγώ ένα καπάκι, λίγη κλωστή, ένα χαράκι και έκανα τις μετρήσεις μου.  Τις έγραψα στον πίνακα.

"Πόσο βρήκατε;" ρώτησα. Άρχισαν να απαντούν. Ο καθένας τα δικά του...

Δύσκολο πράγμα η μέτρηση!

"Πόσο θα έπρεπε να βρούμε, κυρία;", άρχισαν σιγά σιγά να ρωτούν, ενώ το ενδιαφέρον και των πλέον αδιάφορων εκδηλώθηκε γνήσιο. 

Ενθουσιάστηκα μαζί τους!

"3,14 δεν θα έπρεπε να βρούμε;", ρώτησαν κανά δυο που η όλη διαδικασία τους έφερε στο μυαλό  προηγούμενες γνώσεις. 

Μου δόθηκε η ευκαιρία να τους μιλήσω, εν τάχει, για τις διάφορες προσεγγίσεις του π από την αρχαιότητα με αναφορά στη Βίβλο, όπου το π εκλαμβάνεται ίσο με 3 και φυσικά στην προσέγγιση του Αρχιμήδη, π=22/3.

Ο χρόνος του μαθήματος είναι λίγος. Τα παιδιά που για διάφορους λόγους δυσκολεύονται ή "αδιαφορούν" είναι πολλά. Το τυπικό μάθημα των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο είναι αναποτελεσματικό στα παιδιά ... "χαμηλού υποβάθρου", που κατακλύζουν τις τάξεις μας.

Οι οθόνες και η χρήση ΤΠΕ δεν ενισχύει το ενδιαφέρον στο βαθμό που περιμέναμε...

Η ανάγκη για αναζήτηση νέων μεθόδων και πρακτικών είναι μεγαλύτερη από ποτέ. 

Έτσι αισθάνομαι εδώ και πολύ καιρό, γι' αυτό ψάχνω τι φταίει, αλλά και τι μπορώ...

--------------------------------

Αγαπητή Μανουέλα, χρόνο δεν είχω για περισσότερα, αλλά ήθελα -αφού το ζήτησες- να σου μεταφέρω με δυο λόγια όχι μόνο το τι έκανα σήμερα στην τάξη, αλλά τι ήταν αυτό που με ώθησε να το κάνω...

Εύχομαι δύναμη και ... έμπνευση, γιατί τη χρειαζόμαστε κι εμείς και τα παιδιά μας

Όλοι έχουμε πρόσβαση...

"Όταν ήμουν μικρότερη και προσπαθούσε [ο πατέρας μου] να μου εξηγήσει ότι η Γη είναι μια πελώρια σφαίρα, θυμάμαι ότι με είχε πάρει στην παραλία, λίγο μετά το Λευκό Πύργο, και με ρώτησε αν μπορούμε να δούμε από κει την Κατερίνη, μια ημέρα που είχε πολύ καθαρή ατμόσφαιρα"

"Μπορούμε, δεν μπορούμε; Αν χρησιμοποιήσουμε κιάλια φυσικά...", απάντησε επιφυλακτικά ο Μάνος.

"Κι όμως δεν μπορούμε!", είπε θριαμβευτικά η Αρετή.

"Μα η Κατερίνη απέχει απ΄τη Θεσσαλονίκη εξήντα πέντε χιλιόμετρα και στην ευθεία πολύ λιγότερο, τριάντα ή σαράντα χιλιόμετρα υποθέτω... Ο Όλυμπος είναι πολύ πιο μακριά και όμως τον βλέπουμε!", επέμενε ο Μάνος με περισσότερο σθένος αυτή τη φορά.

"Ξεχνάς όμως ότι η Γη είναι σφαιρική! Η Κατερίνη δεν φαίνεται επειδή είναι κάτω από τον ορίζοντα της Θεσσαλονίκης. Ή για την ακρίβεια απο τον ορίζοντα κάποιου που βρίσκεται στην παραλία της Θεσσαλονίκης..."

Η Αρετή και ο Μάνος, που διαφωνούν στο αν η Κατερίνη είναι ορατή από τη Θεσσαλονίκη είναι δυο μαθητές της Α' Λυκείου! Ο παραπάνω διάλογος μάλιστα, δηλαδή το απόσπασμα που έχω γράψει, έπεται μιας σύντομης διάλεξης της Αρετής σχετικά με την κίνηση του ...γνωστού μήλου του Νεύτωνα και την κίνηση της Σελήνης γύρω από τη Γη. Η Αρετή στη   διάλεξή της περιέγραψε αναλυτικά το νοητικό πείραμα του Νεύτωνα, σύμφωνα με το οποίο ένα μήλο, κάτω από κατάλληλες συνθήκες μπορεί να μπει στην ίδια τροχιά με τη Σελήνη γύρω από τη Γη...

Πιθανόν να αναρωτιώσαστε πού έχω συναντήσει αυτά τα δύο φιλομαθή παιδιά και για ποιο λόγο θέλω να δημοσιεύσω τη μεταξύ τους συζήτηση. Θα ξεκινήσω από το δεύτερο. 

Εδώ και πολύ καιρό θέλω να γράψω κάτι σχετικό, επειδή το θέμα της συζήτησης των δύο παιδιών έφτιαξε ωραίες εικόνες στο μυαλό μου! Και πώς να μη συμβεί αυτό, αφού γίνεται  αναφορά στην πλέον αγαπημένη μου για περίπατο περιοχή, την παραλία της Θεσσαλονίκης! 

Ειδικά μάλιστα τις Κυριακές, ο απογευματινός δίωρος περίπατος παρέα με τη φίλη μου, την Κατερίνα, έχει ιδιαίτερη γοητεία. Η συζήτησή μας -περί παντώς του επιστητού και όχι μόνο περί θεμάτων που άπτονται αυστηρώς του γυναικείου ενδιαφέροντος- επενδύει συναισθηματικά την ήδη ερωτικά ηλεκτρισμένη ατμόσφαιρα!

Με ένα τέτοιο προσωπικό βίωμα, πώς θα μπορούσα να μείνω ασυγκίνητη ακούγοντας δυο νέα παιδιά να αναφέρουν στην κουβέντα τους την παραλία και μάλιστα να θέτουν ερωτήματα τύπου: 

"Από την παραλία της Θεσσαλονίκης μπορούμε να δούμε την Κατερίνη;"! 

Όχι, δεν μπορούμε να δούμε την Κατερίνη. Ούτε με κιάλια! Μας εμποδίζει η καμπυλότητα της γήινης σφαίρας. Βλέπουμε όμως τον ευσταλή Όλυμπο, που φτάνει στα σύννεφα και γίνεται κόκκινος από το πάθος του ανοιξιάτικου δειλινού... 

Πόσο πολύ μου αρέσει αυτή η ώρα στην παραλία! Αρέσει σε εμένα και σε μισό εκατομμύριο άλλους κατοίκους, που συνωστίζονται περιδιαβαίνοντας πλάι στη θάλασσα. Αφήνουν τις έγνοιες τους στον ρυπαρό αφρό του Θερμαϊκού και παίρνουν ενέργεια για τη βδομάδα που ξεκινάει...

         Ο Όλυμπος, η Κατερίνη, η παραλία της Θεσσαλονίκης, ο έρωτας, 

ο ανεκπλήρωτος έρωτας, ο Σίσυφος, η Σελήνη, ο Νεύτωνας, το μήλο... 

Λέξεις που φτιάχνουν στο μυαλό μου εικόνες και ανασύρουν μνήμες. 

Μέρες Μαρτίου, μέρες ποίησης, μέρες σιωπής... 

Ώρες ανάγνωσης και ώρες γραφής.

Την Αρετή και τον Μάνο τους γνώρισα δυο χρόνια πριν. Μαζί με τον Αλέξανδρο, οι τρεις τους είναι οι πρωταγωνιστές στο βιβλίο του φίλου μου, του Θοδωρή Πιερράτου, "Καταραμένη Φυσική"!. Το βιβλίο κυκλοφόρησε τον Φεβρουάριο του 2019, από τις εκδόσεις  πηγή, αλλά εγώ το είχα διαβάσει το καλοκαίρι του 2017, όταν ο Θοδωρής μου το έδωσε στην αρχική του μορφή, σε αρχείο pdf, όταν ήταν ακόμη υπό ...διαμόρφωση!

Τώρα όμως είναι ένα έντυπο. Ένα χειροπιαστό βιβλίο! Ένα μυθιστόρημα Νεανικής Λογοτεχνίας, καθαρά προσχηματικό, καθώς ο σκοπός του είναι να αναδείξει την ομορφιά της Φυσικής. Και το καταφέρνει. Αλλά στο περιεχόμενο του βιβλίου θα επανέλθω, εν καιρώ.

Προς το παρόν θα αντιγράψω μόνο τα λόγια της Αρετής δύο σελίδες μετά από το παραπάνω απόσπασμα.

"Σίγουρα ο Νεύτωνας ήταν ένας πολύ έξυπνος άνθρωπος, μία μεγαλοφυΐα. Μπορεί να είδε το μήλο να πέφτει, μπορεί και όχι. Μπορεί να έφτανε στα ίδια συμπεράσματα ξεκινώντας από άλλα ερεθίσματα. Μπορεί και όχι! Ποιος ξέρει; Ίσως κάποιος άλλος και όχι αυτός να ανακάλυπτε τους νόμους του ή να κατέληγε στα ίδια συμπεράσματα. Εξάλλου, όλοι έχουμε πρόσβαση στη φύση μέσα από την παρατήρηση και τα πειράματα".

Η υπογράμμιση είναι δική μου, δεν είναι του Θοδωρή!

Την έκανα επειδή θέλω να τονίσω πως  συμμερίζομαι την άποψη της Αρετής!

