Κυριακή, 6 Ιανουαρίου 2019

Η ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ και όχι μόνο

Πέρασαν ήδη τρεις ολόκληρες εβδομάδες από τη μέρα που ολοκλήρωσα την ανάγνωση του βιβλίου "Ο άνθρωπος των αριθμών", του Κηθ Ντέβλιν, από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης! Από την πρώτη κιόλας στιγμή θέλησα να γράψω κάτι σχετικό, για να εκφράσω τον ενθουσιασμό μου και για να προτείνω κυρίως στους φίλους-συναδέλφους εκπαιδευτικούς να το διαβάσουν, χωρίς να αποθαρρύνω το λοιπό φιλομαθές και φιλοπερίεργο κοινό, να αφιερώσει όσο χρόνο χρειάζεται για την ανάγνωση ενός τέτοιου ιδιαίτερου κειμένου. 
Το ερώτημα είναι: τι είναι αυτό που καθιστά το πόνημα τον Κηθ Ντέβλιν ιδιαίτερο;
Κι εδώ αρχίζουν τα δύσκολα! Τα πραγματικά δύσκολα!
Πριν αρχίσω να γράφω την άποψή μου για το βιβλίο, έκανα μια σύντομη αναζήτηση στις κριτικές που υπάρχουν στο διαδίκτυο. Με εξαίρεση μια (που για προφανείς λόγους δεν θα πω ποια... :) ), οι κριτικές που διάβασα μου έδωσαν την εντύπωση πως γράφτηκαν απλά και μόνο επειδή έπρεπε να γραφτούν. Πιθανόν να πέσω κι εγώ στο ίδιο τρυπάκι, ωστόσο, συνειδητά θα κάνω ό,τι περνάει από το χέρι μου, για να το αποφύγω. Για το σκοπό αυτό  θα εστιάσω κυρίως στην ... επανάσταση, στις συνθήκες που την προκάλεσαν και στις συνέπειες που σε βάθος χρόνου είχε. Ή τουλάχιστον θα προσπαθήσω...
Το μυαλό των πολλών, ακούγοντας "επανάσταση", πάει σε άλλου τύπου εξεγέρσεις κοινωνικό-πολιτικό-ιστορικού περιεχομένου, λιγότερο σε πολιτισμικές επαναστάσεις και σχεδόν καθόλου σε επιστημονικές, μάλλον επειδή στις πρώτες εστιάζει κατά βάση η παρεχόμενη σχολική μας παιδεία. Και εδώ, πιστεύω, εντοπίζεται ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα της εκπαίδευσης: παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα μιας μακρόχρονης ιστορικής εξέλιξης αποκομμένα από το παρελθόν τους. Παρουσιάζουμε τους πραγματικούς αριθμούς και το δεκαδικό θεσιακό σύστημα αρίθμησης, χωρίς να δίνουμε στους μαθητές μας αρκετές πληροφορίες για το πώς φτάσαμε σ' αυτό το σύστημα, ποιες ανάγκες ώθησαν να επικρατήσει αυτό έναντι του προϋπάρχοντος, τι επέφερε η χρήση του, πώς φτάσαμε στο ... τραπεζικό σύστημα που έχουμε σήμερα και πώς -με την (κακή) χρήση κάποιων άλλων μαθηματικών εργαλείων- οδηγηθήκαμε στην οικονομική και ανθρωπιστική κρίση, που υφιστάμεθα σήμερα! (Γι' αυτό το θέμα υπάρχουν πολλές ενδιαφέρουσες απόψεις στα τελευταία κεφάλαια ενός άλλου πολύ σημαντικού βιβλίου του Keith Devlin, "Το τελευταίο παιχνίδι, Φερμά-Πασκάλ", από τις εκδόσεις Τραυλός).