Πιστεύω κι εγώ πως όλοι έχουμε πρόσβαση στη φύση. Και στη γνώση έχουμε πρόσβαση, στα Μαθηματικά και στη Φυσική.

Έχουμε πρόσβαση στον ... εαυτό μας, όπως έχουμε και στον άλλον!
Έχουμε πρόσβαση στη φιλία, στην αγάπη και στην αρετή!

Αν  μπαίνουμε,  πότε πότε, σε ρόλο ...παρατηρητή! 

Κι αν τολμάμε να κάνουμε πειράματα, νοητικά και μη...

Η δικαίωση ήρθε από την Κέρκυρα! :)

Όταν σχολάω στο εξάωρο μου παίρνει λίγο χρόνο να συμμαζέψω τα συρτάρια στο γραφείο μου! Βάλε βγάλε βιαστικά τα βιβλία και τις σημειώσεις πηγαίνοντας από τη μια τάξη στην άλλη, ειδικά τις μέρες που έχω εφημερία και τρέχω πάνω κάτω, ισόγειο-δεύτερος όροφος και τούμπαλιν, από το πρωί μέχρι το μεσημέρι η εντροπία έχει κάνει το θαύμα της! Κι επειδή την επομένη θα ψάχνω και δεν θα βρίσκω αν τα αφήσω έτσι όπως μπερδεύτηκαν, κάθομαι και διαχωρίζω τα πράσινα από τα κίτρινα. Βιβλία, φάκελοι, τετράδια, πράσινα της Β', κίτρινα της Γ', αντίστοιχα. Στο μεταξύ η ώρα περνάει, με αποτέλεσμα όταν φεύγω στη διαδρομή από το σχολείο στο σπίτι να πέφτω πάνω στο ποτάμι των μαθητών που σχολάει από τα τρία σχολεία, που βρίσκονται διαμετρικά σπαρμένα γύρω από το σπίτι μου. Τα παιδιά, σχολώντας την έβδομη ώρα, κατακλύζουν τους δρόμους, ακριβώς όπως οι γιαγιάδες στο σχόλασμα της εκκλησίας! Γίνονται μια σχεδόν συμπαγής μάζα και δεν αφήνουν το αυτοκίνητο να περάσει. Έτσι, αναγκαστικά ακινητοποιούμαι στη μέση του δρόμου, εκατό διακόσια μέτρα από το σπίτι μου και περιμένω τα πηγαδάκια των μαθητών να μετακινηθούν με την ταχύτητα που κυλά τα νερά του ο Νείλος κατά τις περιόδους της ανομβρίας. Όση ώρα μένω έτσι εκγλωβισμένη ανάμεσα στα παιδιά, τα παρατηρώ προσεκτικά, παίζοντας ένα νοητικό παιχνίδι: αντιστοιχίζω στο  κάθε παιδί  το όνομα ενός δικού μου παιδιού, επειδή διαπιστώνω ότι του μοιάζει πολύ! Η ομοιότητα μπορεί να αφορά το ντύσιμο, το στυλ, τα φυσικά χαρακτηριστικά, σωματότυπο, μαλλιά κλπ, ή ακόμη και την έκφραση, το βλέμμα, το χαμόγελο! Είμαι σχεδόν πεπεισμένη πως σε κάθε σχολείο τα "μοντέλα" των μαθητών σε γενικές γραμμές επαναλαμβάνονται. Η ζόρικη Ιωάννα, ο Θάνος, ο Γιάννης που αγάπησα,  ο Κωστάκης που αγαπώ φοιτούν ξανά και ξανά στο δικό μου σχολείο και στα γειτονικά!

Τη σκέψη μου αυτήν, δεν την είχα ξαναπεί δημόσια. Και δεν είχα σκοπό να την πω, επειδή δεν φαίνεται να αφορά και να ενδιαφέρει τον κόσμο. 

Όταν όμως τρεις εβδομάδες πριν διάβασα το κείμενο που έγραψε στο mathematica.gr, ο αγαπητός συνάδελφος Γιώργος Ρίζος, η άποψή μου για την επανάληψη των "μαθητικών μοντέλων" σε κάθε σχολείο ενισχύθηκε. Παραθέτω το κείμενο αυτούσιο:

Καλησπέρα σε όλους.

Το Σάββατο βρέθηκα στην πάντα αγαπημένη Θεσσαλονίκη και είχα τη χαρά να συναντήσω φίλους από το mathematica, από την παρέα του υπογείου της Δέλλιου και να συναντήσω επιτέλους από κοντά τον αγαπητό Βαγγέλη Μουρούκο στην ημερίδα του Καλαμαρί. 

Για όλα αυτά θα άξιζε να κάνω το ταξίδι Κέρκυρα - Θεσσαλονίκη - Κέρκυρα ακόμα κι αν ο χρόνος του θα ήταν ο διπλάσιος. Το μόνο που με προβλημάτιζε ήταν το ανιαρό μοναχικό ταξίδι της επιστροφής.

Όμως, την Κυριακή, στο ταξίδι της επιστροφής στην Κέρκυρα με συντρόφεψε το νέο βιβλίο της Κατερίνας Καλφοπούλου που περιγράφει με γλαφυρό τρόπο τις εμπειρίες της συγγραφέως στην πρώτη της επαφή με μαθητές Γυμνασίου μετά από δύο δεκαετίες συναναστροφής με μαθητές Λυκείου. Με την πρώτη ανάγνωση, γιατί θα ακολουθήσουν κι άλλες, κατανοώ αμέσως πόσο δίκιο έχει ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, όταν αναφέρει στον πρόλογό του: "Αν όμως το διαβάσουμε (ξανά και το ξαναξανά-διαβάσουμε), χωρίς προκαταλήψεις, χωρίς αγκυλώσεις, χωρίς φταίει-μόνο-ο-άλλος, θα ανακαλύψουμε μέσα του ιστορίες που όλοι, με τη μια ή την άλλη ιδιότητα ζήσαμε και που τη ζωγράφισε για χάρη μας, νομίζοντας πως φωτογραφίζει μόνο τον εαυτό της, η μοναδική, υπέροχη Κατερίνα".

Έτσι, σήμερα μπαίνοντας στα τμήματα του Γυμνασίου στο οποίο διδάσκω, αντίκριζα τους μαθητές μου με άλλη ματιά. Παρατηρούσα τα παιδιά μας να ανεβοκατεβαίνουν τις σκάλες και να ξεχύνονται στην αυλή "σαν ένα μελίσσι που ορμά στη γύρη...". Τα τελευταία δώδεκα χρόνια, συνειδητά και εθελοντικά εργάζομαι σε Γυμνάσιο, της γειτονιάς μου. Βλέπω τους μαθητές μου καθημερινά "παλιούς" και τωρινούς πρωί κι απόγευμα. Κι όμως από σήμερα προσπαθούσα να δω πιο βαθιά μέσα τους, να διαβάσω τις σκέψεις που πολλές φορές κρύβουν κάποια παιδιά πίσω από ένα βαριεστημένο βλέμμα, άλλα με ένα θυμό ζωγραφισμένο στο πρόσωπό τους, άλλα με ένα βλέμμα προσδοκίας και ανυπομονησίας κι άλλα με ένα ύφος που ζητά απελπισμένα τον οίκτο μας, να μην τους ζορίσουμε άλλο, (εις μάτην βέβαια...). Παρατηρώντας τα άρχισα να υποψιάζομαι ότι οι μαθητές της Κατερίνας έχουν συγγενείς με πανομοιότυπο DNA και στο σχολείο όπου εργάζομαι. Και "ζόρικη Ιωάννα" έχουμε και Κωστάκη έχουμε και Θάνο έχουμε... Απλά, άλλο πράγμα είναι το να βλέπεις κάτι, άλλο να το παρατηρείς κι άλλο να το κατανοείς! Μάς έλεγαν στα ΠΕΚ ότι για να κατανοήσεις τα παιδιά, χρειάζεται να έχεις διαβάσει καλά βιβλία "παιδαγωγικής".

Ελπίζοντας να μην χαρακτηριστώ ψυχαναγκαστικός, ταξινόμησα το βιβλίο στο (φτωχό έτσι κι αλλιώς) ράφι μου των βιβλίων "παιδαγωγικής", χαρακτηρίζοντας το ως προαπαιτούμενο εγχειρίδιο εφαρμοσμένης παιδαγωγικής.

Εύχομαι να είναι καλοτάξιδο!

https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=6&t=63979

Από τη μέρα που διάβασα την ανάρτηση του Γιώργου, για την οποία τον ευχαριστώ από καρδιάς, κάτι μέσα μου άλλαξε. Στην ούτως ή άλλως σκωπτική μου διάθεση όσο χρόνο ακινητοποιημένη παρατηρώ τους μαθητές και τις μαθήτριες των όμορων σχολείων την ώρα του σχολάσματος προστέθηκε μια νέα συνιστώσα: μια φωνή στο κεφάλι μου που φροντίζει για τη μουσική επένδυση της παρατήρησης μου τραγουδά ηχηρά - και ολίγον τι φάλτσα - το τραγούδι: 

Κέρκυρα Κέρκυρα με το Ποντικονήσι/Με τα καντούνια τα στενά, που τα' χω σεργιανίσει...