Και πώς θα μπορούσε να σκεφτεί και πώς να κάνει τέτοιες υπόγειες διαδρομές και διασυνδέσεις ο δάσκαλος που μπαίνει στην τάξη, για να διδάξει την παραγοντοποίηση και τις απόλυτες τιμές των πραγματικών αριθμών σε ένα πλήθος ανίδεων και ενίοτε αδιάφορων μικρών μαθητών; Δεν ξέρω πώς. Πιστεύω όμως πως οφείλει ο δάσκαλος να κάνει αναφορές και διασυνδέσεις, για να κατανοούν τα παιδιά πώς φτάσαμε εδώ που βρισκόμαστε σήμερα κι ακόμη περισσότερο να προβληματίζονται, αν είναι δυνατόν, για το  πού θα πάμε μετά... (Ας ελπίσουμε πως δεν θα φτάσουμε  εκεί που προβλέπει ο Harari... )
Το θέμα μας όμως σήμερα είναι ο Φιμπονάτσι! 
Τον Λεονάρντο Πιζάνο όλοι οι μαθηματικοί τον γνωρίζουν τόσο από την ακολουθία που φέρει το όνομά του, η οποία σχηματοποιείται στη λογαριθμική σπείρα που παρατηρείται σε πλείστα φυσικά και μη φαινόμενα, όσο και από το διάσημο βιβλίο των υπολογισμών, το περιβόητο Liber Abbaci. (λίμπερ άμπακι), που εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1202. 
Το Liber Abbaci, στο οποίο ο Φιμπονάτσι παρουσίαζε τη χρήση των ινδοαραβικών ψηφίων και τις πράξεις που γίνονται με αυτά, μαζί με μια σειρά από πρακτικά αριθμητικά προβλήματα άμεσου ενδιαφέροντος της εποχής του, επέφερε την αριθμητική επανάσταση, η οποία επηρέασε την ανάπτυξη της σύγχρονης Δυτικής Ευρώπης! Μάλιστα!
Πόσες αναφορές γίνονται σ' αυτό; Πόσοι από μας γνωρίζουμε με ποιον τρόπο ο Φιμπονάτσι επηρέασε τις ζωές μας; Πιθανόν πολλοί. Εγώ πάντως δεν το γνώριζα! Παρόλο που, όπως και πολλών άλλων συναδέλφων υποθέτω, το project Fibonacci αποτελεί ένα από τα αγαπημένα μου θέματα και ασχολούμαι συστηματικά στο σχολείο με αυτό σε κάθε ευκαιρία, ιδέα δεν είχα για το ρόλο που είχε παίξει στην εξέλιξη της κουλτούρας και της οικονομίας της Δυτικής Ευρώπης. Γνώριζα μόνο πως βοήθησε πολύ τους εμπόρους, οι οποίοι μέχρι να επικρατήσει το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης, ήταν υποχρεωμένοι να κάνουν τους υπολογισμούς τους με τους δύσχρηστους λατινικούς αριθμούς, χωρίς να είναι σε θέση να καταγράψουν την πλήρη διαδικασία των πράξεων παρά μόνο τα μερικά ή τελικά αποτελέσματα. Αυτό, βέβαια, σημαίνει πως όποιος δεν ήξερε να χρησιμοποιεί τον άβακα, αρκούνταν, καλή τη πίστη, στο αποτέλεσμα που του έλεγε ο έμπορος ή ο γραμματικός που είχε κάνει τις πράξεις! Σ' αυτό ακριβώς το σημείο, της δυνατότητας δηλαδή των εμπόρων να έχουν τον απόλυτο έλεγχο έναντι των λοιπών, απέδιδα εγώ προσωπικά τον κύριο λόγο που, για να υιοθετηθεί από όλους το νέο σύστημα υπολογισμών με τη χρήση των καινοτόμων συμβόλων, χρειάστηκε να περάσουν περίπου τέσσερις αιώνες.
Τι άλλο θα καθιστούσε την πολιτισμική αδράνεια τόσο ισχυρή πέραν των ίδιων συμφερόντων της άρχουσας εμπορικής τάξης; Αυτά δεν θυμάμαι να τα είχα διαβάσει κάπου τεκμηριωμένα. Ήταν ό,τι συμπέρανα εγώ από τις λίγες γνώσεις που κατείχα για εκείνη τη μακρινή ιστορική περίοδο. Διαβάζοντας το βιβλίο του Ντέβλιν, διαπίστωσα πως δεν έπεφτα και πολύ έξω, αλλά δεν ήταν τα πράγματα ακριβώς όπως τα είχα φανταστεί.
Ο Ντέβλιν με καθαρά μαθηματικές μεθόδους διερευνά τα ιστορικά στοιχεία και καταλήγει σε συμπεράσματα που, όπως και ο ίδιος τονίζει, δεν αποκλείουν αμφισβητήσεων ή σκεπτικισμού. Άλλωστε, για τον ίδιο τον Λεονάρντο Πιζάνο ελάχιστα ιστορικά στοιχεία είναι γνωστά. Πολλά δε από αυτά προκύπτουν από τις αναφορες που έκαναν στο έργο και στο πρόσωπό του οι συγγραφείς εγχειριδίων με θέμα τον νεωτερικό για την εποχή τους τρόπο υπολογισμών. Κανένα βέβαια από τα βιβλία που ακολούθησαν δεν ήταν τόσο σημαντικό όσο το Liber Abbaci. Άλλωστε, ο λόγος που οι συγγραφείς αναφέρονταν σ' αυτό, ήταν για να προσδώσουν κύρος και αξία στα δικά τους συγγράμματα. Τέτοια δόξα είχε πάρει το όνομα του Φιμπονάτσι από την Πίζα. Και ύστερα χάθηκε. Κι έπρεπε να περάσουν αρκετοί αιώνες για να ασχοληθούν οι ιστορικοί πάλι μαζί του και με την επανάσταση που επέφερε το έργο του, όχι στον κόσμο των Μαθηματικών, αλλά στον κόσμο των εμπόρων. Μάλιστα, οι σθεναρές αντιστάσεις στη χρήση των ινδοαραβικών τεχνικών από τους εμπόρους κάμφτηκαν, όταν τα νεόκοπα ψηφία μετονομάστηκαν σε "figura mercantesco" (εμπορικά ψήφία)! Δεν μπορώ να αφήσω ασχολίαστη την επιρροή που ασκούν οι "λέξεις" στους ανθρώπους! Μεγάλο θέμα. Όμως μεγάλο είναι και το θέμα του βιβλίου του Ντέβλιν. Δεν εξαντλείται σε μια μόνο ανάρτηση. 
Αν κάποιος αγοράσει το βιβλίο και αρχίσει να το διαβάζει, όπως ακριβώς έκανα κι εγώ, πιστεύοντας πως θα συναντά το ένα μετά το άλλο τα προβλήματα που συμπεριέλαβε ο Φιμπονάτσι στο βιβλίο του, ειδικά μετά τη δεύτερη βελτιωμένη έκδοση, θα πέσει έξω. Λίγα είναι τα προβλήματα που αναλυτικά περιέχονται, κι αυτά κυρίως για να δοθεί έμφαση στον λεκτικό τρόπο με τον οποίον επιλύονταν αριθμητικά προβλήματα, όπως για παράδειγμα, αυτά του μερισμού. Δεδομένου ότι η συμβολική άλγεβρα διαμορφώθηκε πολύ αργότερα, ο Φιμπονάτσι έλυνε τα προβλήματα καταγράφοντας με λέξεις την κάθε σκέψη και την κάθε πράξη. Από την άλλη, γνώριζε πως το βιβλίο του απευθύνεται σε ένα κοινό αδαές και για να γίνουν κατανοητά τα γραφόμενά του δεν θα έπρεπε να αφήνει κανένα υπονοούμενο στην πορεία της σκέψης του. Ανοίκειος