Πράγματι, όταν διάβασα στο κείμενο του Γιώργου την εικασία πως οι μαθητές μου έχουν συγγενείς με πανομοιότυπο DNA στο δικό του σχολείο, ένιωσα να δικαιώνομαι.
Φαίνεται πως όχι μόνο στη γειτονία μου, αλλά από τη μια άκρη μέχρι την άλλη, στη στεριανή και στη νησιώτικη Ελλάδα, οι δάσκαλοι διδάσκουμε στα ίδια παιδιά: στον Γιάννη, στον Θάνο, στον Κωστάκη, ..., και στη ζόρικη Ιωάννα! :)

Footprints on the sands of time

"...τα μόνα αληθινά εφήμερα πράγματα στη ζωή είναι οι δυνατότητες, αλλά αμέσως μόλις ενεργοποιούνται, εκείνη την ίδια στιγμή, καθίστανται πραγματικότητες, σώζονται και διανέμονται στο παρελθόν, εντός του οποίου διαφυλάσσονται πέρα από το εφήμερο και την παροδικότητα. Διότι εντός του παρελθόντος τίποτα δεν είναι ανεπανόρθωτα χαμένο, ενώ τα πάντα είναι οριστικά και αμετάκλητα σωσμένα και αποθηκευμένα.

Συνεπώς το εφήμερο της ύπαρξής μας δεν την καθιστά με κανέναν τρόπο άνευ νοήματος. Συνιστά όμως την υπευθυνότητά μας, γιατί τα πάντα βασίζονται στο να συνειδητοποιήσουμε τις ουσιωδώς εφήμερες δυνατότητες.

Ο άνθρωπος διαρκώς προβαίνει στην εκάστοτε επιλογή του, λαμβάνοντας υπόψη τις παρούσες δυνητικότητες: ποιες από αυτές θα καταδικαστούν στην ανυπαρξία και ποιες θα ενεργοποιηθούν; Ποια επιλογή θα γίνει πραγματικότητα άπαξ και δια παντός, ένα απέθαντο "αποτύπωμα στις αμμουδιές του χρόνου"* ". (σελ. 183)

Αντέγραψα ένα μικρό απόσπασμα από το βιβλίο του Βίκτορ Ε. Φρανκλ, "Το νόημα της ζωής", εκδόσεις Ψυχογιός, το οποίο τυχαία αγόρασα. Όταν μπήκα στο βιβλιοπωλείο  ζήτησα να μου δώσουν "Το νόημα της ζωής", χωρίς να αναφέρω το όνομα του συγγραφέα. Το αποτέλεσμα ήταν να βρεθώ με το βιβλίο του Φρανκλ στο χέρι και όχι του Τέρυ Ήγκλετον, το οποίο ήθελα. Ενώ ξεκίνησα να πηγαίνω στο ταμείο, συνειδητοποίησα ότι κρατούσα λάθος βιβλίο. Γύρισα πίσω στον υπάλληλο. 

"Όχι αυτό, το άλλο νόημα θέλω. Του Ήγκλετον", είπα, τείνοντάς του το βιβλίο

"Ο Ήγκλετον είναι μαρξιστής", μου απάντησε, κοιτάζοντάς με επίμονα στα μάτια, θαρρείς και προσπαθούσε να με αποτρέψει.

"Ε, ναι. Το ξέρω. Το έχω διαβάσει το βιβλίο του",  είπα εγώ αδιάφορα. Κύλησαν λίγα δευτερόλεπτα ασυνήθιστα αμήχανης σιωπής. 

"Ο Φρανκλ τι είναι;", ρώτησα για να την σπάσω. 

Με κοίταξε παραξενεμένος. Σίγουρα δεν το περίμενε.

Παραλίγο να του πω "εσύ το άρχισες", αλλά συγκρατήθηκα. 

"Ο Φρανκλ δεν είναι μαρξιστής", απάντησε, μετά από σύντομη σκέψη.

Πρόσεξα καλύτερα το εξώφυλλο του βιβλίου που ακόμη κρατούσα. 

Πάνω από 12 εκατ. αντίτυπα παγκοσμίως. 

Ένα από τα καλύτερα βιβλία όλων των εποχών. 

11η χιλιάδα.

Μετά διάβασα το οπισθόφυλλο, ύστερα το αυτί και, εν τέλει, κατατοπίστηκα. 

Δεν συνέχισα το διάλογο με τον υπάλληλο. Έτσι κι αλλιώς άκρη δεν έβγαζα. Έψαξα στα ράφια το βιβλίο του Ήγκλετον, το οποίο είχα αγοράσει λίγο καιρό πριν, αλλά μόλις το διάβασα το χάρισα στον γιο μου, επειδή έκρινα πως κάθε γιος πρέπει να το διαβάσει. Είναι από εκείνα τα βιβλία που διαβάζονται ξανά και ξανά. Τέλος πάντων, γύρισα στο σπίτι με τα δύο νοήματα της ζωής στην τσάντα. Και επειδή του Ήγκλετον το είχα διαβάσει, ξεκίνησα από του Φρανκλ. Ο Φρανκλ χαρακτηρίζεται ως ένας από τους σημαντικότερους διανοητές του 20ου αιώνα. Καθηγητής Νευρολογίας και Ψυχιατρικής στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης και για 25 χρόνια διευθυντής της περίφημης Νευρολογικής Πολυκλινικής της, όπως γράφει στο αυτί του βιβλίου. Το βιβλίο έχει δύο μέρη. Στο πρώτο ο συγγραφέας εξιστορεί τη ζωή του στα τέσσερα διαφορετικά στρατόπεδα συγκέντρωσης στα οποία αιχμαλωτίστηκε... 

Στο δεύτερο μέρος αναλύει τη μέθοδο ψυχοθεραπείας που έχει αναπτύξει, την οποία αποκαλεί Λογοθεραπεία. Στη μέθοδο αυτή ο ψυχοθεραπευτής δεν λειτουργεί όπως ο φροϋδικός ψυχαναλυτής, που αναμοχλεύει τα ψυχικά τραύματα του παρελθόντος και τα όποια απωθημένα έχει το άτομο, που αποζητά τη θεραπεία.  Το τονίζει, κατ' επανάληψη. 

"Τίποτα δεν ξεγίνεται και τίποτα δεν μπορείς να ξεκάνεις. Θα έλεγα κάλλιστα ότι το να έχεις υπάρξει είναι ο ασφαλέστερος τρόπος να υπάρχεις" (σελ. 184)

Ό,τι έγινε, έγινε! Το νόημα δεν υπάρχει σε ό,τι κάναμε, αλλά σε αυτό που σκοπεύουμε να κάνουμε... Κι αυτό, επίσης, το τονίζει κατ' επανάληψη.  

Αυτό που όντως χρειάζεται ο άνθρωπος δεν είναι μια κατάσταση δίχως εντάσεις, αλλά μάλλον η πάλη και ο αγώνας για έναν άξιο λόγου σκοπό, ένα ελεύθερα επιλεγμένο καθήκον. Αυτό που χρειάζεται δεν είναι η αποφόρτιση της έντασης με κάθε τίμημα, αλλά η κλήση ενός εν δυνάμει καθήκοντος που τον περιμένει, για να το εκπληρώσει. Αυτό που χρειάζεται ο άνθρωπος δεν είναι η ομοιόσταση, αλλά αυτό που αποκαλώ "νοο-δυναμική", ήτοι η υπαρξιακή δυναμική σε ένα πολικό πεδίο έντασης, όπου ο ένας πόλος αντιπροσωπεύεται από ένα νόημα που αναμένει να εκπληρωθεί και ο άλλος από τον άνθρωπο που έχει να το εκπληρώσει. (σελ. 163)

Το μυαλό μου φτιάχνει μια εικόνα για τη "νοο-δυναμική", όπως την περιγράφει ο Φρανκλ. Ένα καρότο από τη μία,  ένα χαριτωμένο τετράποδο από την άλλη,  που τρέχει και δεν  φτάνει... Ίσως κι ένα μαστίγιο: ο σκοπός!

Το εν δυνάμει καθήκον κινεί τον τροχό και, σύμφωνα με τον Φρανκλ, κάνει τη ζωή έμπλεη νοήματος. Μπορεί. Μπορεί και όχι. Όπως και να' χει το βιβλίο παρουσιάζει ενδιαφέρον.  Η μέθοδος της "παράδοξης επιθυμίας" μέσω της οποίας μπορεί ένα άτομο να ξεπεράσει μια συγκεκριμένη φοβία, έτσι όπως αποδίδεται αναλυτικά και με παραδείγματα από τον συγγραφέα, έχει τη δυνατότητα να βοηθήσει κάποιον που θέλει να βοηθηθεί. Το διάβασα προσεκτικά το βιβλίο, κράτησα σημειώσεις, το επέλεξα και ως βιβλίο αναφοράς στη λέσχη ανάγνωσης την προηγούμενη Κυριακή. Δεν έπεισα, ωστόσο, τους συναναγνώστες μου. 

Η αλήθεια είναι πως δεν επέμενα ιδιαίτερα να τους πείσω. Και ο λόγος που δεν επέμενα έχει να κάνει με την προσωπική μου επιλογή για το νόημα της ζωής, η οποία τείνει περισσότερο προς τη θέση του χιουμορίστα, πλην ... μαρξιστή, Τέρυ Ήγκλετον, ο οποίος από τον πρόλογο κιόλας του βιβλίου του ξεκαθαρίζει πως ό,τι έχει σχέση με το νόημα της ζωής δεν μπορεί να είναι και τόσο ξεκάθαρο.

" Το "Ποιο είναι το νόημα της ζωής", φαίνεται εκ πρώτης όψεως να είναι μια ερώτηση του τύπου "Ποια είναι η πρωτεύουσα της Αλβανίας;" ή "Τι χρώμα έχει το ελεφαντόδοντο;". Είναι όμως; Ή μήπως μοιάζει περισσότερο με το "Τι γεύση έχει η γεωμετρία;" ".

Aπό την αρχή παίρνει σαφή θέση και ύστερα, αφού περιέλθει στις φιλοσοφικές αναζητήσεις και τους στοχασμούς των Σαίξπηρ, Σoπενάουερ, Μαρξ, Νίτσε, Μπέκετ, κλπ, καταλήγει στο συμπέρασμα πως το νόημα της ζωής κατάντησε προβληματικό στους μεταμοντέρνους καιρούς και πως η αίσθηση της απουσίας νοήματος ωθεί τον σύγχρονο άνθρωπο σε κάθε λογής υποκατάστατα: σεξ, ποδόσφαιρο, χρήμα, θρησκείες, φονταμενταλισμό, life style...

Κι ενώ οι άνθρωποι χάνονται στην αναζήτηση νοήματος, τελικά, μια ορχήστρα τζαζ θα μπορούσε να φωτίσει τον δρόμο τους...

Ε, ναι το λάτρεψα το βιβλίο. Από τη μια "η γεύση της γεωμετρίας" και η μουσική τζαζ από την άλλη το χιούμορ, τα γλωσσικά παιχνίδια του Βιτγκεστάιν, τα αποσπάσματα από έργα κλασικής λογοτεχνίας συναπαρτίζουν ένα βιβλίο που χαίρεσαι να το διαβάζεις ξανά και ξανά. 

Ωστόσο, τα δυο βίβλια που έχουν τίτλο "Το νόημα της ζωής", αλλά εντελώς διαφορετική προσέγγιση, ούτε λίγο ούτε πολύ καταλήγουν στο ίδιο συμπέρασμα.

Δεν μπορεί να υπάρξει νόημα σε μια ζωή χωρίς την "αυθυπέρβαση της ανθρώπινης ύπαρξης", λέει ο Φρανκλ, ρητά και κατηγορηματικά. 

Από την άλλη, ο Ήγκλετον, χρησιμοποιώντας την αναλογία της τζαζ ορχήστρας, καταλήγει  στο συμπέρασμα πως "Υπάρχει η αυτοπραγμάτωση, αλλά μόνο μέσω της απώλειας του εαυτού μέσα στο μουσικό σύνολο".

Δηλαδή, τόσο από ψυχιατρικής όσο και από ... μαρξιστικής οπτικής, το συμπέρασμα είναι το εξής: αν θέλεις να βρεις ένα νόημα στη ζωή ξεπέρνα τον εαυτό και ζήσε αρμονικά με το (μουσικό) σύνολο...

Δεν πιστεύω πως η απάντηση αυτή μπορεί να γίνει γενικώς αποδεκτή. 

Άλλωστε, γιατί θα πρέπει να δεχτούμε μια και μοναδική απάντηση στο τόσο ενδιαφέρον (και δυστυχώς για κάποιους ψυχοβόρο) ερώτημα; 

Περίπου δέκα χρόνια πριν με αφορμή το βιβλίο, ενός άλλου διάσημου ανατρεπτικού χιουμορίστα, του Τομ Ρόμπινς είχα αναρτήσει κείμενο με τίτλο "Ποιο είναι το νόημα της ζωής;" (εδώ)

Τώρα, με την ωριμότητα μιας επιπλέον δεκαετίας και μετά από ποικίλα αναγνώσματα, που πραγματεύονται το θέμα από κάθε σχεδόν οπτική, μπορώ να πω με βεβαιότητα πως η ζωή είναι γεμάτη νοήματα. Αλλά τι θα μπορούσε να συνιστά ένα σύνολο νοημάτων, αν όχι ένα ...υπερνόημα; Άρα λογικά καταλήγω στο συμπέρασμα πως η ίδια η ζωή είναι από μόνη της το νόημα! Γι' αυτό μην το αναζητάτε, απλά ζήστε το.

----------------------------------------------------------

Αφιερωμένο στον αγαπημένο μου ποιητή, που γεννήθηκε την πρώτη μέρα της Άνοιξης!

* Από το ποίημα "A Psalm of Life", του Henry Wadsworth Longfellow (1807-1882)
Lives of great men all remind us
We ca make our lives sublime
And, departing, leave behind us
Footprints on the sands of time. (Σ.τ.Μ)

"Τσιμπολογώντας" στο μάθημα των Μαθηματικών...

Η τριγωνομετρία τα τελευταία χρόνια παίζει καθοριστικό ρόλο στα θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων στο μάθημα των Μαθηματικών. Στο μάθημα της Φυσικής ακόμη πιο συχνά. Παρόλα αυτά η διδασκαλία της στο Γυμνάσιο έχει περιοριστεί αλόγιστα, ειδικά δε στη Β' Γυμνασίου, όπου αντικειμενικά η ύλη των Μαθηματικών που έχει απομείνει, μετά τον εξορθολογισμό της ύλης και λίγη είναι και - όπως και σε όλες τις τάξεις - εντελώς αποσπασματική, τσιμπολογήματα από δω και από κει. 

"Μόλις πάω να καταλάβω πώς γίνεται κάτι, αλλάζουμε κεφάλαιο", μου είπε μια μαθήτρια με χαμηλή επίδοση προσφάτως, σε μια κατ' ιδίαν συζήτηση που είχαμε, όταν την κάλεσα, για να διερευνήσω τα βαθύτερα αίτια της χαμηλής της επίδοσης. 

Και είναι πολλά παιδιά που βιώνουν ακριβώς ό,τι βιώνει η συγκεκριμένη μαθήτρια. Απογοήτευση. Πάνω που πάνε να καταλάβουν κάτι, τσουπ, αλλάζουμε κεφάλαιο, πεταγόμαστε σε άλλο θέμα, με μοναδικό σκοπό να τσιμπολογήσουμε λιγάκι κι από κει και στην καλύτερη περίπτωση τα παιδιά παπαγαλίζουν δυο τρεις έννοιες, που τις θυμούνται για λίγο καιρό και μετά τις ξεχνούν, αφού έτσι μετέωρες που υπάρχουν στο κεφάλι τους, καταρρεύουν μια ώρα αρχύτερα. 

Φέτος, στην τριγωνομετρία αφού δίδαξα ό,τι προβλέπεται, δηλαδή τις δύο πρώτες παραγράφους του βιβλίου, έκανα όλα τα προβλήματα της δεύτερης παραγράφου, στην τάξη. Όλα εκτός από αυτό με το μπιλιάρδο. Εν πάση περιπτώσει, υπολογίσαμε την απόσταστη των πλοίων, το ύψος του πύργου, όπως και το ύψος στο οποίο έφτασε ο χαρταετός του Μάκη (ασκήσεις σελ. 141). Την τελευταία μάλιστα τη συνδυάσαμε με το έθιμο της Καθαρής Δευτέρας, κάτι που έφερε στην ατζέντα και το θέμα της παράδοσης. Τα ήθη και τα έθιμα. Θα μου πει κάποιος, μα στο μάθημα των Μαθηματικών μιλάτε για την παράδοση; Ναι, θα απαντήσω. Και στο μάθημα των Μαθηματικών και σε όλα τα μαθήματα, όπου μας δίνεται η ευκαιρία. Οι πολιπολιτισμικές τάξεις το απαιτούν και το ζητούμενο είναι να περάσουμε από την πολυπολιτισμικότητα στη διαπολιτισμικότητα, κάτι που απαιτεί συστηματική δουλειά και σοβαρότητα από όλους μας. Τέλος πάντων, το θέμα μου είναι το τσιμπολόγημα της ύλης και ειδικά στο κεφάλαιο της τριγωνομετρίας της δευτέρας Γυμνασίου. Μετά το τριήμερο της Καθαρής Δευτέρας, κανονικά θα έπρεπε να ξεκινήσω με το επόμενο κεφάλαιο, εξίσου σημαντικό, τη μέτρηση του κύκλου. Κάτι όμως μέσα μου διαμαρτύρονταν έντονα. 

Τελευταία στιγμή αποφάσισα να ενδώσω στην εσωτερική μου φωνή. 

"Πριν περάσουμε στο επόμενο κεφάλαιο, θέλω να αφιερώσουμε λίγη ώρα στα προβλήματα της σελίδας 155. Είναι εκτός ύλης, αλλά με όσα μέχρι τώρα γνωρίζουμε μπορούμε να τα λύσουμε..."

Αδιαμαρτύρητα άνοιξαν τα βιβλία τους στη σελίδα 155. 

"Ποιο από αυτά τα προβλήματα σας αρέσει; Ποια εικόνα βρίσκετε πιο ωραία;"

Αρκετά παιδιά επέλεξαν την τελευταία. "Shopping Therapy"! Ένας διάλεξε αυτήν της άσκησης 5, επειδή είχε το αεροπλάνο. 

"Ποια είναι πιο...ανοιξιάτικη;", ξαναρώτησα περιμένοντας να καταλήξουν στο πρόβλημα που είχα διαλέξει να λύσουμε. 

"Αυτή με τα πουλιά!", είπαν μερικά παιδιά. 

"Σωστά, εκ πρώτης όψεως είναι αυτή με τα δυο σπουργίτια. Για διαβάστε όμως τον τίτλο της άσκησης. "Σε μια ρώγα από σταφύλι",  άρα σε τι εποχή αναφέρεται;". 

Έγινε η συζήτηση, πότε βγαίνουν τα σταφύλια κι άλλα σχετικά. Στο μεταξύ η φωνή μέσα μου έλεγε κάποιους στίχους ξανά και ξανά.

Καλυμμένες μορφές προσώπων, τραγικές, 

με τη θλίψη κρυμμένη πίσω από ένα μαντήλι.

Κι όμως, τι γέλια τι χαρές, καθώς τρυγούν,

όλοι μαζί σε ένα τσαμπί σταφύλι

Ήθελα να κρατήσω μόνο τα γέλια και τις χαρές για τα παιδιά μου, εκείνη την ώρα.

"Ξέρετε για ποιο λόγο μου αρέσει πολύ αυτό το πρόβλημα;", ρώτησα. Πήρα διάφορες υποθετικές απαντήσεις. Φυσικά, κανένα παιδί δεν μάντεψε ότι μου αρέσει επειδή υπάρχει στο βιβλίο του Λεονάρντο Πιζάνο, του γνωστού Φιμπονάτσι, δηλαδή υπάρχει στο Liber Abbaci. Το βιβλίο του άβακα ή, επί το ορθότερον, το βιβλίο των υπολογισμών. 

Το ίδιο μάθημα το επανέλαβα και στα τρία τμήματα της Β, που διδάσκω.

Το αξιοσημείωτο είναι πως στα δύο τμήματα που ο μέσος όρος είναι ψηλότερος κατά τέσσερις μονάδες από ότι στο τρίτο κανένα παιδί δεν έκανε τη σωστή κίνηση. Αντιθέτως στο τμήμα με την χαμηλότερη επίδοση, τουλάχιστον πέντε παιδιά, αφού διάβασαν το πρόβλημα ανέτρεξαν στο τέλος του βιβλίου για να δουν τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών. Ανάμεσα στους πέντε και δύο με χαμηλότατη επίδοση. Τους είχα δώσει πέντε λεπτά να ασχοληθούν με το πρόβλημα κι όσο τα παιδιά το μελετούσαν είχα καθίσει στην έδρα και τα παρατηρούσα. 

Δεν μπορείτε να φανταστείτε πόση χαρά ένιωσα όταν είδα πως άρχισαν να ψάχνουν το συνημίτονο των 30 και των 60 μοιρών στον πίνακα. 

"Μπράβο! Κάποιοι καταλάβατε πολύ καλά πως θα το αντιμετωπίσετε! Μπράβο σας!", είπα χαρούμενη. Σήκωσαν τα κεφάλια κι άρχισαν να κοιτάζονται μεταξύ τους με απορία.

"Πώς το καταλάβατε, κυρία; Πού ξέρετε τι γράφουμε;",  ρώτησε καχύποπτα κάποιος, δικαίως, επειδή από τη θέση μου δεν έβλεπα τα τετράδιά τους. 

"Έχω κρυφούς καθρέφτες στο ταβάνι...", του απάντησα, γελώντας. Όλοι κοίταξαν διερευνητικά προς τα πάνω.

Σηκώθηκα και έλυσα την άσκηση στον πίνακα, εξηγώντας πως ο λόγος που την κάναμε ήταν για να  εξετάσουμε αν έχουν κατανοήσει στο βαθμό που πρέπει την αξία και τη λειτουργία των τριγωνομετρικών αριθμών που είχαν μάθει. 

Απέφυγα, βέβαια, να τους πω ότι ανάμεσά τους, αυτοί που είχαν λύσει μόνοι τους σωστά όλες τις "υπολογιστικές" ασκήσεις δεν κατάφεραν να λύσουν το πρόβλημα με τα σπουργίτια.

Ωστόσο, για μια ακόμη φορά, διαπίστωσα πως τα "τσιμπολογήματα" που κάνουμε στην ύλη στο Γυμνάσιο, η αδυναμία εμβάθυνσης, η διαισθητική κατά κύριο λόγο προσέγγιση, και η μη ενασχόληση επαρκώς με προβλήματα, διαμορφώνει ψευδή εντύπωση και στα παιδιά και στους καθηγητές για το ποιος είναι "καλός στα Μαθηματικά και ποιος όχι...", με ό,τι κι αν σημαίνει αυτό. 

Η ώρα "χάθηκε", χωρίς να καλύψω το πλάνο. Αυτή η χαμένη ώρα όμως με τα τσιμπολογήματα, ανέδειξε για μιαν ακόμη φορά, πόσο λάθος διδάσκονται τα Μαθηματικά.

100 χρόνια από τη γέννηση του Richard Skemp!

Ακριβώς έναν αιώνα πριν, στις 10 Μαρτίου του 1919, γεννήθηκε στο Μπρίστολ, ο Richard Skemp, που έμελλε να ανοίξει ένα νέο δρόμο  στη διδασκαλία των Μαθηματικών, εισάγοντας στη Διδακτική τους εργαλεία από τη φαρέτρα και τη μεθοδολογία μιας άλλη επιστήμης.

Γιος καθηγητή Μαθηματικών του Πανεπιστημίου του Μπρίστολ, γαλουχήθηκε σε ένα περιβάλλον που ευνοούσε τη μαθηματική δραστηριότητα. Σπούδασε Μαθηματικά και, μετά τον πόλεμο, δίδαξε για λίγο σε ένα δημόσιο σχολείο μέσης εκπαίδευσης. 

Δεν υπεισέρχομαι σε λεπτομέρειες για το πού σπούδασε και για το πού δίδαξε, επειδή δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία για όσα θέλω να πω στη συνέχεια. Αυτό που έχει σημασία είναι πως όταν ο Σκεμπ βρέθηκε αντιμέτωπος με τη δυσκολία που σχεδόν πάντα συναντά ο δάσκαλος, και ειδικά ο νέος δάσκαλος, στην προσπάθειά του να διδάξει αποτελεσματικά στα παιδιά (ακόμη και τα στοιχειώδη) Μαθηματικά, δεν το αντιμετώπισε παθητικά.

Ο Σκεμπ δεν αποδέχτηκε την κατάσταση και δεν συμβιβάστηκε με την αναποτελεσματική του διδασκαλία. Αντιθέτως, αναζήτησε λύσεις. 

Αυτό από μόνο του οδηγεί σε δύο τουλάχιστον συμπεράσματα: 

1ο. Ο Σκεμπ έκανε συστηματικά αυτοαξιολόγηση και αποτίμηση της δουλειάς του

( όπως οφείλει να κάνει κάθε δάσκαλος που σέβεται τον εαυτό του...)

2ο. Ο Σκεμπ επέμενε να πετύχει τον σκοπό του, αναζητώντας τα αίτια της αποτυχίας του (όπως επίσης οφείλει να κάνει ο κάθε δάσκαλος που δεν έγινε κατά τύχη δάσκαλος...)

Πιθανότητα, διαπίστωσε πως η λύση δεν μπορούσε να δοθεί άμεσα από το εργασιακό του περιβάλλον και με τους παραδοσιακούς τρόπους, του μέντορα ή ό,τι άλλου προβλέπεται, οπότε κατέφυγε αλλού. Αποφάσισε να βγει από τη σχολική τάξη και να καθίσει για μερικά χρόνια ακόμη στα θρανία. Στα 33 του, το 1954 δηλαδή, άρχισε σπουδές στην Ψυχολογία. 

Τα ερωτήματα που τον απασχολούσαν, μεταξύ άλλων, ήταν το πώς μαθαίνουν τα παιδιά, ποια μπορεί να είναι τα ψυχολογικά εμπόδια στη μάθηση των Μαθηματικών και τι θα πρέπει να κάνει ο δάσκαλος, όταν θέλει να πετύχει τον σκοπό του. Τουλάχιστον, αυτά αντιλαμβάνομαι από όσα έχω διαβάσει σχετικά με τη δουλειά του, η οποία -ομολογώ- με βοήθησε να εξηγήσω αρκετά από 'κείνα τα "προβληματικά φαινόμενα" που παρατηρεί ο δάσκαλος των Μαθηματικών, όπως παραδείγματος χάριν η εμμονή των παιδιών -και κυρίως των "καλών μαθητών"- να μετατρέπουν κάθε κλάσμα που συναντούν, ακόμη και το 1/3, σε δεκαδικό αριθμό. 

Η πρώτη φορά που βρήκα άρθρα και βιβλία του Ρίτσαρντ Σκεμπ, ενάμιση χρόνο πριν, ήταν όταν θέλησα να ετοιμάσω μια εισήγηση για την ημερίδα της Ελληνογαλλικής Σχολής Καλαμαρί, με θέμα "Η εννοιολογική κατανόηση των Μαθηματικών ως πρόκληση στο σύγχρονο σχολείο, Δημοτικό-Γυμνάσιο-Λύκειο". (Η σύντομη εισήγησή μου υπάρχει εδώ).

Ο Σκεμπ αντιδιαστέλλει την εννοιολογική κατανόηση των παιδιών, που είναι άλλωστε και το ζητούμενο, με εκείνη που ο ίδιος ονομάζει "εργαλειακή κατανόηση" και αφορά στην εκμάθηση του "πώς κάνω κάτι", χωρίς να γνωρίζω ούτε πότε ούτε γιατί το κάνω. 

(Το άρθρο του Σκεμπ, όπου αναπτύσσει τη θεωρία του υπάρχει εδώ και σε μετάφραση του Τάσου Πατρώνη εδώ.)

Η ψυχολογική προσέγγιση της διδασκαλίας των Μαθηματικών εγκαθίδρυσε ένα νέο κλάδο στις Επιστήμες της Εκπαίδευσης, την Ψυχολογία των Μαθηματικών. 

Αυτή ήταν η μεγάλη προσφορά του Σκεμπ στη Διδακτική των Μαθηματικών. 

Όμως εκατό χρόνια μετά τη γέννησή του Ρίτσαρντ Σκεμπ και σχεδόν πενήντα χρόνια από την έκδοση του βιβλίου του The Psychology of Learning Mathematics, (Penguin, 1971), συνεχίζουμε στη χώρα μας να εφαρμόζουμε κυρίως μοντέλα μπιχεβιοριστικής θεωρίας. Κι αυτό γίνεται ακόμη πιο τραγικό, όταν το ζητούμενο είναι να μάθουν όλα τα παιδιά τα ίδια ακριβώς "Μαθηματικά". 

Και βάζω τα εισαγωγικά, επειδή λέγοντας "Μαθηματικά" εννοώ τα "εργαλειακά Μαθηματικά", δηλαδή το σύνολο κάποιων αλγοριθμικών διαδικασιών που, εν τέλει, καταφέρνουν να μάθουν τα παιδιά όπως, για παράδειγμα, η επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον τύπο της διακρίνουσας! Κάτι που οι περισσότεροι το μαθαίνουν καλά! Γι' αυτό, άλλωστε, όπου δουν τριώνυμο, είτε πρέπει είτε όχι, το βάζουν κάτω...και α=... β=...γ=... Δ=...  βρίσκουν τις ρίζες, τελικά!

Γιατί το κάνουν; Το κάνουν επειδή μπορούν να το κάνουν! Επειδή το έχουν μάθει.

Συνήθως κάνουμε ό,τι μας κάνει να νιώθουμε ασφαλείς, ό,τι γίνεται ρουτίνα, ό,τι δεν απαιτεί ιδιαίτερη προσπάθεια. Και μήπως μόνο στα Μαθηματικά λειτουργούμε κατ' αυτόν τον τρόπο; Μήπως δεν είναι στη φύση μας το να λειτουργούμε εκ του ασφαλούς, γενικά; 

Αλλά αυτή η εγγενής ανάγκη για ασφάλεια ορθώνει εμπόδια στα νοητικά άλματα που απαιτούν χρόνο με το χρόνο τα Σχολικά Μαθηματικά,  άλματα που δυσκολεύουν και εμάς και τα παιδιά.

Σήμερα συμπληρώνεται ένας αιώνας από τη γέννηση του πρωτοπόρου Ρίτσαρντ Σκεμπ, αυτού του ασυμβίβαστου δασκάλου, που όχι μόνο δεν δίστασε να παραδεχτεί πως η διδασκαλία του δεν ήταν αποτελεσματική, αλλά αποφάσισε να βγει από την τάξη του, να ξαναγίνει μαθητής, για να μάθει καινούρια γράμματα, γράμματα σπουδάματα, και να χαράξει ένα καινούριο διδακτικό μονοπάτι, διασυνδέοντας τη Διδακτική των Μαθηματικών με την Ψυχολογία. 

Έναν αιώνα μετά όμως εμείς εδώ ακόμη παλεύουμε με... τα αψυχολόγητα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών, που επιμένουν να παραβλέπουν το γεγονός πως αυτά που διδάσκουμε και ο τρόπος που τα διδάσκουμε δεν αφορούν στον ίδιο βαθμό όλα ανεξαιρέτως τα παιδιά... 

Έναν αιώνα μετά τη γέννηση του Ρίτσαρντ Σκεμπ το πρόβλημα της Μαθηματικής Εκπαίδευσης  είναι ένα πρόβλημα ανοιχτό, μια συνεχής πρόκληση και γι' αυτό άλλωστε, αν και πρόβλημα, είναι πάντα γοητευτικό...

Σχηματοποίηση της "εργαλειακής" και της "εννοιολογικής" κατανόησης
από  την πλευρά του παιδιού και του εκπαιδευτικού. 

Μια ενδιαφέρουσα συνέντευξη του Ρίτσαρντ Σκεμπ, που θίγει πολλά από τα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε σήμερα στην τάξη, υπάρχει εδώ.

"Σε φάση μετάβασης...", παρουσίαση από την Βίβιαν Αβρααμίδου-Πλούμπη

Η Κατερίνα Καλφοπούλου, η Μαθηματικός και εκπαιδευτικός που μας έκανε ν’ αγαπήσουμε το Γιάννη της που αγάπησε και αγαπάει η ίδια (τίτλος του πρώτου της βιβλίου «Ο Γιάννης που αγάπησα»), επανέρχεται μ’ ένα ακόμα βιβλίο, με κεντρικό, αυτή τη φορά, ερώτημα «Γιατί τα παιδιά μας αποτυγχάνουν σε τέτοιο μεγάλο βαθμό στα Μαθηματικά». Ο τίτλος του δεύτερου αυτού βιβλίου είναι «Σε φάση μετάβασης» και κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Τραυλός.

Γιατί τα παιδιά μας αποτυγχάνουν σε τέτοιο μεγάλο βαθμό στα Μαθηματικά;

Δεν υπάρχει βέβαια αμφισβήτηση σχετικά με την αποτυχία. Πρόκειται για μια διαπίστωση, μετρημένη ή βιωμένη, με παραδείγματα είτε από τις προσωπικές μας εμπειρίες είτε από τον περίγυρό μας. Όταν αυτή την διαπίστωση, όμως, όχι απλώς την αναφέρει αλλά τη μελετά και αναζητά απαντήσεις μια εκπαιδευτικός, χωρίς φόβο και χωρίς πάθος, χωρίς να κρύβει τις αλήθειες, παίρνει ένα διαφορετικό βάρος και αποτελεί ένα ελπιδοφόρο γεγονός.

Στο πόνημά της η Καλφοπούλου, έρχεται να διερευνήσει το θέμα μέσα από τις δικές της εμπειρίες ως εκπαιδευτικού και συγκεκριμένα αυτή τη φορά, ως εκπαιδευτικού στις τρεις τάξεις του Γυμνασίου. Στη μετάβαση από τα ξέγνοιαστα παιδικά χρόνια, στα χρόνια της εφηβείας, ένα βήμα πριν την ωριμότητα. Τα χρόνια, που όπως γράφει η ίδια, «οι μικροί μαθητές, έχοντας μυηθεί τα προηγούμενα έξι χρόνια στο επίπεδο του συμβολικού αντανακλαστικού, αρνούνται […] να αλλάξουν τις προσφιλείς και μάλλον αποτελεσματικές συνήθειές τους και να προσπαθήσουν περισσότερο, για να φτάσουν στο ποθητό επίπεδο εννοιολογικής κατανόησης». Εύκολη και αποτελεσματική η παπαγαλία, ναι, ακόμα και στον κλάδο των Μαθηματικών.

Δικό τους το λάθος και το πρόβλημα λοιπόν; Των ίδιων των μαθητών; Τι ρόλο παίζει στη «συμβολική πρωτοβουλία», στην κατανόηση δηλαδή και τη σωστή χρήση των μαθηματικών συμβόλων, ο ίδιος εκπαιδευτικός; Από την άλλη, πόσο επηρεάζει ο ίδιος ο γονιός, όταν, προκειμένου να πάει την επομένη στο σχολείο ο κανακάρης τους με λυμένες στην εντέλεια τις ασκήσεις, χώνει το μαγικό του χέρι στο τετράδιο του παιδιού;

Κι αν αυτοί οι τρεις παράγοντες ευτυχήσουν να συνυπάρξουν κάτω από ευθυγραμμισμένα αστέρια, πόση ζημιά μπορεί να κάνει στο τελικό αποτέλεσμα από μόνη της η ίδια η πολιτεία με τα συστήματα, τα προγράμματα και τα απηρχαιωμένα βιβλία που εξακολουθεί να παρέχει;

Με τις εμπειρίες της, τις ανησυχίες της και τις ιστορίες που καταγράφει καθημερινά στην επαφή της με τους μαθητές, η Κατερίνα Καλφοπούλου μάς αποκαλύπτει πολλά. Για τα στραβά που συμβαίνουν, για τα χαριτωμένα που διαδραματίζονται στις μαθητικές τάξεις, για τις αγωνίες μπροστά αλλά και πίσω από την έδρα.

Με τη χαρακτηριστικά ζωηρή και γλαφυρή συνάμα γραφή της, για μια ακόμα φορά θα μας μπάσει από την κύρια πόρτα άσχετα από την ηλικία μας ή την σχέση μας με τον κόσμο του σχολείου, στην ελληνική εκπαίδευση και θα μας μιλήσει για μια από τις πιο παρεξηγημένες ειδικότητες, αυτής των Μαθηματικών με το Μ κεφαλαίο.

Σαν επίλογο σε αυτό το σημείωμα, θα ήθελα να παραβάλω τη δική μου μαρτυρία, ίσως και ομολογία.

Στα τρυφερά εκείνα γυμνασιακά μου χρόνια, μαθήτρια του 20, αποτελούσα το αποκούμπι της φίλης και συμμαθήτριας Αιμιλίας, η οποία περίμενε υπομονετικά στο ακουστικό του τηλεφώνου της κάθε απόγεμα να μοιραστώ μαζί της τη λύση των ασκήσεων που μας έδινε η Μαθηματικός σαν κατ’ οίκον εργασία. Στην πρώτη τάξη του Λυκείου (Τετάρτη Γυμνασίου λεγόταν εκείνα τα χρόνια) αν και με σαφώς μειωμένο βαθμό μελέτης, διατηρούσα τον υψηλό βαθμό των προηγούμενων χρόνων, κυρίως γιατί ο Μαθηματικός μας, έβλεπε με τεράστια συμπάθεια τις αθλητικές μου επιδόσεις.

Στα επόμενα δύο χρόνια, στην προσφυγιά πια, μ’ έναν καθηγητή τον οποίο δεν χώνεψα και δε με χώνεψε ποτέ (έχω διαγράψει, πλέον, ακόμα και τ’ όνομά του) κατέληξα να αποφοιτώ με βαθμό 12. Με τεράστιο πείσμα διάβασα στη συνέχεια μόνη μου και πέρασα με καλή σειρά στο Οικονομικό της Νομικής σχολής, για να πάρω το πτυχίο στα τέσσερα χρόνια και να έχω το θράσος να συνεχίσω με σπουδές στην Στατιστική (η οποία βρίσκεται κάτω από το τμήμα των Μαθηματικών) σε πανεπιστήμιο της Αμερικής.

Με αυτή την αναφορά, θέλω να τονίσω κι εγώ απ’ τη μεριά μου, πως οι παράγοντες οι οποίοι θα επηρεάσουν την πορεία που θα ακολουθήσει το κάθε παιδί, δεν είναι καθόλου εύκολο να αποκωδικοποιηθούν.  Κι ακόμα, πως στο βιβλίο αυτό (όσο και στο προηγούμενο της ίδιας συγγραφέως) βρίσκει ο καθένας μας τη δική του προσωπική ιστορία.

Κατερίνα Καλφοπούλου, σου αφιερώνω εδώ τη δική μου εμπειρία ευχόμενη να καταφέρνεις κάτω από μη ευθυγραμμισμένες αστρικές συμπτώσεις να εμπνέεις πάντα τα παιδιά που διδάσκεις.

* Η Βίβιαν Αβρααμίδου-Πλούμπη είναι συγγραφέας.

Πηγή: Θαλής+Φίλοι, https://thalesandfriends.org/el/book/se-fasi-metavasis/

Το brain drain καλλιεργείται στο σχολείο...

Τον Φεβρουάριο του 1990, την εποχή που εγώ διήγα το δεύτερο μισό της τρίτης δεκαετίας της ζωής μου και προσπαθούσα να αποδείξω στους άρρενες ομότεχνους μου πως μια νέα γυναίκα με πτυχίο μαθηματικού μπορεί -εξίσου καλά με τους άντρες- να διδάξει μαθηματικά, ο Μαρτσέλο Ντ' Όρτα στο Μιλάνο αντιμετώπιζε τις δικές του φαιδρές επαγγελματικές καταστάσεις. Ο Μαρτσέλο Ντ' Όρτα, δάσκαλος διορισμένος σε κάποιο σχολείο των φτωχών ναπολιτάνικων συνοικιών, δίδασκε σε μικρά παιδιά γλώσσα για πάνω από δέκα χρόνια. Έχοντας διαβάσει πολλές εκθέσεις μικρών μαθητών στο διάστημα που δίδασκε, αποφάσισε να επιλέξει τις πιο διασκεδαστικές και τις πιο απίθανες, όπως ο ίδιος τις χαρακτηρίζει, και να τις εκδώσει σε έναν τόμο.
Έτσι προέκυψε το "Εγώ ελπίζω να τη βολέψω", που το είχα διαβάσει πολλά χρόνια πριν, αλλά σήμερα έπεσε πάλι στα χέρια μου, καθώς στο διάλειμμα είχα πάει στη βιβλιοθήκη και τακτοποιούσα στα ράφια τα βιβλία που είχαν επιστρέψει νωρίτερα τα παιδιά. Είχα κενό την επόμενη ώρα, οπότε δεν βιαζόμουν καθόλου. Από την άλλη είχα κάθε λόγο να καθυστερώ στη βιβλιοθήκη, για να αποφύγω τις γκρίνιες των αγαπητών μου συναδέλφων. Όπως σε όλα τα σχολεία, όπου  στο  γραφείο των διδασκόντων μια μικρή ή μεγάλη ομάδα ετερόκλητων ανθρώπων προσπαθεί να συνυπάρξει, τηρώντας κατά το δυνατόν τα όρια της ευπρέπειας, έτσι και στο δικό μου. Υπάρχουν, βέβαια, φορές που η ευπρέπεια χάνει τα ... όριά της και τότε σχεδόν ο καθένας από μας αποζητά το καταφύγιό του. Άλλος στην αίθουσα πληροφορικής, όλος στο εργαστήρι της φυσικής, άλλος στην αυλή, εγώ στη βιβλιοθήκη, όπου μπορεί ο καθείς καταφεύγει, για να αποφύγει ανόητες αντιπαραθέσεις ή/και ενίοτε αναποτελεσματικές διενέξεις. 

Σήμερα στο σχολείο όλα δούλευαν ρολόι, οπότε από συνήθεια περισσότερο ξέμεινα στη βιβλιοθήκη τακτοποιώντας τα βιβλία κι όχι επειδή είχα ανάγκη από λίγη ηρεμία.

Καθώς τακτοποιούσα λοιπόν, το κόκκινο βιβλιαράκι το Ντ' Όρτα τράβηξε την προσοχή μου.

Το άνοιξα τυχαία και διάβασα μια από τις εξήντα εκθέσεις, την οποία στη συνέχεια της μέρας δεν μπορούσα να βγάλω από τη σκέψη μου.  Τώρα έχει πέσει μαύρο σκοτάδι έξω κι εγώ ακόμη σκέφτομαι τι είχε γράψει εκείνο το μικρό παιδί σε κάποια φτωχική συνοικία της Νάπολης, μπορεί και σαράντα χρόνια πριν.

Η έκθεση είχε τίτλο "Περιγράψτε την αίθουσά μας" κι ο μικρός είχε γράψει τα εξής:

   Κάθε χρόνο αλλάζουμε αίθουσα και κάθε χρόνο η δική μας είναι πάντα η πιο άσχημη απ' όλες. Ο δάσκαλός μας είπε πως το φταίξιμο είναι δικό του, παρόλο που αυτός δε μπορεί να κάνει τίποτα. Αυτός μας τα λέει όλα σε μας, δεν έχει μυστικά και μας το είπε γιατί φταίει αυτός. 

  Αυτός μας είπε ότι στην αρχή του χρόνου, όταν δίνονται οι αίθουσες, γίνεται κόλαση ανάμεσα στους δασκάλους. Ο καθένας θέλει την πιο ωραία αίθουσα και την πιο καινούρια, ιδιαίτερα οι γριές δασκάλες. Τσακώνονται, καβγαδίζουνε, καταριούνται. Ο δάσκαλός μου σκέφτεται ότι αυτοί είναι όλοι βάρβαροι και δε μπαίνει στην κουβέντα. Τότε, όταν βλέπουνε ότι αυτός δε λέει τίποτα για τον εαυτό του, τον παίρνουνε για μαλάκα (με συγχωρείτε για τη λέξη) και του δίνουνε πάντα την πιο βρώμικη αίθουσα.

   Στην πρώτη εγώ ήμουνα πάρα πολύ μικρός, και δεν θυμάμαι τι μας έλειπε. Στη δευτέρα τα καλοριφέρ δε ζεσταίνανε κι εμείς ψοφούσαμε από το κρύο. Στην τρίτη θυμάμαι ότι μας πηγαίνανε από δω κι από κει και δε βρίσκαμε ησυχία. Στην τετάρτη το ντουλαπάκι ήτανε σάπιο και βγαίνανε οι κατσαρίδες από μέσα. Στην πέμπτη που είναι αυτό το χρόνο, έχουμε τα καρεκλάκια των μικρών.

   Η αίθουσά μου είναι πάντα βρώμικια: δεν σκουπίζουνε, δεν πλένουνε, τα καλάθια είναι πάντα γεμάτα. Οι επιστάτες είναι όλοι της καμόρα και δε θέλουνε να κάνουνε τίποτα. Ο διευθυντής τους φωνάζει αλλά αυτοί του τρυπάνε τις ρόδες.

Κάνει καλά ο δάσκαλός μου που θέλει να πάει στο Βορρά. Εγώ όταν μεγαλώσω θα πάω στο Βόρειο Πόλο!

Γέλασα, διαβάζοντας την έκθεση του μικρού. Μετά από την πρώτη αίσθηση φαιδρότητας όμως μια δεύτερη ανάγνωση αποκάλυψε κάποια σημεία που κάθε άλλο παρά φαιδρά είναι και, εν πολλοίς, χαρακτηρίζουν ένα σχολείο εκεί (αλλά και εδώ), τότε (αλλά και τώρα).

1. Οι "γριές δασκάλες" που καβγαδίζουν παίρνουν τις καλύτερες αίθουσες. (όπου αίθουσες βλέπε τα τυχόν προνόμια).

2. Ο δάσκαλος που αποφεύγει τις διενέξεις και στέκει αξιοπρεπώς στους διαπληκτισμούς που λαμβάνουν χώρα στο γραφείο των διδασκόντων, πιθανόν, χαρακτηρίζεται από μαθητές και συναδέλφους μ@λ@κ@ς!

3. Ο διευθυντής, ακόμη κι αν φωνάζει, δεν μπορεί να βάλει τα πράγματα στη θέση τους (ακόμη και στις περιπτώσεις που αυτοί στους οποίους απευθύνεται φωνασκώντας δεν είναι της καμόρα)

4. Ο δάσκαλος διακατέχεται πάντα από την ανάγκη να φύγει στο Βορρά (ή όπου αλλού...), με την ελπίδα πως θα γλυτώσει.

Και τέλος, 

5. Το brain drain, που σε εποχές μεγάλης κρίσης κλιμακώνεται και κάνει τους πάντες να μιλούν γι' αυτό, στην πραγματικότητα καλλιεργείται άτυπα, πλην αδιάκοπα και μεθοδικά, από πολύ νωρίς, στο σχολείο!
Καλλιεργείται στα μικρά παιδιά από τους δασκάλους, εκείνους που επιθυμούν να πετάξουν μακριά, επειδή τα μικρά παιδιά τους θαυμάζουν και λειτουργούν μιμητικά!

Άρα αν επιθυμούμε να ανακόψουμε το  brain drain, ας κοιτάξουμε να αλλάξουμε μυαλά.

"Κάθε σημείο έχει τη δική του ευθεία"

 

Σήμερα το πρωί, το παχύ στρώμα υγρασίας που είχε καλύψει το αυτοκίνητο με ανάγκασε να καθαρίσω τα παράθυρα, για να μπορέσω να οδηγήσω.
Πριν το κάνω όμως, κι ενόσω είχα ακόμη λίγο χρόνο για το σχολείο, μπήκα μέσα και παρατήρησα για λίγα λεπτά τη γειτονιά μου σε τούτη την υδάτινη εκδοχή. Έμοιαζε με εξπρεσιονιστικό πίνακα, όχι μόνο επειδή οι γραμμές ήταν ασαφείς και αλλοιωμένες, αλλά κυρίως επειδή επικρατούσε ένα μελαγχολικό γκρι, ικανό να αποκόπτει από τα μάτια μου την όποια υπολανθάνουσα χαρωπή ακτίνα φωτός. 

"Μα τι στο καλό...", σκέφτηκα, "Φλεβάρης μήνας και δεν έχει βλαστήσει ακόμη ούτε μια απατηλή υπόσχεση;". 

Θυμήθηκα τον περσινό Φλεβάρη! Ζεστό, φωτεινό, λουλουδιασμένο, φορτωμένο από βαριά, ανεκπλήρωτα, πλην πολλά υποσχόμενα, συναισθήματα... Ύστερα θυμήθηκα πως τα συναισθήματα συμβάλλουν στη διαμόρφωση του κόσμου που βλέπουν τα μάτιά μας. Βέβαια, και η αντίληψή μας για τον κόσμο επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό τα συναισθήματά μας. Αλληλεπιδρούν και αλληλοδιαμορφώνονται τα συναισθήματα του ανθρώπου με την αντίληψή του για τον κόσμο, το λένε οι ψυχολόγοι. 

Με αυτές τις σκέψεις καθάρισα τα τζάμια, τουλάχιστον τις επιφάνειες που θα μου επέτρεπαν μιαν ασφαλή οδήγηση, και ξεκίνησα. Στο μεταξύ ο ήλιος άρχισε να ζεσταίνει και οι εξπρεσιονιστικές ακουαρέλες, έδιναν σιγά σιγά τη θέση τους σε φωτεινά ιμπρεσιονιστικά λάδια, που αντανακλούσαν δεκάδες βιαστικά είδωλα ανθρώπων. Όλοι τρέχουν να προλάβουν το χρόνο, τρέχουν να πάρουν το λεωφορείο ή τρέχουν να φτάσουν πριν χτυπήσει  το κουδούνι στο σχολείο... Εγώ όμως δεν βιαζόμουν, επειδή την πρώτη ώρα δεν είχα μάθημα κι έτσι μπορούσα να χαζεύω, να παρατηρώ και να σκέφτομαι. 

Έκανα διάφορες σκέψεις που αφορούσαν κυρίως το σχολείο και τα μύρια προβλήματα που καθημερινά αντιμετωπίζουμε. Μικρά, μεγάλα, σοβαρά, αστεία, επιλύσιμα ή άλυτα. Προβλήματα που επισκιάζουν σε μεγάλο βαθμό τη χαρά που μπορεί να αντλεί ο δάσκαλος όταν δίνεται αποκλειστικά και μόνο στο μάθημά του και ασχολείται κατά βάση με τα δικά του, τα διδακτικά και τα παιδαγωγικά θέματά του. 

Δυστυχώς, όμως, δεν ασχολείται μόνο με αυτά στο σχολείο. Είναι ένα σωρό άλλα πράγματα που κυνηγούν εμάς τους δασκάλους και μας στοιχειώνουν, όπως, για παράδειγμα, η απαίτηση να βάλουμε βαθμό στα προσφυγόπουλα!

"Μα δεν μιλούν ελληνικά!", 

"Μα δεν είναι στην τάξη μου! Είναι στο τμήμα ένταξης την ώρα των Μαθηματικών".

"Δεν τα βλέπω τα παιδιά!". 

Τεράστιο πρόβλημα! Ελπίζω να λυθεί έντιμα. Και ηθικά! 

Δεν μπορώ να βάλω "βαθμό", επειδή πρέπει να βάλω βαθμό.   

"Βάλτε ένα 8", λένε κάποιοι.

"Πώς να το βάλω το 8;", ρωτάω εγώ. "Τι είναι αυτό που θα εκτιμήσω ότι αξίζει 8";

Και, δικαίως, αγανακτώ...

Έφτασα στο σχολείο, άρχισα το μάθημα, με απορρόφησε η διδασκαλία. 

Ο ήλιος ανέβηκε ψηλά, έδειξε 20 βαθμούς το θερμόμετρο! Σε τίποτε δεν θύμιζε το υγρό  ξεκίνημα της μέρας.
Κοίτα να δεις που κι ο φετινός Φλεβάρης θα έχει τις χάρες του. Έτοιμος είναι να φλεβίσει, καλοκαίρι να μυρίσει, η χαρά να πλημμυρίσει...

Μα πού τη βρίσκω τη χαρά, με τούτες τις συνθήκες στο σχολείο, απορώ.

Κι ύστερα κάθομαι και σκέφτομαι πώς πήγε το μάθημα και καταλαβαίνω, γιατί χαίρομαι. 

Σήμερα, ενώ έκανα συναρτήσεις στη Β', έβλεπα μια τον έναν μια τον άλλον να χάνονται ακολουθώντας το βλέμμα τους, στο υπερπέραν, προς την πλευρά του παράθυρου... 

"Αχ, τα έπιασε η Άνοιξη πριν έρθει ακόμη..." σκέφτηκα. Και καθώς κοίταζα τους αφηρημένους και σκεφτόμουν αυτά που σκεφτόμουν ακούω τη φωνή μου να ρωτάει:

"Πόσα σημεία διέρχονται από μια ευθεία;"

Δεν πρόλαβα να συνειδητοποιήσω την ανοησία που ξεστόμισα και να την επαναδιατυπώσω, όταν είδα πολλά χέρια να σηκώνονται. Ακόμη κι οι δυο τρεις που ταξίδευαν νοερά στο ανοιχτό παράθυρο, βιάστηκαν κι αυτοί να σηκώσουν χέρι. 

"Για πείτε...". Με έφαγε η περιέργεια. Είχαν όλοι τους μια απάντηση. 

"Για πες εσύ...", "Για πες κι εσύ...". Κι έλεγαν τα κλασικά: "ένα", "δύο", "άπειρα", "πολλά".

Τους άκουγα εγώ αδιαμαρτύρητα. Κάποια στιγμή δεν άντεξα άλλο. 

"Συγγνώμη, δηλαδή σας αρέσει αυτό που ρώτησα; Το βρίσκετε σωστό;"

Με κοίταξαν απορημένοι. Πήγα και το έγραψα στον πίνακα. Μετά, τους εξήγησα για ποιο λόγο αυτό που ρώτησα  δεν ήταν σωστό. Ύστερα τους ζήτησα να "μαντέψουν" πώς θα έπρεπε να το διατυπώσω σωστά.

Έγραψαν στα τετράδιά τους την ερώτηση που υποτίθεται πως έπρεπε να κάνω.

Αρκετοί έγραψαν: "Πόσες ευθείες διέρχονται από ένα σημείο;". 

Το θεώρησα σωστό αν και δεν ήταν αυτό που είχα προσπαθήσει, αφηρημένη ούσα, να πω. 

Καθώς είχα ξεκινήσει μόλις έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης y=2x, ήθελα να τους ρωτήσω "Πόσες ευθείες διέρχονται από δύο σημεία;", για να τους εξηγήσω ότι αρκούν δυο τιμές, για να κάνουμε τη γραφική παράσταση.  Δεν χρειάζεται δα κανένας τεράστιος πίνακας...

Όμως δεν έχει σημασία τι ήθελα να πω, όσο τι προέκυψε από τις απαντήσεις των παιδιών. Καθώς τις άκουγα προσεκτικά, μου φάνηκε πως στο μυαλό τους τα σημεία του επιπέδου δεν ήταν σταθερά. Τα σημεία διέρχονταν από ευθείες, τέμνονταν, διασταυρώνονταν κι έκαναν ...σημεία και τέρατα! Τους άκουγα και προσπαθούσα να μαντέψω τι ακριβώς φαντάζονταν.

Σχεδόν βεβαιώθηκα πως στο μυαλό τους δεν υπάρχει το "σημείο" με την ευκλείδεια σημασία. Ίσως επειδή στα διάφορα λογισμικά που μαθαίνουν τα σημεία κινούνται στο επίπεδο, αφήνουν ίχνη, χαράζουν γραμμές. Και οι γραμμές σιγά σιγά γεμίζουν το επίπεδο! (Πού είσαι μέγα Hilbert, που το είχες προβλέψει!) 

Οι ευκλείδειες έννοιες στην οθόνη του υπολογιστή έχουν αποκτήσει καινούριες ιδιότητες και η στατικότητα ενός σημείου στο επίπεδο δεν είναι πια καθόλου αυτονόητη. 

Οι εικόνες στο κεφάλι των παιδιών, διαφέρουν τα μάλα από εκείνες στα κεφάλια των (ασπρομάλλιδων) καθηγητών. 

Στο άλλο τμήμα της Β' έκανα πάνω κάτω το ίδιο μάθημα. Δεν διατύπωσα λάθος την ερώτηση. Ήμουν πολύ συγκεντρωμένη. Άλλωστε, είχαμε φτάσει στην 7η ώρα, και η μεσημεριανή πείνα δεν ευνοεί τους σκόπιμους πειραματισμούς ούτε κι όσους τυχαία προκύπτουν, ενίοτε λόγω σαρδάμ ή αφηρημάδας. Ωστόσο, προέκυψαν ενδιαφέρουσες απαντήσεις και στο τμήμα αυτό. Κάποιες μάλιστα εξώθησαν στα όρια την ... φαντασία, όπως για παράδειγμα αυτή:

"Κάθε σημείο έχει τη δική του ευθεία...". 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Το σημείωσα, για να μην το ξεχάσω. Και τώρα επιβάλλεται να το σκεφτώ και να το  ξανακοιτάξω. Τι εικόνα έχει φτιάξει στο μυαλό του αυτό το συγκεκριμένο παιδί; 

Πόσα στρώματα υγρασίας υπάρχουν ανάμεσα σ' αυτά που λέω εγώ και σ' αυτά που καταλαβαίνει αυτό;
Θα ήταν ευχής έργο αν βρίσκαμε τρόπο να άρουμε τις παρανοήσεις στην επικοινωνία, όσο γρήγορα  καθάρίζουμε τα τζάμια μας από την υγρασία...