ο τρόπος του για ανθρώπους δυτικοτραφείς, αλγεβρογαλουχημένους σαν κι εμένα! Χρειάστηκε να διαβάσω περισσότερες από μια φορές τα λίγα προβλήματα που περιέχονται στο βιβλίο και να κρατήσω σημειώσεις, για να καταλάβω γιατί κάνει αυτό και γιατί κάνει εκείνο. Κι όταν τέλειωσα, έβαλα κάτω και την αλγεβρίτσα που κατέχω, για να νιώσω την ηθική ικανοποίηση πως αξιοποιώ επαρκώς τα εργαλεία της δικής μου εποχής! :)
Η ανάγνωση πάντως του βιβλίου, ή μάλλον η μελέτη του, είναι ένα γοητευτικό ταξίδι στο χρόνο που εξηγεί, εν πολλοίς, ποιες συνθήκες ώθησαν στην εξέλιξη του εμπορίου, στην ίδρυση των πρώτων τραπεζών κλπ. Όπως λέει ο ίδιος ο Ντέβλιν, στη σελίδα 148, 
"Ο εμπορικός κόσμος μετατρεπόταν με ραγδαίους ρυθμούς στην παγκόσμια αγορά που σήμερα θεωρούμε δεδομένη".

Επειδή όμως δεν υπάρχει τίποτε που να έιναι δεδομένο, ειδικά στην εποχή μας, που τα προσωπικά δεδομένα του καθενός συγκεντρώνονται σε χέρια ανθρώπων των οποίων οι βουλές μας είναι  παντελώς άγνωστες ( όποιος δεν το πιστεύει, θα πιστεί, αν διαβάσει το τελευταίο βιβλίο του Harari ), θα πρότεινα να διαβάσουμε βιβλία, όπως "Ο άνθρωπος των αριθμών", που αποκαλύπτει "άγνωστες" πτυχές στο ρόλο που έπαιξαν οι αριθμοί, και κατά συνέπεια τα Μαθηματικά. Αξιοποιώντας την ιστορία των ιδεών και των πολιτισμών, ίσως καταφέρουμε να ανατρέψουμε τις δυσκολίες των καιρών... 
Τουλάχιστον, ως εκπαιδευτικοί, οφείλουμε να κάνουμε ό,τι καλύτερο μπορούμε.
Αν μπορούμε...

----------------------------------------------------------
Το βιβλίο του Keith Devlin, όπου παρουσιάζονται κάποια λίγα προβλήματα από το Liber Abbaci, συνοδεύεται αναγνωστικά, με το βιβλίο των Θωμαΐδη-Ρίζου, "Οδός Μαθηματικής Σκέψης", το οποίο πέρα από την παρουσίαση ενός προβλήματος του Liber Abbaci, που κάνει στην τρίτη παράγραφο του 1ου κεφαλαίου, η οποία έχει τίτλο "Σαρκοβόρα και θηράματα την περίοδο του Μεσαίωνα", βοηθάει τον εκπαιδευτικό να αξιοποιήσει στη διδασκαλία του το μαθηματικό πρόβλημα και ταυτόχρονα διασυνδέει τα Μαθηματικά με τις ιστορικές περιόδους που αυτά αναπτύχθηκαν. Και μήπως αυτό δεν θα έπρεπε να είναι το ζητούμενο στη Μαθηματική Εκπαίδευση: να διασυνδέει τα προβλήματα των Μαθηματικών με τα προβλήματα των εκάστοτε καιρών;
--------------------------------------------------------------
Μια μέρα διακοπών μας απομένει...
Μεθαύριο πίσω στη μάχη της τάξης ξανά... 
Με ανοιχτό πνεύμα, με δύναμη και με χαρά. 
Μπορεί στις μέρες μας μια νέου τύπου επανάσταση να ξεκινά...   

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου